新教材2023-2024學年高中數(shù)學第3章排列組合與二項式定理3.3二項式定理與楊輝三角第2課時二項式系數(shù)的性質與楊輝三角課件新人教B版選擇性必修第二冊

第三章3.3第二課時二項式系數(shù)的性質與楊輝三角基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.掌握二項式系數(shù)的有關性質,并應用性質解決簡單問題.2.會應用楊輝三角求二項式次數(shù)不大時各項的二項式系數(shù).基礎落實·必備知識全過關知識點

楊輝三角與二項式系數(shù)的性質因為(a+b)0=1,所以可以把n=0對應的二項式系數(shù)看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6對應的二項式系數(shù)逐個寫出,并排成如下數(shù)表形式:上面的二項式系數(shù)表稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”,在歐洲稱為“帕斯卡三角”.楊輝三角至少具有下面的性質:(1)每一行都是對稱的,且兩端的數(shù)都是1.(2)從第三行起,不在兩端的任意一個數(shù),都等于上一行中與這個數(shù)相鄰的兩數(shù)之和.事實上,設表中任一不為1的數(shù)為,那么它上一行中與這個數(shù)(3)對于給定的n來說,其二項式系數(shù)滿足中間大、兩邊小的特點.利用二項式系數(shù)的對稱性可知,二項式系數(shù)

是先逐漸變大,再逐漸變小的,當n是偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大,當n是奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.由二項式定理,對?x∈R都成立,該方法通常稱為“賦值法”(4)二項展開式的二項式系數(shù)的和等于2n.過關自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)(1)二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項).(

)(2)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的.(

)(3)楊輝三角中每行兩端的數(shù)都是1.(

)×二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的,二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項),但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關.×二項式系數(shù)是隨n的增加先增后減的,項的系數(shù)與a,b的系數(shù)有關.√根據(jù)楊輝三角的特點可知.2.

的展開式中第8項是常數(shù),則展開式中系數(shù)最大的項是(

)A.第8項

B.第9項C.第8項和第9項

D.第11項和第12項D3.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a8=

.

180

4.(2x-1)6展開式中各項系數(shù)的和為

;各項的二項式系數(shù)和為

.

1

64解析

令展開式左、右兩邊x=1,得各項系數(shù)和為1;各二項式系數(shù)之和為26=64.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一“楊輝三角”的應用【例1】

(1)如圖是著名的楊輝三角,則圖中所有各數(shù)的和是(

)A.225 B.256

C.127 D.128C(2)楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學家.在他著的《詳解九章算術》一書中,畫了一張表示二項式展開后的二項式系數(shù)構成的三角形數(shù)陣,如圖所示.現(xiàn)在稱為“楊輝三角”,它是楊輝的一大重要研究成果.在這個數(shù)陣中從上往下數(shù)第100行,從左往右數(shù)第3列的那個數(shù)是(

)A.5050 B.4851 C.4950 D.5000B規(guī)律方法

解決與楊輝三角有關的問題的一般思路(1)觀察:對題目進行多角度觀察,找出每一行的數(shù)與數(shù)之間,行與行之間的數(shù)的規(guī)律.(2)表達:將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學式子表達.(3)結論:由數(shù)學表達式得出結論.變式訓練1如圖,在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角中,第

行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3.

34探究點二求展開式的系數(shù)和【例2】

設(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.解

(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=(-1)2

020=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2

019+a2

020=32

020.②①-②,得2(a1+a3+…+a2

019)=1-32

020,∴a1+a3+a5+…+a2

019=∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2

019|+|a2

020|=a0-a1+a2-a3+…-a2

019+a2

020=32

020.變式探究

本例中設(1-2x)2020=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2020(1+x)2020,x∈R,則a0+a1+a2+…+a2020=

.

1解析

設1+x=t,則x=t-1,1-2x=3-2t.原式即為(3-2t)2

020=a0+a1t+a2t2+…+a2

020t2

020.令t=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=12

020=1.規(guī)律方法

1.解決二項式系數(shù)和問題的思維流程.2.對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,只需令x=y=1.3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),A.-2 B.-1 C.0 D.2B探究點三求展開式中系數(shù)或二項式系數(shù)的最大項【例3】

已知

展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項.解

(1)令x=1,則二項展開式中各項系數(shù)的和為f(1)=(1+3)n=4n,又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n,由題意知,4n-2n

=

992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍),或2n=32,∴n=5.由于n=5為奇數(shù),∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項,它們分別是規(guī)律方法

二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)最大.(2)當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大.(1)求二項式系數(shù)最大的項.(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?探究點四二項式定理的其他應用角度1.利用二項式定理解整除問題及求余數(shù)問題【例4】

(1)用二項式定理證明1110-1能被100整除.(2)求9192被100除所得的余數(shù).規(guī)律方法

利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和或差的形式,且這種轉化形式與除數(shù)有密切的關系.變式訓練4(1)若

能被7整除,則x,n的值可能為(

)A.x=4,n=3 B.x=4,n=4C.x=5,n=4 D.x=6,n=5C(2)0.996的計算結果精確到0.001的近似值是(

)A.0.940 B.0.941

C.0.942 D.0.943B角度2.利用二項式定理證明不等式【例5】

證明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,且n>2).證明

因為n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展開后至少有四項.因為(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,所以3n>(n+2)·2n-1.規(guī)律方法

將不等式左邊3n變形為(2+1)n,將(2+1)n的二項展開式與不等式的右邊對比,發(fā)現(xiàn)二項展開式與不等式的右邊的聯(lián)系.此外,決定二項式的展開式中項的取舍是證明的關鍵.成果驗收·課堂達標檢測1234A.64 B.32 C.63 D.31B12342.已知(1-2x)n展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64,則(1-2x)n(1+)展開式中常數(shù)項為(

)A.-14 B.-13 C.1 D.2B12343.如圖,在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角中,第

行中從左至右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比為1∶2.

35123412344.求(2x-3)21的展開式中:(1)各項系數(shù)之和;(2)各項系數(shù)的絕對值之和;(3)系數(shù)最小的項.

1234解

(1)設(2x-3)21=a0x21+a1x20+a2x19+…+a21,令x=1,得a0+a1+a2+…+a21=(2×1-3)21=-1.(*)所以(2x-3)21的展開式各項系數(shù)之和為-1.(2)令x=-1,得-a0+a1-a2+…+a21=(-2×1-3)21=-521,(