新教材2023-2024學年高中數(shù)學第4章概率與統(tǒng)計4.2隨機變量4.2.4隨機變量的數(shù)字特征第2課時離散型隨機變量的方差課件新人教B版選擇性必修第二冊

第四章4.2.4第二課時離散型隨機變量的方差基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.通過實例,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念和意義.2.會求離散型隨機變量的方差、標準差.3.會利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點

離散型隨機變量的方差

a2D(X)p(1-p)np(1-p)名師點睛離散型隨機變量ξ的期望與方差過關(guān)自診1.[人教A版教材習題改編]將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次,X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù).則E(X)=

,D(X)=

.

2.已知隨機變量X,D(X)=,則X的標準差為

.

2

1解析

∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1.3.已知X的分布列為

X-101P0.50.30.2求D(X).解

E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求隨機變量的方差與標準差【例1】

已知X的分布列如下:(1)求X2的分布列;(2)計算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.(3)因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.規(guī)律方法

方差的計算方法方差的計算需要一定的運算能力,注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).變式訓練1[人教A版教材習題]已知隨機變量X的分布列為

X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X+7).(注:σ(X)是指隨機變量X的標準差)解

由題意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,∴D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84,∴D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36,探究點二兩點分布與二項分布的方差【例2】

設(shè)X的分布列為

(k=0,1,2,3,4,5),則D(3X)=(

)A.10 B.30 C.15 D.5A變式探究

本例題條件不變,求D(5X+2).規(guī)律方法

求離散型隨機變量的均值與方差的關(guān)注點(1)寫出離散型隨機變量的分布列.(2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進行計算.(3)對于二項分布,關(guān)鍵是通過題設(shè)環(huán)境確定隨機變量服從二項分布,然后直接應(yīng)用公式計算.變式訓練2(多選題)[2023浙江杭州高二期中]某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為,記X=a2+a3+a4+a5,則當程序運行一次時(

)A.X服從二項分布ABC探究點三均值、方差的實際應(yīng)用【例3】

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊水平.解

(1)由題意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績比較穩(wěn)定,所以甲比乙的射擊水平高.規(guī)律方法

利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.(2)在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.(3)下結(jié)論.依據(jù)均值和方差得出結(jié)論.變式訓練3甲、乙兩種零件某次性能測評的分值ξ,η的分布如下,則性能更穩(wěn)定的零件是

.

ξ8910P0.30.20.5η8910P0.20.40.4乙

解析

由題意知E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以D(ξ)=0.3×(8-9.2)2+0.2×(9-9.2)2+0.5×(10-9.2)2=0.76,D(η)=0.2×(8-9.2)2+0.4×(9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2=0.56.因為D(η)<D(ξ),所以乙更穩(wěn)定.成果驗收·課堂達標檢測1234D12342.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=(

)A.0.7 B.0.6

C.0.4

D.0.3B解析

由題意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,∴p(1-p)=0.24,解得p=0.4或p=0.6.即p2>(1-p)2,∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).12343.已知離散型隨機變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,則a=

,b=

.

X-1012Pabc12344.學校舉行定點投籃比賽,規(guī)定每人投籃4次,投中一球得2分,沒有投中得0分.假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投