新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其運算第2課時空間向量的數(shù)量積課件新人教B版選擇性必修第一冊

第一章1.1.1第2課時空間向量的數(shù)量積課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解空間向量夾角的概念;2.掌握空間向量的數(shù)量積的概念、相關(guān)性質(zhì)及數(shù)量積的運算律;3.能運用向量的數(shù)量積,判斷向量垂直,并用于證明兩直線垂直.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1空間向量數(shù)量積的概念(1)空間向量的夾角

定義給定兩個非零向量a,b,任意在空間中選定一點O,作

=a,=b,則大小在[0,π]內(nèi)的

稱為a與b的夾角,記作<a,b>

范圍

向量垂直如果<a,b>=,則稱向量a與b互相垂直,記作

∠AOB

0≤<a,b>≤πa⊥b(2)向量的投影

一般地,給定空間向量a和空間中的直線l(或平面α),過a的始點和終點分別作直線l(或平面α)的垂線,假設(shè)垂足為A,B,則向量

稱為a在直線l(或平面α)上的投影.(3)空間向量的數(shù)量積兩個非零向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)定義為a·b=|a||b|cos<a,b>.規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的投影仍是一個向量

名師點睛1.空間向量的數(shù)量積是一個實數(shù)而不是一個向量.2.數(shù)量積的正負(fù)取決于向量的夾角,注意兩向量反向時夾角為π.3.數(shù)量積的幾何意義:向量a在b上投影的數(shù)量與b的模的乘積.過關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)[北師大版教材習(xí)題]向量b在a方向上的投影的數(shù)量等于向量a在b方向上的投影的數(shù)量.(

)××知識點2空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律(1)性質(zhì)①若a,b為非零向量,則

?a·b=0(垂直條件);

④|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時等號成立).a⊥b|a|2(2)運算律表示數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b),λ∈R交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c名師點睛1.a⊥b的充要條件是a·b=0,這是用向量證明空間中垂直關(guān)系的根本方法,同時也說明由a·b=0不能得到a=0或b=0.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)對于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(

)(2)若非零向量a,b為共線且同向的向量,則a·b=|a||b|.(

)×√2.對于空間任意兩個非零向量a,b,“a∥b”是“<a,b>=0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件BA.30°

B.60° C.150°

D.120°D4.[人教A版教材習(xí)題]如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,設(shè)

(1)a·(b+c);(2)a·(a+b+c);(3)(a+b)·(b+c).解

(1)a·(b+c)=a·b+a·c=0+0=0.(2)a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=1+0+0=1.(3)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b2+b·c=0+0+12+0=1.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一向量的數(shù)量積的求解【例1】如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F分別是AB,AD的中點,計算:規(guī)律方法

求兩個向量數(shù)量積的方法

變式訓(xùn)練1如圖,在三棱錐P-ABC中,AP,AB,AC兩兩垂直,AP=2,AB=AC=1,MD探究點二數(shù)量積的應(yīng)用角度1.利用數(shù)量積求解夾角和?！纠?】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,點N為AA1的中點.求:變式探究2本例中,若CA=CB=AA1=1,其他條件不變,求異面直線CA1與AB所成的角.規(guī)律方法

求向量的夾角和模(1)求兩個向量的夾角:利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,進(jìn)而確定<a,b>.(2)求線段長度(距離):①取此線段對應(yīng)的向量;②用其他已知夾角和模的向量表示該向量;③利用|a|=,計算出|a|,即得所求長度(距離).角度2.利用數(shù)量積證明垂直問題【例3】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.證明

由底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,規(guī)律方法

1.由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0(a,b是非零向量)可知,要證兩直線垂直,可構(gòu)造與兩直線分別平行的非零向量,只要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可.2.用向量法證明線面(面面)垂直,需將線面(面面)垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直.變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點,G為CC1的中點,求證:A1O⊥平面GBD.又OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12345A123452.[北師大版教材習(xí)題]如圖,已知正方體ABCD-A'B'C'D',設(shè)

D1234512345123454.[北師大版教材習(xí)題]如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,已知|AB|=1,|AD|=2,|AA'|=3,