新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.4二面角分層作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

第一章1.2.4二面角A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]已知二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α與β的法向量分別為a,b,且<a,b>=π6,則二面角α-l-β的大小為(A.π6 B.C.π6或52.[探究點(diǎn)二]已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,則平面A1BC1與平面ABCD所成角的余弦值為()A.63 B.33 C.223.[探究點(diǎn)二·2023天津高二階段練習(xí)]直線l的方向向量為a,兩個(gè)平面α,β的法向量分別為n,m,則下列命題為假命題的是()A.若a⊥n,則直線l∥平面αB.若a∥n,則直線l⊥平面αC.若cos<a,n>=12,則直線l與平面α所成角的大小為D.若cos<m,n>=32,則平面α,β所成銳角的大小為4.[探究點(diǎn)二·2023山東濰坊高二階段練習(xí)](多選題)下列說(shuō)法不正確的是()A.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為5π6,則直線l與平面αB.兩條異面直線所成的角等于它們的方向向量的夾角C.二面角的范圍是[0,π]D.二面角的大小等于其兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小5.[探究點(diǎn)一]已知點(diǎn)O在二面角α-AB-β的棱上,點(diǎn)P在平面α內(nèi),且∠POB=60°.若直線PO與平面β所成的角為45°,則二面角α-AB-β的正弦值為.

6.[探究點(diǎn)二]若兩個(gè)平面α,β的法向量分別是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),則這兩個(gè)平面所成角的大小是.

7.[探究點(diǎn)二]如圖所示,AE⊥平面ABCD,四邊形AEFB為矩形,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4.(1)求證:CF∥平面ADE;(2)求平面CDF與平面AEFB所成角的余弦值.8.[探究點(diǎn)二]如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F為PC的中點(diǎn),求二面角C-BF-D的正切值.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成角的余弦值為()A.13 B.22 C.3210.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的平面角的余弦值為()A.63 B.32 C.1211.[2023廣東高二階段練習(xí)](多選題)如圖,以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后,某學(xué)生得出如下四個(gè)結(jié)論,其中正確的是()A.AB·ACB.AB⊥DCC.BD⊥ACD.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直12.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=2,點(diǎn)E為C1D1的中點(diǎn),則二面角B1-A1B-E的余弦值為.

13.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為.

14.[2023江西高二開學(xué)考試]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱BB1=1,∠ABC=2π3,且M,N分別為BB1,AC的中點(diǎn),連接(1)證明:MN∥平面AB1C1;(2)若BA=BC=2,求二面角A-B1C1-B的平面角的大小.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

1.2.4二面角1.C2.A建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2),所以A1B=(0,4,-2),A1C1設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則A令z=2,則m=(1,1,2).易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|m||n|=26=63,3.A對(duì)A,若a⊥n,則直線l∥平面α或直線l?平面α,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,若a∥n,則直線l⊥平面α,故B正確;對(duì)C,設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ(0≤θ≤π2),則sinθ=|cos<a,n>|=12,所以θ=π6,故對(duì)D,設(shè)平面α,β所成銳角的大小為θ,則cosθ=|cos<m,n>|=32,所以θ=π6,故D故選A.4.ABD當(dāng)直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為5π6時(shí),直線l與平面α所成的角為π3,故A不正確;向量夾角的范圍是[0,π],而異面直線所成的角為(0,π2],故B不正確;二面角的范圍是[0,π],故C正確;二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小相等或互補(bǔ),故選ABD.5.63如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥β,垂足為E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB,垂足為F,連接OE,PF,則∠POE為直線PO與平面β所成的角,∠PFE為二面角α-AB-β的平面角設(shè)OP=2a,則在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=2a·sin60°=62a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=PE即二面角α-AB-β的正弦值為636.60°設(shè)這兩個(gè)平面所成角為θ,則cosθ=|u·v|7.(1)證明∵四邊形ABEF為矩形,∴BF∥AE.又BF?平面ADE,AE?平面ADE,∴BF∥平面ADE.又BC∥AD,同理可得BC∥平面ADE.又BF∩BC=B,BF,BC?平面BCF,∴平面BCF∥平面ADE.又CF?平面BCF,∴CF∥平面ADE.(2)解如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),∴AD=(0,4,0),CD=(-2,2,0),CF=(0,-2,4).設(shè)n=(x,y,z)是平面CDF的一個(gè)法向量,則n·CD=0,n∴n=(2,2,1).又AD是平面AEFB的一個(gè)法向量,∴cos<n,AD>=n·AD|n||AD|=28.解如圖所示,設(shè)AC與BD交于O,連接OF.因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD,O為AC中點(diǎn).又F為PC中點(diǎn),所以O(shè)F∥PA.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以O(shè)F⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,所以O(shè)(0,0,0),B(32,0,0),F(0,0,12),C(0,12,0),OC=(0,12,0),易知OC由BC=(-32,12,0),FB=(32,0,-12),可得平面BCF的一個(gè)法向量為n=(1,3,3),所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=279.B設(shè)AP=AB=1.以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),PC=(1,1,-1),PD=(0,1,-1).設(shè)平面PCD的法向量m=(x,y,z),則m取y=1,得m=(0,1,1).易知平面ABP的法向量n=(0,1,0).設(shè)平面ABP與平面CDP所成角為θ,則cosθ=m·n|m10.D連接AC,取AC的中點(diǎn)O,連接B1O,BO.由AB=BC,則BO⊥AC且AB1=B1C,則B1O⊥AC,故∠BOB1即為二面角B-AC-B1的平面角.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則在△ABC中,BO=12AC=22,在△AB1C中,AB1=B1C=AC=2,則B1O=又B1B=1,故可得cos∠B1OB=B1故選D.11.BC對(duì)于A,設(shè)AB=AC=t,平面ABD⊥平面ADC,而BD⊥AD,AD⊥CD,則有∠BDC為二面角的平面角,即∠BDC=90°,則BC=2BD=t,故∠BAC=60°,AB·AC=12t2≠對(duì)于B,平面ABD⊥平面ADC,其交線為AD.又由CD⊥AD,且CD?平面ADC,則CD⊥平面ABD,則有AB⊥DC,故B正確;對(duì)于C,同理可證BD⊥AC,故C正確;對(duì)于D,平面ADC與平面ABC不垂直,則平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直,故D錯(cuò)誤.故選BC.12.33以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,2),B(1,2,0),B1(1,2,2),E(0,1,2),則A1B=(0,2,-2),A1E設(shè)平面A1BE的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),則2y-2z=0,-x+易知平面A1BB1的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),而二面角B1-A1B-E為銳角,故cosθ=|n13.60°由條件,知CA·AB=0,AB·BD=0,CD=CA+AB+BD,∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×又0°≤<CA,BD>∴<CA,BD∴該二面角的大小為60°.14.(1)證明如圖,取AC1的中點(diǎn)P,連接B1P,PN.∵N為AC的中點(diǎn),∴PN∥C1C,且PN=12C1C又B1M∥C1C,B1M=12C1C,∴PN∥B1M,PN=B1M∴四邊形B1MNP是平行四邊形,∴MN∥B1P.又B1P?平面AB1C1,MN?平面AB1C1,∴MN∥平面AB1C1.(2)解如圖,作BE⊥BC,交AC于E,以點(diǎn)B為原點(diǎn),BE為x軸,BC為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.∵BA=BC=2,BB1=1,∠ABC=2π∴A(3,-1,0),B(0,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,1),C1(0,2,1),∴AB1=(-3,1,1),B1C1=(0,2,0).設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(x,∴A即-∴令x=1,則y=0,z=3,∴m=(1,0,3).∵平面BB1C1的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),∴cos<m,n>=m·∵由圖知二面角A-B1C1-B的平面角為銳角,∴二面角A-B1C1-B的平面角的大小為π315.(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解作EH⊥BC,垂足為H.因?yàn)镋H?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,∠EBC