福建省寧德高中、柘榮一中高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年福建省寧德高中、柘榮一中高三（上）第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合A=｛x|log2x＜1｝，B={y|y=2x，x≥0｝，則A∩B=()A．? B．｛x｜1＜x＜2} C．｛x|1≤x＜2} D．｛x｜1＜x≤2｝2．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，若S2=2,S4=10,則S6等于()A．12 B．18 C．24 D．424．已知函數(shù)f（x）=x3+ax+4則“a＞0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增"的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分，也不必要條件5．如圖曲線y=x2和直線x=0，x=1,y=所圍成的圖形（陰影部分)的面積為（）A． B． C． D．6．已知遞增等比數(shù)列｛an｝滿足a3?a7=6，a2+a8=5,則=（）A． B． C． D．7．已知，且﹣π＜α＜，則等于（）A． B． C． D．8．如圖程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”,執(zhí)行該程序框圖（圖中“mMODn”表示m除以n的余數(shù)），若輸入的m，n分別為495,135，則輸出的m=(）A．0 B．5 C．45 D．909．已知x=lnπ，y=log52，，則(）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x10．若兩個非零向量,滿足|+｜=|﹣｜=2｜|，則向量+與﹣的夾角是(）A． B． C． D．11．某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是圓心角為60°的扇形,則該幾何體的側(cè)面積為（）A．12+ B．6+ C．12+2π D．6+4π12．已知函數(shù)f（x)=的圖象上關(guān)于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分13．設(shè)a＞0,b＞0,且a+b=1，則+的最小值為．14．在（1+x）（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．15．在矩形ABCD中,AB=4，BC=2，E為BC的中點,若F為該矩形內(nèi)(含邊界)任意一點，則?的最大值為．16．在數(shù)列{an｝中，已知a1=1，an+1﹣an=sin，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2017=．三.解答題:解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)f(x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函數(shù)f（x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．18．已知數(shù)列｛an}前n項和為Sn,且滿足3Sn﹣4an+2=0．（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式；（Ⅱ）令bn=log2an，Tn為｛bn}的前n項和，求證:．19．如圖，已知D是△ABC邊BC上一點．（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面積；（2）當(dāng)∠BAC=90°時，若,且，求DC的長．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=,D為AA1的中點，BD與AB1交于點O，CO⊥側(cè)面ABB1A1．(Ⅰ）證明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA,求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．21．已知a是實常數(shù)，函數(shù)f(x）=xlnx+ax2．（1）若曲線y=f（x)在x=1處的切線過點A(0，﹣2），求實數(shù)a的值;（2)若f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），①求證：﹣＜a＜0；②求證：f（x2）＞f（x1)＞﹣．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，A，B的極坐標(biāo)分別為A（2，π），．（Ⅰ)求直線AB的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ)設(shè)M為曲線C上的動點，求點M到直線AB距離的最大值．

2016—2017學(xué)年福建省寧德高中、柘榮一中高三（上）第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合A=｛x｜log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，則A∩B=（）A．? B．{x|1＜x＜2} C．｛x｜1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}【考點】交集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=｛x｜log2x＜1｝=｛x｜0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}=｛y｜y≥1｝，∴A∩B={x|1≤x＜2｝．故選：C．2．已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：由=，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：（﹣1,﹣1），位于第三象限．故選：C．3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2=2，S4=10,則S6等于（)A．12 B．18 C．24 D．42【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)s2，s4﹣s2,s6﹣s4成等差數(shù)列進(jìn)行求解．【解答】解：∵等差數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差數(shù)列，即2，8,S6﹣10成等差數(shù)列，∴2+S6﹣10=8×2，∴S6=24,故選C．4．已知函數(shù)f(x)=x3+ax+4則“a＞0”是“f（x）在R上單調(diào)遞增"的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分，也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求出a的取值范圍結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解:若f（x)在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′(x）=x2+a≥0恒成立,即a≥0，∴“a＞0”是“f（x)在R上單調(diào)遞增"的充分不必要條件，故選：A5．如圖曲線y=x2和直線x=0，x=1，y=所圍成的圖形（陰影部分）的面積為（）A． B． C． D．【考點】定積分．【分析】先聯(lián)立y=x2與y=的方程得到交點，繼而得到積分區(qū)間，再用定積分求出陰影部分面積即可．【解答】解：由于曲線y=x2(x＞0）與y=的交點為(），而曲線y=x2和直線x=0，x=1,y=所圍成的圖形（陰影部分）的面積為S=，所以圍成的圖形的面積為S==（x﹣x3）｜+（x3﹣x）|=．故答案選D．6．已知遞增等比數(shù)列{an｝滿足a3?a7=6，a2+a8=5，則=（）A． B． C． D．【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及其通項公式即可得出．【解答】解：遞增等比數(shù)列｛an}滿足a3?a7=6，a2+a8=5，∴a2a8=6，a2+a8=5,解得a2=2，a8=3．∴==．故選:D．7．已知，且﹣π＜α＜,則等于（）A． B． C． D．【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系根據(jù)=sin（+α），求得sin(+α)的值,進(jìn)而根據(jù)α的范圍確定+α的范圍，求得．【解答】解：=cos［﹣（+α）]=sin（+α）又﹣π＜α＜﹣,∴﹣＜+α＜﹣，∴sin(+α）=﹣，∴cos（﹣α）=﹣故選D．8．如圖程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法"，執(zhí)行該程序框圖（圖中“mMODn”表示m除以n的余數(shù))，若輸入的m，n分別為495,135，則輸出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考點】程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量m的值,模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解:第一次執(zhí)行循環(huán)體，r=90，m=135，n=90，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體，r=0,m=45，n=0,滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的m值為45，故選：C9．已知x=lnπ，y=log52，,則（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考點】不等式比較大?。痉治觥坷脁=lnπ＞1,0＜y=log52＜,1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=,即y∈（0,)；1=e0＞=＞=，即z∈（，1）,∴y＜z＜x．故選:D．10．若兩個非零向量，滿足|+｜=|﹣|=2｜｜，則向量+與﹣的夾角是（）A． B． C． D．【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到兩個向量的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積公式求出兩向量的夾角．【解答】解：依題意，∵｜+|=｜﹣｜=2｜｜∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣,所以向量與的夾角是，故選C11．某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是圓心角為60°的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為（）A．12+ B．6+ C．12+2π D．6+4π【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由俯視圖為扇形及正視及側(cè)視圖為矩形知，該幾何體由圓柱切割而成，故分矩形及曲面求側(cè)面積．【解答】解：該幾何體的側(cè)面積由矩形的面積及曲面面積構(gòu)成，其中矩形的面積為2×3×2=12，曲面的面積為×2×3=2π，故其側(cè)面積S=12+2π，故選C．12．已知函數(shù)f(x)=的圖象上關(guān)于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)f（x）=sin（）﹣1，（x＜0)關(guān)于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：若x＞0，則﹣x＜0，∵x＜0時，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin(）﹣1,則若f（x）=sin（）﹣1,（x＜0）關(guān)于y軸對稱,則f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，設(shè)g（x）=﹣sin（)﹣1，x＞0作出函數(shù)g（x）的圖象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0與f(x）=logax,x＞0的圖象至少有3個交點，則0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），即﹣2＜loga5，即loga5＞，則5，解得0＜a＜，故選：A二、填空題:本題共4小題,每小題5分13．設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=1，則+的最小值為4．【考點】基本不等式．【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用，即可求+的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+,當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b=時,取等號．故答案為：4．14．在（1+x）（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為120（用數(shù)字作答)．【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)（2+x)5的展開式的通項公式，計算在(1+x）（2+x)5的展開式中含x3的項是什么,從而求出x3的系數(shù)．【解答】解：（2+x)5的展開式的通項是，所以在（1+x）(2+x)5=（2+x)5+x（2+x）5的展開式中,含x3的項為，所以x3的系數(shù)為120．故答案為:120．15．在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E為BC的中點，若F為該矩形內(nèi)（含邊界）任意一點，則?的最大值為18．【考點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】可分別以直線DC，DA為x軸,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出A，E的坐標(biāo)，并設(shè)F（x，y）,從而可求出，這樣設(shè)z=4x﹣y+2，利用線性規(guī)劃的方法即可求出z的最大值，即求出數(shù)量積的最大值．【解答】解：據(jù)條件，分別以邊DC，DA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：A（0，2），E（4，1），設(shè)F（x，y），x0≤x≤4，0≤y≤2;∴；∴；設(shè)z=4x﹣y+2，則y=4x+（2﹣z）;∴2﹣z是直線y=4x+（2﹣z）在y軸上的截距，截距最小時，z最大;可看出直線y=4x+（2﹣z）過點C(4,0）時z最大;即0=16+2﹣z，z=18．故答案為：18．16．在數(shù)列{an}中，已知a1=1,an+1﹣an=sin,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2017=1009．【考點】數(shù)列的求和．【分析】a1=1，an+1﹣an=，a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，a5=a1，以此類推可得an+4=an．即可得出．【解答】解：∵a1=1,an+1﹣an=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此類推可得an+4=an．∴則S2017=504×（a1+a2+a3+a4）+a1=504×2+1=1009．故答案為:1009．三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)f（x)=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=,求f（α)的值；（2)求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】(1)根據(jù)題意，利用sinα求出cosα的值，再計算f（α）的值；（2）化簡函數(shù)f(x），求出f（x)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間即可．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×(+）﹣=;（2）∵函數(shù)f(x）=cosx（sinx+cosx)﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f(x）的最小正周期為T==π;令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+］，k∈Z．18．已知數(shù)列｛an}前n項和為Sn,且滿足3Sn﹣4an+2=0．（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式;（Ⅱ）令bn=log2an,Tn為｛bn｝的前n項和，求證：．【考點】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）當(dāng)n=1,a1=2，當(dāng)n≥2,求得an=4an﹣1，數(shù)列｛an}是首項為a1=2，公比為4的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出，（Ⅱ）寫出｛bn}的通項公式，bn=2n﹣1，及前n項和Tn=n2，采用裂項法，化簡=＜2．【解答】解：（Ⅰ）由3Sn﹣4an+2=0,令n=1，可得：a1=2;…當(dāng)n≥2時，可得(3Sn﹣4an+2）﹣（3Sn﹣1﹣4an﹣1+2)=0?an=4an﹣1…所以數(shù)列｛an}是首項為a1=2，公比為4的等比數(shù)列，故：=22n﹣1…(Ⅱ)，Tn=1+3+…+（2n﹣1）=n2…≤…==＜2…19．如圖，已知D是△ABC邊BC上一點．（1)若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面積；（2）當(dāng)∠BAC=90°時，若，且，求DC的長．【考點】三角形中的幾何計算．【分析】（）1）過A點作AE⊥BC，交BC于點E，由已知可求AE，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．（2)設(shè)CD=x，則BD=2x,AC=x,可求BC=3x，進(jìn)而利用余弦定理,三角函數(shù)的定義建立方程即可解得DC的值．【解答】解:（1）過A點作AE⊥BC，交BC于點E，∵B=45°，且AB=DC=1，則AE=ABsinB=,可得：S△ADC=DC?AE=×1×=，(2）設(shè)CD=x，則BD=2x，AC=x，∴BC=CD+BD=3x，∴cos∠ACB==在△ADC中由余弦定理可得AD2=AC2+CD2﹣2AC?CD?COS∠ACB，即(4）2=3x2+x2﹣2×x?x?，解得x=4，即DC=420．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=1,AA1=，D為AA1的中點，BD與AB1交于點O，CO⊥側(cè)面ABB1A1．（Ⅰ)證明：BC⊥AB1；(Ⅱ)若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．【考點】用空間向量求直線與平面的夾角;直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ)要證明BC⊥AB1，可證明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側(cè)面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1內(nèi)證明BD垂直于AB1即可，可利用角的關(guān)系加以證明；（Ⅱ）分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x,y，z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面ABC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可得出結(jié)論．【解答】(I）證明：由題意，因為ABB1A1是矩形，D為AA1中點,AB=1，AA1=，AD=,所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=,所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°,即BD⊥AB1,又因為CO⊥側(cè)面ABB1A1，AB1?側(cè)面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因為BC?面BCD,所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如圖，分別以O(shè)D,OB1，OC所在的直線為x，y,z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，﹣，0），B(﹣，0，0)，C（0,0，)，B1(0,，0）,D（，0，0)，又因為=2，所以所以=(﹣,，0），=（0,，)，=（），設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y，z），則根據(jù)可得=(1,，﹣）是平面ABC的一個法向量,設(shè)直線C1D與平面ABC所成角為α，則sinα=．21．已知a是實常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲線y=f(x）在x=1處的切線過點A（0，﹣2），求實數(shù)a的值；（2）若f（x）有兩個極值點x1,x2（x1＜x2），①求證：﹣＜a＜0；②求證：f(x2）＞f（x1）＞﹣．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1)求出f(x）的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程，代入點(0,﹣2），即可解得a；（2）①依題意：f′（x）=0有兩個不等實根x1，x2(x1＜x2），設(shè)g(x）=lnx+2ax+1，求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時，當(dāng)a＜0時，求得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，令極大值大于0，解不等式即可得證；②由①知：f（x），f′（x）變化，求得f（x）的增區(qū)間，通過導(dǎo)數(shù)，判斷x1∈（0，1），設(shè)h（x)=（xlnx﹣x)（0＜x＜1）,求得h（x)的單調(diào)性,即可得證．【解答】（1)解：由已知可得，f′（x)=lnx+1+2ax(x＞0)，切點P（1，a），f（x）在x=1處的切線斜率為k=1+2a，切線方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）證明：①依題意：f′（x）=0有兩個不等實根x1，x2（x1＜x2），設(shè)g（x）=lnx