空間解析幾何基礎(chǔ)知識

橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)第一頁第二頁，共104頁。Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ第二頁第三頁，共104頁?？臻g兩點(diǎn)間距離公式二、空間兩點(diǎn)間的距離第三頁第四頁，共104頁。第四頁第五頁，共104頁。向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或第五頁第六頁，共104頁。自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.第六頁第七頁，共104頁。[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法第七頁第八頁，共104頁。向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]減法第八頁第九頁，共104頁。三、向量與數(shù)的乘法第九頁第十頁，共104頁。數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個向量的平行關(guān)系第十頁第十一頁，共104頁。按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.第十一頁第十二頁，共104頁。第十二頁第十三頁，共104頁。一、空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.第十三頁第十四頁，共104頁。空間一點(diǎn)在軸上的投影第十四頁第十五頁，共104頁。空間一向量在軸上的投影第十五頁第十六頁，共104頁。關(guān)于向量的投影定理（1）證第十六頁第十七頁，共104頁。定理1的說明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；第十七頁第十八頁，共104頁。關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）第十八頁第十九頁，共104頁。二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)第十九頁第二十頁，共104頁。向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影第二十頁第二十一頁，共104頁。按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：第二十一頁第二十二頁，共104頁。向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式第二十二頁第二十三頁，共104頁。非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式第二十三頁第二十四頁，共104頁。由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標(biāo)表示式第二十四頁第二十五頁，共104頁。當(dāng)時，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式第二十五頁第二十六頁，共104頁。方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為第二十六頁第二十七頁，共104頁。第二十七頁第二十八頁，共104頁。關(guān)于數(shù)量積的說明：一、兩向量的數(shù)量積定義數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.第二十八頁第二十九頁，共104頁。數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：第二十九頁第三十頁，共104頁。兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式第三十頁第三十一頁，共104頁。定義關(guān)于向量積的說明：//向量積也稱為“叉積”、“外積”.二、兩向量的向量積第三十一頁第三十二頁，共104頁。向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)：第三十二頁第三十三頁，共104頁。向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出第三十三頁第三十四頁，共104頁。補(bǔ)充例如，第三十四頁第三十五頁，共104頁。定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積第三十五頁第三十六頁，共104頁。關(guān)于混合積的說明：(1)向量的混合積是一個數(shù)量.第三十六頁第三十七頁，共104頁。第三十七頁第三十八頁，共104頁。一、曲面方程的概念曲面方程的定義：第三十八頁第三十九頁，共104頁。以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程．第三十九頁第四十頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放第四十頁第四十一頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十一頁第四十二頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十二頁第四十三頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十三頁第四十四頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十四頁第四十五頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十五頁第四十六頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十六頁第四十七頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十七頁第四十八頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十八頁第四十九頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第四十九頁第五十頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第五十頁第五十一頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第五十一頁第五十二頁，共104頁。二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第五十二頁第五十三頁，共104頁。第五十三頁第五十四頁，共104頁。解

圓錐面方程或第五十四頁第五十五頁，共104頁。例6將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面第五十五頁第五十六頁，共104頁。旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面第五十六頁第五十七頁，共104頁。播放定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第五十七頁第五十八頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第五十八頁第五十九頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第五十九頁第六十頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十頁第六十一頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十一頁第六十二頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十二頁第六十三頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十三頁第六十四頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十四頁第六十五頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十五頁第六十六頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十六頁第六十七頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十七頁第六十八頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十八頁第六十九頁，共104頁。定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第六十九頁第七十頁，共104頁。柱面舉例拋物柱面平面第七十頁第七十一頁，共104頁。從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸第七十一頁第七十二頁，共104頁。第七十二頁第七十三頁，共104頁?？臻g曲線的一般方程曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時滿足兩個方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程第七十三頁第七十四頁，共104頁?？臻g曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程第七十四頁第七十五頁，共104頁。消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第七十五頁第七十六頁，共104頁。類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線第七十六頁第七十七頁，共104頁。第七十七頁第七十八頁，共104頁。

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程法向量已知點(diǎn)第七十八頁第七十九頁，共104頁。由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程第七十九頁第八十頁，共104頁。平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.第八十頁第八十一頁，共104頁。將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程第八十一頁第八十二頁，共104頁。定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角第八十二頁第八十三頁，共104頁。按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//第八十三頁第八十四頁，共104頁。點(diǎn)到平面距離公式第八十四頁第八十五頁，共104頁。第八十五頁第八十六頁，共104頁。定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程第八十六頁第八十七頁，共104頁。方向向量的定義：如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程第八十七頁第八十八頁，共104頁。直線的對稱式方程令直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程直線方向向量直線上一點(diǎn)第八十八頁第八十九頁，共104頁。定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角第八十九頁第九十頁，共104頁。兩直線的位置關(guān)系：//第九十頁第九十一頁，共104頁。定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^四、直線與平面的夾角第九十一頁第九十二頁，共104頁。直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：//第九十二頁第九十三頁，共104頁。第九十三頁第九十四頁，共104頁。二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法