概率一輪復習

古典概型考綱展示?1.理解古典概型及其概率計算公式．2．會計算某些隨機事件所含的基本領件及事件發(fā)生的概率．考點1古典概型的簡樸問題1.基本領件的特點(1)任何兩個基本領件是________的．(2)任何事件(除不可能事件)都能夠表達成________的和．2．古典概型含有下列兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)實驗中全部可能出現的基本領件________．(2)每個基本領件出現的可能性________．3．如果一次實驗中可能出現的成果有n個，并且全部成果出現的可能性都相等，那么每一種基本領件的概率都是________；如果某個事件A涉及的成果有m個，那么事件A的概率P(A)＝________.4．古典概型的概率計算公式P(A)＝________________.(1)[教材習題改編]從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的實驗中，基本領件共有________個．(2)[教材習題改編]拋擲質地均勻的一枚骰子一次，出現正面朝上的點數不不大于2且不大于5的概率為__________．古典概型：核心在于基本領件的計數．從1,3,5,7中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值不不大于3的概率是__________．[典題1](1)袋中共有15個除了顏色外完全相似的球，其中有10個白球、5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為()A.eq\f(5,21)B.eq\f(10,21)C.eq\f(11,21)D．1(2)某中學調查了某班全部45名同窗參加書法社團和演講社團的狀況，數據以下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230①從該班隨機選1名同窗，求該同窗最少參加上述一種社團的概率；②在既參加書法社團又參加演講社團的8名同窗中，有5名男同窗A1，A2，A3，A4，A5,3名女同窗B1，B2，B3.現從這5名男同窗和3名女同窗中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．考點2較復雜古典概型的概率古典概型：基本領件的個數；古典概型概率公式．(1)[·云南昆明模擬]拋擲兩顆相似的正方體骰子(骰子質地均勻，且各個面上依次標有點數1,2,3,4,5,6)一次，則兩顆骰子向上點數之積等于12的概率為__________．(2)小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數碼由4個數字2,4,6,8按一定次序構成，小明不小心忘記了密碼中4個數字的次序，隨機地輸入由2,4,6,8構成的一種四位數，不能打開鎖的概率是__________．[典題2]某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相稱，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人構成代表隊．(1)求A中學最少有1名學生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數不少于2人的概率．為振興旅游業(yè)，四川省面對國內發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡)．某旅游公司組織了一種有36名游客的旅游團到四川名勝景區(qū)旅游，其中eq\f(3,4)是省外游客，其它是省內游客．在省外游客中有eq\f(1,3)持金卡，在省內游客中有eq\f(2,3)持銀卡．(1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；(2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數相等的概率．考點3古典概型的交匯命題[考情聚焦]古典概型在高考中常與平面對量、集合、函數、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命題，命題的角度新穎，考察知識全方面，能力規(guī)定較高．重要有下列幾個命題角度：角度一古典概型與平面對量相結合[典題3]已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機選自集合{－1,1,3}，y隨機選自集合{1,3,9}．(1)求a∥b的概率；(2)求a⊥b的概率．角度二古典概型與直線、圓相結合[典題4][·河南洛陽統(tǒng)考]將一顆骰子先后拋擲兩次分別得到點數a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．角度三古典概型與函數相結合[典題5]已知有關x的一元二次函數f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一種數作為a和b，求函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率；(2)設點(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))內的隨機點，求函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率．角度四古典概型與統(tǒng)計相結合[典題6]某公司為理解下屬某部門對本公司職工的服務狀況，隨機訪問50名職工．根據這50名職工對該部門的評分，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)預計該公司的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率．幾何概型考綱展示?1.理解隨機數的意義，能運用模擬辦法預計概率．2．理解幾何概型的意義．考點1與長度(角度)有關的幾何概型1.幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次實驗中可能出現的成果________；(2)等可能性：每個實驗成果的發(fā)生含有________．3．幾何概型的概率計算公式P(A)＝eq\f(構成事件A的區(qū)域長度面積或體積,實驗的全部成果所構成的區(qū)域長度面積或體積).．[教材習題改編]在區(qū)間[－3,5]上隨機取一種數x，則x∈[1,3]的概率為__________．幾何概型的特點：等可能性；無限性．給出下列概率模型：①在區(qū)間[－5,5]上任取一種數，求取到1的概率；②在區(qū)間[－5,5]上任取一種數，求取到絕對值不不不大于1的數的概率；③在區(qū)間[－5,5]上任取一種整數，求取到不不大于1的數的概率；④向一種邊長為5cm的正方形ABCD內投一點P，求點P與正方形ABCD的中心的距離不超出1cm的概率．其中，是幾何概型的有__________．(填序號)[典題1](1)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一種數x，則事件“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)(2)[·河北衡水一模]在長為12cm的線段AB上任取一點C，現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積不不大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)(3)如圖所示，在直角坐標系內，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內的概率為________．考點2與體積有關的幾何概型[典題2][·山東濟南一模]如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內隨機運動，則此動點在三棱錐A－A1BD1.在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點2．[·黑龍江五校聯考]在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S－APC的體積不不大于eq\f(V,3)的概率是________．考點3與面積有關的幾何概型(1)[教材習題改編]如圖所示，圓中陰影部分的圓心角為45°，某人向圓內投鏢，假設他每次都投入圓內，那么他投中陰影部分的概率為________．(2)[教材習題改編]如圖所示，在邊長為a的正方形內有不規(guī)則圖形Ω，向正方形內隨機撒豆子，若撒在圖形Ω內和正方形內的豆子數分別為m，n，則圖形Ω面積的預計值為__________．幾何概型：構成事件區(qū)域的長度(面積或體積)；幾何概型的概率公式．設始終角三角形的兩條直角邊長均是區(qū)間(0,1)上的任意實數，則斜邊長不大于eq\f(3,4)的概率為__________．[考情聚焦]與面積有關的幾何概型是近幾年高考的熱點之一．重要有下列幾個命題角度：角度一與平面圖形面積有關的問題[典題3](1)[·廣東七校聯考]如圖，已知圓的半徑為10，其內接三角形ABC的內角A，B分別為60°和45°，現向圓內隨機撒一粒豆子，則豆子落在三角形ABC內的概率為()A.eq\f(3＋\r(3),16π)B.eq\f(3＋\r(3),4π)C.eq\f(4π,3＋\r(3))D.eq\f(16π,3＋\r(3))(2)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)角度二與線性規(guī)劃交匯命題的問題[典題4](1)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1＜p2＜eq\f(1,2) B．p2＜eq\f(1,2)＜p1C.eq\f(1,2)＜p2＜p1 D．p1＜eq\f(1,2)＜p2(2)[·山東棗莊八中模擬]在區(qū)間[1,5]和[2,6]內分別取一種數，記為a和b，則方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a<b)表達離心率不大于eq\r(5)的雙曲線的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(15,32)C.eq\f(17,32)D.eq\f(31,32)角度三與定積分交匯命題的問題[典題5][·福建卷]如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數f(x)＝x2，若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________．1．[·新課標全國卷Ⅰ]某公司的班車在7：30,8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間達成發(fā)車站乘坐班車，且達成發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超出10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)2．[·新課標全國卷Ⅱ]從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數的平方和不大于1的數對共有m個，則用隨機模擬的辦法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)3．[·陜西卷]設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D.eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)4．[·山東卷]在[－1,1]上隨機地取一種數k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．條件概率、n次獨立重復實驗與二項分布考綱展示?1.理解條件概率和兩個事件互相獨立的概念．2．理解n次獨立重復實驗的模型及二項分布，并能解決某些簡樸的實際問題．考點1條件概率條件概率(1)定義設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率．(2)性質①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．條件概率的性質．(1)有界性：0≤P(B|A)≤1.()(2)可加性：如果B和C為互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．()[典題1](1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A：“取到的2個數之和為偶數”，事件B：“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)(2)1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(8,27)D.eq\f(9,24)考點2事件的互相獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝________，則稱事件A與事件B互相獨立．(2)性質：若事件A與B互相獨立，則A與B、eq\x\to(A)與B、A與eq\x\to(B)也都互相獨立，P(B|A)＝[典題2]為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會，決定實施低峰優(yōu)惠票價制度．不超出22千米的地鐵票價以下表：乘坐里程x(單位：km)0＜x≤66＜x≤1212＜x≤22票價(單位：元)345現有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超出22千米．已知甲、乙乘車不超出6千米的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，甲、乙乘車超出6千米且不超出12千米的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3).(1)求甲、乙兩人所付乘車費用不相似的概率；(2)設甲、乙兩人所付乘車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均含有隨機性，且互不影響，其具體狀況以下表：作物產量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1)設X表達在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(2)若在這塊地上持續(xù)3季種植此作物，求這3季中最少有2季的利潤不少于2000元的概率．考點3獨立重復實驗與二項分布獨立重復實驗與二項分布獨立重復實驗二項分布定義在相似條件下重復做的n次實驗稱為n次獨立重復實驗在n次獨立重復實驗中，用X表達事件A發(fā)生的次數，設每次實驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作________，并稱p為________計算公式Ai(i＝1,2，…，n)表達第i次實驗成果，則P(A1A2A3…P(A1)P(A2)·…·P(An)在n次獨立重復實驗中，事件A正好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)(1)[教材習題改編]某人拋擲一枚硬幣，出現正反的概率都是eq\f(1,2)，構造數列{an}，使得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1第n次出現正面，,－1第n次出現背面，))記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，則S4＝2的概率為________．(2)[教材習題改編]小王通過英語聽力測試的概率是eq\f(1,3)，他持續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是________．二項分布：P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．設隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)的值是________．[典題3][·湖南長沙模擬]博彩公司對NBA總決賽做了大膽地預測和分析，預測西部冠軍是老辣的馬刺隊，東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊，總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間的成果互不影響，只要有一隊獲勝4場就結束比賽．前4場，馬刺隊勝利的概率為eq\f(1,2)，第5,6場馬刺隊由于平均年紀大，體能下降厲害，因此勝利的概率降為eq\f(2,5)，第7場，馬刺隊由于有多次打第7場的經驗，因此勝利的概率為eq\f(3,5).(1)分別求馬刺隊以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3勝利的概率及總決賽馬刺隊獲得冠軍的概率；(2)隨機變量X為分出總冠軍時比賽的場數，求隨機變量X的分布列．某市為了調查學校“陽光體育活動”在高三年級的實施狀況，從我市某校高三男生中隨機抽取一種班的男生進行投擲實心鉛球(重3kg)測試，成績在6.9米以上的為合格．把所得數據進行整頓后，分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖所示)，已知成績在[9.9,11.4)的頻數是4.(1)求這次鉛球測試成績合格的人數；(2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取兩名，記ξ表達兩人中成績不合格的人數，運用樣本預計總體，求ξ的分布列．離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱展示?1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念．2．能計算簡樸的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決某些實際問題．3．運用實際問題的直方圖，理解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所示的意義．考點1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝____________________為隨機變量X的均值或數學盼望，它反映了離散型隨機變量取值的________．(2)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均________程度，其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的原則差．(1)[教材習題改編]設X～B(n，p)，若D(X)＝4，E(X)＝12，則n的值為________．(2)[教材習題改編]一臺機器在一天內發(fā)生故障的概率為0.1.這臺機器一周五個工作日不發(fā)生故障，可獲利5萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利2.5萬元；發(fā)生兩次故障的利潤為0萬元；發(fā)生三次或者三次以上的故障要虧損1萬元．則這臺機器一周內可能獲利的均值是________萬元．(3)[教材習題改編]隨機變量ξ的分布列為ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，則D(ξ)＝________.離散型隨機變量的均值與方差：隨機變量的取值；對應取值的概率計算．簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的6支簽，從中任意取3支，設X為這3支簽的號碼之中最大的一種，則X的數學盼望為________．[考情聚焦]離散型隨機變量的均值與方差是高中數學的重要內容，也是高考命題的熱點，常與排列組合、概率等知識綜合考察．重要有下列幾個命題角度：角度一與超幾何分布(或古典概型)有關的均值與方差[典題1][·江西吉安高三期中]近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引發(fā)心悸、呼吸困難等心肺疾病．為理解某市心肺疾病與否與性別有關，在某醫(yī)院隨機的對入院的50人進行了問卷調查得到了以下的列聯表：患心肺疾病不患心肺疾病累計男5女10累計50已知在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為eq\f(3,5).(1)請將上面的列聯表補充完整；(2)與否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關，闡明你的理由；(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃?。F在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進行其它方面的排查，記選出患胃病的女性人數為ξ，求ξ的分布列，數學盼望以及方差．下面的臨界值表供參考：P(K2≥k)0.100.050.0250.100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d角度二與事件的互相獨立性有關的均值與方差[典題2]某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定．小王到該銀行取錢時，發(fā)現自己忘記了銀行卡的密碼，但能夠確認該銀行卡的對的密碼是他慣用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼對的，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數為X，求X的分布列和數學盼望．角度三二項分布的均值與方差[典題3]某商場舉辦有獎促銷活動，顧客購置一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學盼望．考點2均值與方差的性質及其在決策中的應用1.均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝________.(2)D(aX＋b)＝________(a，b為常數)．2．兩點分布與二項分布的均值、方差XX服從兩點分布X～B(n，p)E(X)________________D(X)________________[典題4][·山東德州模擬]十八屆三中全會提出以管資本為主加強國有資產監(jiān)管，改革國有資本授權經營體制.1月20日，中國恒天集團有限公司新能源汽車總部項目簽約典禮在天津舉辦，闡明國有公司的市場化改革已經踏上新的破冰之旅．恒天集團和綠地集團運用現有閑置資金可選擇投資新能源汽車和投資文化地產，以推動混合全部制改革，使國有資源效益最大化．①投資新能源汽車：投資成果盈利40%不賠不賺虧損20%概率eq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)②投資文化地產：投資成果盈利50%不賠不賺虧損35%概率peq\f(1,8)q(1)當p＝eq\f(11,24)時，求q的值；(2)若恒天集團選擇投資新能源汽車，綠地集團選擇投資文化地產，如果一年后兩集團中最少有一種集團盈利的概率不不大于eq\f(3,4)，求p的取值范疇；(3)恒天集團運用10億元現有閑置資金進行投資，決定在投資新能源汽車和投資文化地產這兩種方案中選擇一種，已知q＝eq\f(3