微分法在經(jīng)濟(jì)建模中的應(yīng)用

微分法在經(jīng)濟(jì)建模中的應(yīng)用

邊緣化理論是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。邊緣化理論主要包括限制效應(yīng)價(jià)值理論和限制效應(yīng)價(jià)值理論，并應(yīng)用邊界分析法研究經(jīng)濟(jì)問題。限制效應(yīng)價(jià)值理論的基本論點(diǎn)是，由于產(chǎn)品可以滿足人們的特定需求，對人們具有一定的好處。市場上的商品價(jià)值不是由初始價(jià)值決定的，而是由平均價(jià)值決定的，即限制價(jià)值決定的。該理論被稱為對商品價(jià)值的主觀評價(jià)，這違反了馬克思的勞動價(jià)值理論。但是邊際效用論認(rèn)為價(jià)格愈高,需求量愈少;價(jià)格愈低,需求量愈多,這種對商品需求價(jià)格和需求量的數(shù)量關(guān)系的分析,還是合理的。邊際分析理論是當(dāng)代經(jīng)濟(jì)理論中數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)之一,可用來預(yù)測商品價(jià)格需求量或供給量,確定企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)資料同勞動數(shù)量之間最合理的比例;確定企業(yè)的最佳規(guī)模,直至最合理的分配整個(gè)社會的資源等問題。由于邊際分析理論涉及了一對變量之間的關(guān)系,涉及了微量變化的概念,因此,就把函數(shù)、微分學(xué)和聯(lián)立方程組引進(jìn)了經(jīng)濟(jì)研究,特別是把高等數(shù)學(xué)引進(jìn)了經(jīng)濟(jì)研究。高等數(shù)學(xué)的研究對象是變量和圖形的變化,其研究方法是相互關(guān)系的動態(tài)的方法。由于經(jīng)濟(jì)活動是處在極其復(fù)雜的永恒的變化之中,運(yùn)用高等數(shù)學(xué),用函數(shù)關(guān)系描述經(jīng)濟(jì)變量運(yùn)動規(guī)模,只要知道了一個(gè)變量,就可以知道另一個(gè)相應(yīng)變量的發(fā)展趨勢,就能進(jìn)行正確的經(jīng)濟(jì)政策。另一個(gè)方面要掌握函數(shù)在圖象上某一點(diǎn)的變化率。在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)活動中,除了呈直線的函數(shù)外,還有更多呈曲線狀的函數(shù)。即隨著自變量的每一微量變化,因變量的變化程度各不相同,即函數(shù)的變化率(導(dǎo)數(shù))各不相等,因變量可以在某一點(diǎn)由遞增變?yōu)檫f減,在某一點(diǎn)由遞減變?yōu)檫f增。這就是所謂“邊際”的概念。這種邊際點(diǎn)的函數(shù)值就是極大值或極小值,而邊際點(diǎn)的自變量在經(jīng)濟(jì)決策中往往是最佳點(diǎn),找到最合理的邊際點(diǎn),就能作出最有利的經(jīng)濟(jì)政策,因此,研究這種變化規(guī)律的方法,就叫邊際分析法,實(shí)際上就是微分法在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。中國加入WTO會大大改善中國企業(yè)經(jīng)營環(huán)境,使中國經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展,也使企業(yè)高速發(fā)展,聯(lián)想集團(tuán)董事局主席柳傳志預(yù)言“中國入世催生更多企業(yè)家”(見2001年12月22日深圳商報(bào)),因此,中國企業(yè)的經(jīng)營管理水平的大大提高,企業(yè)將使資金占用達(dá)到最少,費(fèi)用和成本達(dá)到最低,利潤達(dá)到最優(yōu),經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最優(yōu)。1mc與平均成本曲線的關(guān)系從圖1可知,由于平均成本包括有隨產(chǎn)量的增加而始終遞減的固定成本,同時(shí)它又是按一全部產(chǎn)量平均計(jì)算的,所以它的曲線轉(zhuǎn)為遞增較邊際成本曲線為遲,即邊際成本曲線在產(chǎn)量為Q′時(shí)由遞減轉(zhuǎn)為遞增,而平均成本曲線在產(chǎn)量為Q時(shí)才轉(zhuǎn)為遞增。邊際成本與平均成本之間有一個(gè)很重要的關(guān)系,即當(dāng)平均成本與邊際成本相等時(shí),MC=AC,平均成本為最低,也就是說,邊際成本曲線與平均成本曲線相交于平均成本曲線的最低點(diǎn)處。從上圖來看,F點(diǎn)為平均成本曲線AC的最低點(diǎn),邊際成本曲線MC與AC相交于F點(diǎn),這就是通常所謂的“經(jīng)濟(jì)能量點(diǎn)”或“經(jīng)濟(jì)有效點(diǎn)”(PointofEcomiccapacity)。也就是成本最低化的一點(diǎn)。這一點(diǎn)對于講求經(jīng)濟(jì)效益,作出正確的經(jīng)濟(jì)決策是十分重要的。因此,企業(yè)家應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均成本的最低點(diǎn)。這不僅使生產(chǎn)資源得到最有效的利用,并且可增加盈利。邊際成本的變動與平均成本的變動是聯(lián)系在一起的。如果邊際成本小于平均成本,則平均成本必定隨產(chǎn)量的增加而減少,平均成本曲線就呈現(xiàn)下降的趨勢。反之,如果邊際成本大于平均成本,則平均成本必定隨產(chǎn)量的增加而增大。因而平均成本曲線呈現(xiàn)上升的趨勢。邊際成本與平均成本都是隨產(chǎn)量的增加由遞減轉(zhuǎn)為遞增,只是平均成本轉(zhuǎn)為遞增較邊際成本為遲。上圖中F點(diǎn)是平均成本曲線AC由遞減轉(zhuǎn)為遞增的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在F點(diǎn)上,MC=AC。在邊際成本曲線MC上升到F點(diǎn)之間,邊際成本小于平均成本,平均成本曲線AC一直是下降的。當(dāng)MC越過F點(diǎn)后再上升,邊際成本就大于平均成本,所以平均成本曲線AC也就轉(zhuǎn)為上升了。因此MC只可能與AC相關(guān),并且在AC的最低點(diǎn)F相交。建立模型的程序如下:第一步:先規(guī)定模型所用的符號:假定Q代表產(chǎn)量,TC代表總成本,AC代表平均成本,MC代表邊際成本。第二步:建立子模型ΜC=dΤCdQ(1)AC=ΤCQ(2)第三步:建立最優(yōu)化成本數(shù)學(xué)模型,并加以推導(dǎo)。MC=AC(3)dACdQ=0(AC的第二階導(dǎo)數(shù)大于零)∴AC為最小值。1.以Q為自變量,求AC的導(dǎo)數(shù):dACdQ=d(ΤCQ)dQ=(dΤCdQ)Q-ΤC(dQdQ)Q2=1Q2[Q(dΤCdQ)-ΤC]=1Q[dΤCdQ-ΤCQ]根據(jù)(1)和(2)式,B:dACdQ=1Q(ΜC-AC)2?AC=ΜC時(shí)?AC為最低?推導(dǎo)如下∶(1)在曲線呈常規(guī)的U形,當(dāng)AC曲線向下傾斜時(shí),其斜率為負(fù)數(shù)。即1Q(ΜC-AC)<0由于Q是正數(shù),∴MC-AC<0,或MC<AC此時(shí)AC曲線向下傾斜,邊際成本MC小于平均成本AC。(2)當(dāng)AC曲線向上傾斜時(shí),其斜率為正數(shù)。即1Q(ΜC-AC)>0,于是MC>AC此時(shí)AC曲線向上傾斜,邊際成本MC小于平均成本。(3)因此,只有在AC曲線的最低點(diǎn),斜率為零。即:dACdQ=0于是據(jù)以確定AC的最小值(AC的二階導(dǎo)數(shù)大于零)。于是:1Q(ΜC-AC)=0∴ΜC=AC因此,邊際成本等于平均成本,平均成本為最低。舉例:TC(Q)=100+3Q=0.01Q2驗(yàn)算如下:ΜC=ΤC′(Q)=dΤCdQ=3+0.02QAC=ΤC(Q)Q=100+3Q+0.01Q2Q當(dāng)Q=100則ΜC=5AC=100+3×100+0.01×1002100=5∴AC=ΜC=5,這時(shí)AC的斜率為零。dACdQ=1100(5-5)=0故平均成本AC此時(shí)為最低。2邊際成本與邊際利潤的函數(shù)關(guān)系如何求最大利潤?當(dāng)商品產(chǎn)量無限增大時(shí),價(jià)格極低,得不到最大利潤;價(jià)格無限增大時(shí),銷售量極少,也得不到最大利潤。如圖2,在橫坐標(biāo)上移動產(chǎn)量的值,使產(chǎn)量與價(jià)格相乘的積達(dá)到最大時(shí)(即總收益的最大值),還是得不到最大利潤。由于邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的作用,產(chǎn)量增加,邊際成本由遞減轉(zhuǎn)變?yōu)檫f增,而使總成本急驟遞增。因此,邊際成本最低時(shí)也不能得到最大利潤,所以只有在邊際總收益等于邊際成本時(shí),也就是在產(chǎn)量的某一微量增加點(diǎn),總收益的增量等于總成本的增量,即圖2中兩條切線平行,兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等時(shí),這兩條曲線間的距離最大,才達(dá)到最大利潤,才能找到最合理的生產(chǎn)規(guī)模。由此可見,邊際成本與邊際收入之間有一個(gè)很重要的關(guān)系,而當(dāng)邊際收入與邊際成本相等,邊際利潤等于0時(shí),企業(yè)才實(shí)現(xiàn)最大的利潤。假設(shè)TR代表總收益,TC代表總成本,Q代表產(chǎn)量,則總利潤TP=TR-TC,要求為極大值,因TR和TC都是產(chǎn)量Q的函數(shù),將TR-TC對Q求微分,并令其等于零(因?yàn)樵跇O大值時(shí),斜率為零)。即d(ΤR-ΤC)dQ=0但,d(ΤR-ΤC)dQ=dΤRdQ-dΤCdQ=0因此,dΤRdQ=dΤCdQ這就是利潤的最大的必要條件。前面已經(jīng)指出,邊際收益是總收益對產(chǎn)量Q求微分,而邊際成本是總成本對產(chǎn)量Q求微分。為了使極值存在,一階導(dǎo)數(shù)必須等于零,而為了使極大值存在,d2(ΤR-ΤC)dQ2還必須是負(fù)數(shù)。即d2(ΤR-ΤC)dQ2<0或d2ΤRdQ2-d2ΤCdQ2<0d2ΤRdQ2<d2ΤCdQ2因此,邊際收益對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)必須小于邊際成本對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù),這是利潤最大的充分條件。d2ΤRdQ2是邊際收益的二階導(dǎo)數(shù),可以得出邊際收益函數(shù)的斜率;d2ΤCdQ2是邊際成本函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),可以得出邊際成本函數(shù)的斜率。因此,上述充分條件表明邊際成本曲線比邊際收入曲線斜度更大。3優(yōu)化效益曲線的數(shù)學(xué)模型的建立3.1邊際成本函數(shù)1,邊際收入是對應(yīng)于產(chǎn)量的收入變化率。邊際收入函數(shù)可以通過把總收入函數(shù)對產(chǎn)量求微分來得到。ΤR=bQ-CQ2ΜR=dΤRdQ=d(bQ-CQ2)dΟ=b-2CQ舉例∶ΤR=50Q-2Q2ΜR=dΤRdQ=50-4Q2,邊際成本是對應(yīng)于產(chǎn)量變動的成本變化率。邊際成本函數(shù)可以通過把總成本函數(shù)對產(chǎn)量求微分來得到。ΤC=nQ3-EQ2+fQ+hΜC=dΤCdQ=3nQ2-2EQ+f舉例∶ΤC=Q33-3Q2+15Q+250ΜC=dΤCdQ=Q2-6Q+153.2求出產(chǎn)品最大的利潤的產(chǎn)量1,當(dāng)邊際收入等于邊際成本,(TR-TC)對產(chǎn)量的一階導(dǎo)數(shù)等于零,二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),利潤為最大值。d(ΤR-ΤC)dQ=0即dΤRdQ=dΤCdQ∴ΜR=ΜC同時(shí)d2(ΤR-ΤC)dQ<0即d2ΤRdQ2<d2ΤCdQ2故(TR-TC)=TP利潤為最大值。舉例:以前面舉例代入,并求出產(chǎn)品最大利潤的產(chǎn)量。MR=b-2CQMC=3nQ2-2EQ+f∴b-2CQ=3nQ2-2EQ+f50-4Q=Q2-6Q+15Q2-2Q-35=0(Q+5)(Q-7)=0∴Q1=-5,Q2=7因?yàn)楫a(chǎn)量不可能是負(fù)數(shù),所以最大利潤的產(chǎn)量應(yīng)該是7件。2,這個(gè)最大利潤的產(chǎn)量也可以通過把利潤函數(shù)對產(chǎn)量求微分來進(jìn)行驗(yàn)證。令對應(yīng)于產(chǎn)量變動的利潤變化率函數(shù)等于零,并解出產(chǎn)量,可得到這個(gè)函數(shù)的最大點(diǎn)和最小點(diǎn)。在這兩點(diǎn)上,利潤函數(shù)的斜率等于零。ΤΡ=ΤR-ΤCdΤΡdQ=d(ΤR-ΤC)dQ=d[(bQ-CQ2)-(nQ3-EQ2+fQ+h)]dQ令dΤΡdQ=0dΤΡdQ=d[(50Q-2Q2)-(Q33-3Q2+15Q+250)]dQ=0Q2-2Q-35=0Q1=7Q2=-5因此,兩種方法都得出:當(dāng)產(chǎn)量為7件時(shí)利潤最大。3.3經(jīng)濟(jì)定貨量t確定存貨的最優(yōu)水平,關(guān)鍵在于如何收到既能滿足生產(chǎn)(銷售)需要,又能使存貨上所耗費(fèi)的總成本達(dá)到最低水平。假設(shè)TC代表存貨總成本,TCk代表采購成本,TCI代表保管成本,TCs代表缺貨成本。則:TC=TCk+TCI+TCs(1)假設(shè)D代表材料的年需用量,h代表材料的單價(jià),Q代表一次定貨的定貨量,N代表年定貨次數(shù),k代表一次定貨的采購成本,F1代表采購成本中的固定成本。則:ΤCk=Dh+F1+DQk=hD+F1+Νk(2)假設(shè)F2代表保管成本中的固定成本,KI代表單位存貨,每單位期間的保管成本,kz代表以庫存存貨金額一定百分比表示的保管成本。則:ΤCΙ=F2+Q2ΚΙ=F2+Q2hΚz(3)假定不存在缺貨,這樣在定貨從提出到到達(dá)的間隔時(shí)間,即所謂“提前期”為零。也就是說定貨一經(jīng)提出就可立即收貨的情況下,不存在缺貨是容易做到的。以(2)式、(3)式代入(1)式,得:ΤC=hD+F1+ΚDQ+F2+ΚΙQ2=hD+(F1+F2)+ΚDQ+ΚΙQ2(4)如以TC(Q)代表以每次定貨量Q為轉(zhuǎn)移的變動成本,則:ΤC(Q)=ΚDQ+ΚΙQ2(5)因此,(5)式中ΚDQ與ΚΙQ2兩項(xiàng)是互為消長的。因?yàn)樵谝欢ǖ脑牧夏晷栌昧肯?如每次定貨量增加,定貨次數(shù)就減少。這樣,雖然采購成本減少,但保管成本卻會增加;反之,如每次定貨量減少,定貨次數(shù)就會增加,因而采購成本增加,而保管成本減少。因此,要確定存貨的最優(yōu)水平,就要在ΚDQ與ΚΙQ2這兩項(xiàng)因素間取得合理的平衡,才能使其總成本達(dá)到最低水平。因此,確定“經(jīng)濟(jì)定貨量”是保持存貨的最優(yōu)水平,減少儲備資金占用量的重要問題?，F(xiàn)推導(dǎo)如下:ΤC(Q)=ΚDQ+ΚΙQ2以Q為自變量,求TC的一階導(dǎo)數(shù)。d(ΤC)dQ=-ΚDQ2-ΚΙ2令【math41】=0則-ΚDQ2+ΚΙ2=0Q2=2ΚDΚΙQ=2ΚDΚΙ由于TC的二階導(dǎo)數(shù)大于零:d2(ΤC)dQ2=2ΚDQ3>0因此,Q=2ΚDΚΙ可以使TC(Q)得到最小值。也就是說,如果按照這個(gè)定貨量定貨,可以使采購成本中的變動成本和保管成本中的變動成本的總和達(dá)到最低。因此,經(jīng)濟(jì)定貨量和它的總成本的模型如下:經(jīng)濟(jì)定貨量Q*=2ΚDΚΙ