平行線的性質(zhì)-“江南聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

4.3平行線的性質(zhì)湘教版七年級(jí)下冊(cè)在生產(chǎn)或生活中，我們經(jīng)常要用到平行線的性質(zhì)來(lái)判斷兩條直線是否平行，例如鐵路護(hù)路工人就經(jīng)常要檢查鐵軌是否平行．在下面兩圖中，已知AB與CD平行，用量角器量下面兩個(gè)圖形中標(biāo)出的角，然后填空：∠α______∠β

∠1________∠2做一做ABCDE12＝＝ABCDENMFαβ

將EF繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)EF與CD交于點(diǎn)N，量出∠EMB和∠END的大小，它們相等嗎？你能猜出什么結(jié)論？ABCDENMFαβ如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等．∠EMB=∠END作平移使∠α的頂點(diǎn)M移到∠β的頂點(diǎn)N處，由于平移把直線AB變成與它平行的直線，又已知AB//CD，且CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，因此上述平移把直線AB變成直線CD，從而∠α變成∠β

，所以∠α

＝∠β.ABCDENMFαβ探索根據(jù)以上操作，我們猜想：如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等．這個(gè)猜想對(duì)嗎？如圖，設(shè)AB//CD，截線EF與AB，CD分別相交于M，N兩點(diǎn)．b12345678ac如圖：直線a與直線b

平行兩直線平行，同位角相等∵a∥b

，∴∠１=∠５，∠２=∠６，∠３=∠７，∠４=∠８。（兩直線平行，同位角相等）b12345678ac兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角有什么關(guān)系呢？

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∵a∥b，∴∠1=∠５。（兩直線平行，同位角相等）又∵∠１=∠４，∴∠４=∠５。b12345678ac兩直線平行，同旁內(nèi)角有什么關(guān)系呢？

∴∠５+∠３＝１８０°。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)∵a∥b，∴∠1=∠５。（兩直線平行，同位角相等）又∵∠１+∠３＝１８０°，兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：性質(zhì)Ⅰ

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．性質(zhì)II兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．性質(zhì)III兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．如圖，已知AB//CD，∠1＝105o∠1與∠2是______角，因此∠2_______∠1=_______;∠1與∠4是______角，因此∠4_______∠1=_______;∠1與∠3是______角，因此∠3＝______________=_______.做一做1234ABCED內(nèi)錯(cuò)＝105o同位＝105o同旁內(nèi)180－105o75o例1如圖4-24，直線

AB，CD被直線EF所截，

AB∥CD，∠1=100o

，試求∠3的度數(shù).圖

4-24解

因?yàn)锳B∥CD

，

所以∠1=∠2=100°

(兩直線平行，同位角相等).

又因?yàn)椤?+∠3=180°，

所以∠3=180°

-∠2

=180°-100°

=80°.123ABCDEF例2如圖4-25，AD∥BC，∠B

=∠D，

試問(wèn)∠A與∠C相等嗎？為什么？圖

4-25解

因?yàn)锳D∥BC

，

所以∠A

+∠B=180o，∠D

+∠C=180o

(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

又因?yàn)椤螧=∠D(已知)，

所以

∠A=∠C.ABCD如圖，在A，B兩地之間要修建一條公路，在A地測(cè)得公路的走向是北偏東80o，即∠α＝80o，現(xiàn)在要求在A，B兩地同時(shí)施工，那么在B地公路走向應(yīng)按∠β等于多少度施工？

因?yàn)锳C，BD方向相同，所以AC//BD，因?yàn)椤夕僚c∠β是同旁內(nèi)角，所以∠α+∠β＝180o，從而∠β＝180o－∠α＝180o－80o＝100o答：在B地應(yīng)按∠β＝100o的方向施工．例3ABCDαβ北北解練習(xí)12ab1.如圖，a//b，∠1＝60o，求∠2的度數(shù)．因?yàn)閍∥b∴所以∠1=∠3(同位角相等)又∠2+∠3＝180°∴所以∠2＝180°－∠3＝180°－60°＝120°解32.如圖，AB//CD,CD//EF，BC//DE，已知∠B=70o，求∠C，∠D和∠E的度數(shù)．ABCDEF因?yàn)锳B∥CD所以∠C＝∠B＝70°又BC∥DE∠C+∠D＝180°所以∠D=180°－∠C=180°－70°＝110°又CD∥EF所以∠D＝∠E所以∠E＝∠D＝110°.解ABCDE3.已知∠C=∠AED,BE平分∠ABC,試說(shuō)明:∠DBE