山東省青島市2022屆高三下學(xué)期5月二?？荚嚁?shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)山東省青島市2022屆高三下學(xué)期5月二?？荚嚁?shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．4．二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國(guó)古時(shí)立法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩(shī)歌，體現(xiàn)著我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.四句詩(shī)歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩(shī)歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩(shī)歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長(zhǎng)都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點(diǎn)，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．評(píng)卷人得分二、多選題9．已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點(diǎn)在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交10．已知正方體，動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上，則下述正確的是（

）A． B．C．平面 D．平面11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則下述正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱12．已知，若，，則下述正確的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分三、填空題13．某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000人，其中男生480人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高二全體學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，若樣本按比例分配，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為___________.14．若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AD為BC邊上的中線，M為AD的中點(diǎn)，則的值為___________.15．將等差數(shù)列中的項(xiàng)排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個(gè)數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.評(píng)卷人得分四、雙空題16．如圖所示，A，B，C為三個(gè)村莊，，，，則___________；若村莊D在線段BC中點(diǎn)處，要在線段AC.上選取一點(diǎn)E建一個(gè)加油站，使得該加油站到村莊A，B，C，D的距離之和最小，則該最小值為___________.評(píng)卷人得分五、解答題17．從①；②條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線處，并解答：在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求角A；(2)若外接圓的圓心為O，，求BC的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答；按第一個(gè)解答計(jì)分.18．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列滿足：（，2，3，…，n）我們稱其為n項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，…，是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求k.19．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形.(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)設(shè)D為OH的中點(diǎn)，N是線段CD上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)MN與平面PAB所成角最大時(shí)，求MN的長(zhǎng).20．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，為其極值點(diǎn)，證明：.21．已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點(diǎn).22．為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場(chǎng)每周都定期抽樣檢測(cè)禽類血液中指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場(chǎng)將某周的5000只家禽血液樣本中指標(biāo)的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這5000只家禽血液樣本中指標(biāo)值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)通過長(zhǎng)期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場(chǎng)家禽血液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布（i）若其中一個(gè)養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計(jì)其中血液指標(biāo)的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保留整數(shù)）；（ii）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場(chǎng)除定期抽檢外，每天還會(huì)隨機(jī)抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標(biāo)的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場(chǎng)的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數(shù)據(jù)：①；②若，則答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．C【解析】【分析】由題意和補(bǔ)集、交集的運(yùn)算依次求出和．【詳解】解：因?yàn)槿?，3，4，5，6，，，3，5，，所以，4，，又，2，4，，則，2，4，5，，故選：C．2．A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3．A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個(gè)選項(xiàng)后得正確結(jié)論．【詳解】由題可得函數(shù)定義域?yàn)?，且，故函?shù)為奇函數(shù)，故排除BD，由，，故C錯(cuò)誤，故選：A.4．C【解析】【分析】直接由組合結(jié)合古典概型求解即可.【詳解】由題意知：從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為.故選：C.5．D【解析】【分析】取特殊值即可排除A、B選項(xiàng)；即可排除C選項(xiàng)；由單調(diào)性知D正確.【詳解】取，顯然，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；若，無意義，C錯(cuò)誤；若，則，D正確.故選：D.6．B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的周期性及單調(diào)性可判斷AB，由正切函數(shù)的周期判斷C，由正切型函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，的周期為，時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不單調(diào)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，的周期為，時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于C，的周期為，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，的周期為，時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤.故選：B7．B【解析】【分析】根據(jù)已知條件找出外接球的球心，求出半徑，再利用球的體積公式即可求解.【詳解】連接,交于點(diǎn),取的中點(diǎn)，則平面,,取的中點(diǎn),連接,作,垂足為，如圖所示由題意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即這個(gè)幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以這個(gè)幾何體的外接球的體積為.故選：B.8．C【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知，，即拋物線方程為，令代入拋物線方程，可得，代入雙曲線方程，可得，可設(shè)，，，由有兩邊平方相減可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.9．ACD【解析】【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C的外部，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對(duì)于D，圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋?，所以圓與圓C相交，所以D正確，故選：ACD10．BD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)判斷即可；對(duì)B，根據(jù)平面判斷即可；對(duì)C，舉反例判斷即可；對(duì)D，同B中，證明平面判斷即可；【詳解】對(duì)A，如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)有且，故平行四邊形，故，故當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)時(shí)才有，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如圖，由正方體的性質(zhì)可得，平面，故，又，平面，故平面，故，同理，故平面，故，故B正確；對(duì)C，當(dāng)在時(shí)，，故平面不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，同B有平面，故平面平面，故平面成立，故D正確；故選：BD11．AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故A正確；B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；所以，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D不正確.故選：AC.12．ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及分段函數(shù)的處理策略求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則有，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)中有1個(gè)大于等于1，不妨設(shè)，，則，則，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則有：，故D正確.故選：ACD13．52【解析】【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：由分層抽樣的性質(zhì)得：女生應(yīng)該抽?。海蚀鸢笧椋?2．14．##-1.5【解析】【分析】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則，，又，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可．【詳解】解：已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則，，又，則，故答案為：．15．【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式確定42為數(shù)列中的第幾項(xiàng)，可以求出公差，從而確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：設(shè)公差為，因?yàn)樵摂?shù)陣第n行共有個(gè)數(shù)，則前4行共有個(gè)數(shù)，所以第5行第6列數(shù)為，則，所以．故答案為：．16．

60°##

##【解析】【分析】利用余弦定理以及點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行處理.【詳解】在中，由余弦定理有：又，所以.如圖，作D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，則DE=FE，DC=FC=4，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，BE+EF最小..所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，當(dāng)且僅當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：，.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）選擇條件①可以用正弦定理進(jìn)行角化邊即可求解，選擇條件②利用輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換即可.（2）利用圓的角度關(guān)系和正弦定理即可求解.(1)解：選擇條件①：因?yàn)?，由正弦定理，可得，即，所?因?yàn)?，所?選擇條件②：因?yàn)樗?，?因?yàn)樗运裕?(2)由題意，O是外接圓的圓心，所以，所以故此.在中，由正弦定理，，即，解得.18．(1)(2)或【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的基本量列式求解即可；（2）先確定，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式結(jié)合求解即可(1)設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意知：，所以，解得或（舍），所以.(2)由題知：，，，，…，是以8為末項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，解得，所以，所以所以，即，解得或.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，先證明平面POH即可；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)MN與平面PAB所成的角為，再根據(jù)線面角的向量方法求得，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可(1)因?yàn)樗倪呅蜲BCH為正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH.∵平面PBC，平面平面，∴.(2)∵圓錐的母線長(zhǎng)為，，∴，，以O(shè)為原點(diǎn)，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，，為平面PAB的一個(gè)法向量，設(shè)MN與平面PAB所成的角為，則，令，則所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最大，亦最大，此時(shí)，所以.20．(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可知函數(shù)的極值點(diǎn)為，從而得，再由是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可得，設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為證，設(shè)，只需證明:，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可(1)，，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由得:在上為增函數(shù)；由得:在上為減函數(shù)(2)由（1）可知:且當(dāng)時(shí)，取極大值為從而的最大值為為滿足題意，必有，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞増；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而，，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，兩式相減得:.設(shè)，所以要證明:，只需要證明:.即證明:，也就是證明:，設(shè)，下面就只需證明:，設(shè)，則，在上為增函數(shù)，從而，成立，從而【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，令，再次將問題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題21．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.(2)（i）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可證明.（ii）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得與的關(guān)系式，即可證明直線過定點(diǎn).(1)解：由題知，，的面積等于，所以，解得，，所以，橢圓C的方程為.(2)（i）設(shè)直線PA的方程為，直線PB的方程為，由題知，所以，所以，同理，，所以，是方程的兩根，所以.（ii）設(shè)，，設(shè)直線AB的方程為，將代入得，所以，①，②所以，③，④又因?yàn)?，⑤將①②③④代入⑤，化?jiǎn)得，所以，所以，若，則直線，此時(shí)AB過點(diǎn)P，舍去.若，