1-4-2-用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題(第二課時(shí))-高二數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題第2課時(shí)

用空間向量研究夾角問(wèn)題

學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、平面與平面的夾角．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2.能用向量方法解決線線、線面、平面與平面的夾角問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能描述用向量方法解決夾角問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.1.通過(guò)學(xué)習(xí)線線、線面、平面與平面的向量表示，提升直觀想象素養(yǎng).2.通過(guò)利用向量方法解決線線、線面、平面與平面的夾角問(wèn)題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).與距離類似，角度是立體幾何中另一個(gè)重要的度量．我們能否用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角？探究一、用向量求異面直線所成的角——線線角則兩條直線的方向向量的夾角與兩異面直線所成角關(guān)系是什么？提示：相等或互補(bǔ)．兩條直線的方向向量的夾角為銳角(直角)時(shí)相等，夾角為鈍角時(shí)互補(bǔ)．

思考：以上我們用向量解決了異面直線

AM

和

CN所成角的問(wèn)題，你能用向量方法求直線

AB和平面BCD所成的角嗎？

類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角探究二、用向量求直線與平面所成的角——線面角

斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成角.探究三、用向量求兩個(gè)平面的夾角兩個(gè)平面的夾角與這兩個(gè)平面形成的二面角有什么關(guān)系?

如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.二面角的范圍：一、用向量求異面直線所成的角二、用向量求直線與平面角三、用向量求兩個(gè)平面的夾角總結(jié)：解：①化為向量問(wèn)題例1、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.②進(jìn)行向量運(yùn)算③回到圖形問(wèn)題(1)幾何法解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)平移求解．過(guò)某一點(diǎn)作平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，最后通過(guò)解三角形求解．主要以“作，證，算”來(lái)求異面直線所成的角，同時(shí)，要注意異面直線所成角的范圍．(2)向量法利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角θ轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角

，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角，即

.求異面直線所成的角的兩種方法課本P382.PA，PB，PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的的余弦值是().例2、PA，PB，PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的的余弦值是(

).C

(1)幾何法找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．(2)向量法①建立空間直角坐標(biāo)系；②求直線的方向向量；③求平面的法向量；④計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則

.求直線與平面的夾角的方法與步驟解：①化為向量問(wèn)題分析:因?yàn)槠矫鍼QR與平西面A1B1C1的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面PQR與平面A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個(gè)平面的法向量的夾角即可.例3、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1，求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.②進(jìn)行向量運(yùn)算③回到圖形問(wèn)題

(1)幾何法在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，把平面角放到三角形中求解．(2)向量法①建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩個(gè)半平面的法向量

，

；③設(shè)二面角的平面角為θ，則；④根據(jù)圖形判斷

θ

為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其三角函數(shù)).求平面與平面的夾角的方法與步驟

A課本P383：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的