序列的收斂性與子序列的收斂性

序列的收斂性與子序列的收斂性摘要:本文研究序列的收斂性與子序列的收斂性之間的關(guān)系情況，分析和推導(dǎo)Bolzano-Welerstrass定理和一些結(jié)論，得出序列和子序列的收斂的幾種判定方法并應(yīng)用于控制收斂定理的一個重要推廣，這對于我們進(jìn)一步了解序列與子序列之間的關(guān)系有著一定的意義。關(guān)鍵詞：序列；子序列；收斂；極限1引言在數(shù)學(xué)分析里，對于序列的研究主要是極限問題，但沒有較系統(tǒng)地討論序列的收斂性與子序列的收斂性的關(guān)系;本文主要分析序列與子序列之間的關(guān)系，從中得出一些定理和結(jié)論，這對于我們對序列收斂性判定和研究序列與子序列間的關(guān)系具有很大的幫助。2序列和子序列的定義及其相互關(guān)系2.1序列和子序列的定義定義：若函數(shù)f的定義域?yàn)檎麄€全體正整數(shù)集合N+，則稱f:NtR或f(n),neN為序列。因?yàn)檎麛?shù)集合N+的元素可按照由大到小的順序排列，故序列f(n)也可以寫為a1，a2，"3，?"4,n十"，或者簡單地記為｛a｝，其中a稱為該序列的通項(xiàng)。序列可分為有界序列，無界序列，單調(diào)序列，常序列或周期序列等。從序列｛a｝中將其項(xiàng)抽出無窮多項(xiàng)來，n按照它們在原來序列中的順序排成一列：a，a，…，a，…又得一個新nin2 nk的序列｛an｝，稱為原來序列的子序列。易見｛an｝中的第k項(xiàng)是｛aj中的第nk項(xiàng)，所以總有七＞k，事實(shí)上｛aj本身也是｛aj的一個子序列，且是一個最大的子序列(n"時)。

2.2序列與子序列之間的若干關(guān)系定理1(Bolzano-Welerstrass):若序列｛。｝有界，則必存在收斂子序列nb｝，若序列｛a｝無界，則必存在子序列b｝，使a*(或aT—s).nk n nk nk nk證明：(1)不妨設(shè)｛a｝中有無限多個不同的項(xiàng)，否則結(jié)論顯然成立.用有限n覆蓋定理(見注釋①)來證明結(jié)論.設(shè)序列｛a｝為一有界序列，則存在m,M，使nm<a<M(n=1,2,...)下面先證明在［m,M］中存在一點(diǎn)c，使該點(diǎn)任一鄰域內(nèi)有｛a｝中的無窮多n項(xiàng).用反證法，若此斷言不成立，則對任意ae［mM都存在一鄰域(a-%a+々)，5盧0在此鄰域內(nèi)它有｛an)中的有限項(xiàng)，A=｛(a—5,a+5),ae［m,M］｝構(gòu)成［m,M］的一開區(qū)間覆蓋.由有限覆蓋定理，存在有限子覆蓋，即存在a*存在有限子覆蓋，即存在a*(j=1,2,...,k)，使

j[m,M]uU(a*—5 〃*工5)j=1依反證假設(shè)，*j a*j中至多含有｛a｝的有限項(xiàng)與

nm<a<M1=,2.)矛盾.n據(jù)以上證明，存在a據(jù)以上證明，存在ae(c—1,c+1)，一」1 1、，…一，，又在c—-,c+-中，存在一項(xiàng)a使"2 2) n否則與c的任何鄰域中有｛a｝的無窮項(xiàng)矛盾，同樣我們可以在n(1 1、…一.一 」1 1、…一一c--,c+-中找到一項(xiàng)a，使n>n>...在c-一,c+-中找到一項(xiàng)a使"3 3) n3 3 2 "kk) nknk>nk1>...，最終得到一個序列bn｝滿足:(i) ｛a｝是｛a｝的子序列nk n

(ii)a(ii)ank于是，由（i）和（ii）知，ak是an的收斂子序列.（2）另外對于無界序列｛a｝，則可以利用序列無界定義，類似（1）后面一部分n可以證明出存在子序列｛a｝—8.例1：對于有界序列n｛一*例1：對于有界序列n｛一*｝，它存在子序列113攵斂于1，當(dāng)一.例2：對于無界序列｛n｝，它的一切子序列都發(fā)散到+8.以上是關(guān)于序列與其子序列在序列有界和無界的情況下進(jìn)行的關(guān)系探討，進(jìn)｛a｛a｝為｛a｝的一個子序列，且有a—a，定理2：若｛a｝為單調(diào)有界序列n（k—8）則有(n—8).證明：由于｛證明：由于｛a｝是單調(diào)有界序列，n可根據(jù)序列單調(diào)有界定理（見注釋②）知道，｛a｝收斂，而lima存在，現(xiàn)假設(shè)記為b，即lna=b，由定義，對Vsn n—8n n—8n使當(dāng)n>氣時候，有由于｛由于｛a｝是｛a｝的子序列，且nk na-b<2，且a—a(k—8)，故對上述s>0使當(dāng)nk>k>N2時，就有a又取N=又取N=max｛N,N｝，當(dāng)k>N時，就有nk>N2，于是有:a<S+-<S+-=s22|b一a|=b一a+a即有a=b成立，所以lima=a成立.X—8例3設(shè)序列a=寸2+ +寸2,｛a2J為｛a｝的一個子序列且有a—2,（kT3）,則有a—2（n—3）.3序列與子序列的三個定理定理3：序列｛七｝收斂于a的充要條件是它的任何子序列匕〃｝也都收斂于同一個極限a?證明：依題意，設(shè)lim氣=a,'〃｝為｛%｝的一個子序列，于是對于任給的n—3 nk ng>0，存在N，使得n〉N當(dāng)時就有|氣-a|<e，因?yàn)椋牵撸淖有蛄?，故有nk>k，所以當(dāng)k>N時，nk>N,從而有：x一a<￡nk按照序列極限定義知limx=a,即｛x｝收斂且與｛x｝的極限相同.n—3 nk n反之若序列｛x｝的任一子序列都收斂，且有相同的極限a，因?yàn)椋鹸｝本身為nn自己的一個子序列，所以有l(wèi)imx=a.n—3定理4：序列｛an）收斂的充要條件是奇子序列｛a2k1）與偶子序列｛a2J都收斂，且它們的極限相等.證明：根據(jù)定理3,序列｛aj的奇子序列｛a2k1）與偶子序列｛a2J，且它們的極限相等.設(shè)lima=lima=a.根據(jù)序列極限的定義，即k—32k-1 k—32kpk1eN,V2k-1>k1,有|a21-a\<￡.'BkeN,V2k>k,有l(wèi)a-a|<￡.12 212k 1BN=max{k,k).于是，Vn>N，有a-a<￡，艮口 lima=a. （證畢）n—3n定理5：若序列｛xj收斂于a的充要條件是｛xj的任一子序列%”）中必有子

序列｛［使得x—a(kT3).nk nk證明：由定理3我們可以知道：若序列｛氣｝收斂于a，則它的任何子序列七｝也都收斂于同一個極限a，由題意必要性得證.nknk已知序列｛x｝的任一子序列匕｝中必有子序列｛｝使得x-—a(k-—3>)，n nknk則由定理3有x—a(k—3).nk用反證法，假設(shè)limx用反證法，假設(shè)limx。ax—3則必然存在e0>0對于任意自然數(shù)N，都有n0>0時，有x-a>&當(dāng)N-1時，n>1，使x一a>e1 n1 0xn2當(dāng)N-nk1時，由此可以得到｛x｝的一個子序列k｝，它的每一項(xiàng)xn都滿足故｛xn｝不收斂于a，且bn｝中不存在收斂于a的子序列，這與已知矛盾，因此limx-a成立。n—34序列與子序列定理的應(yīng)用4.1定理3的應(yīng)用利用定理3,可以用來判定一個序列不收斂的情況.即若對一個序列｛a｝，n可以找到兩個不可能有相同極限的子序列｛a,｝和｛a,,扁有｛aj必發(fā)散。nk nk例4證明｛sinn｝發(fā)散。證明：因下述兩區(qū)間長度均大于1，故必存在自然數(shù)n和n"滿足:

氣E2kn+4,2kn+~r,n"&I"(2k+1)兀,(氣E2kn+4,2kn+~rkL 一顯然n<n<...，及n”<n”<...,且sinn'>^-，sinn"<0，因此，｛inn'｝和1 2 1 2 k2 k k｛sinn｝是兩個不可能有相同極限的子序列，這證明了｛sinn｝發(fā)散.k4.2定理5的應(yīng)用應(yīng)用定理5,可以判斷一個序列收斂。例5(控制收斂定理的推廣)n,n>1,jg(x)dF(x)<3且n,n>1,jg(x)dF(x)<3且f(x)—np^f(x),則有n- RIf(x)|<g(x)nlimf(x)dF(x)=jf(x)dF(x)成立.nT3nR R引理1：設(shè)(f)及f均為實(shí)值可測函數(shù)，且fn—Pf,(nT3)則存在子序列(fn)，使f——a—f,(nT3).引理2(控制收斂定理):設(shè)X為一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x),若隨機(jī)n>1,jg(x)dF(xn>1,jg(x)dF(x)<3，且f(x)——Tf(x),則有l(wèi)imjf(x)dF(x)=jf(x)dF(x).(見注釋③)nT3nR R .I證明：由f(x)——Tf(x)知，對｛f｝的任一子序列｛｝均有由引理1,必存在｛f｝的子序列｛f｝,使得k|f(x)|<g(x),f(x)—p——f)x.nfn(x)—Tf(x).于是用引理2就有l(wèi)imjf(x^dF(x)=ff(x^dF(x).ksnkRR由于子序列"｝的任意性，上式說明：序列"f(x)dF｝］的任一子序列〃’ IR"Jjf,G)dF(x)｝均收斂于jf(x)dF(x)，故由定理5知:rn 」 Rlimjf(x)dF(x)=jf(x)dF(x).ns"R R證畢.參考文