七年級數(shù)學(xué)上冊知識點練習(xí)專題6.5 期末專項復(fù)習(xí)之圖形的初步認(rèn)識十八大必考點（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

第頁專題6.5圖形的初步認(rèn)識十八大考點【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u專題6.5圖形的初步認(rèn)識十八大考點 1【考點1直線、射線、線段的條數(shù)】 1【考點2雙中點線段問題】 4【考點3線段的等分點問題】 7【考點4線段動點的定值計算】 12【考點5線段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問題】 20【考點6剪繩子(端點重合)問題】 27【考點7動點中線段和差問題】 32【考點8線段的長短比較】 39【考點9時針和分針重合次數(shù)與時間】 41【考點10兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】 45【考點11線段、角的規(guī)律問題】 55【考點12角度的翻折問題】 58【考點13兩塊三角板旋轉(zhuǎn)問題】 62【考點14射線旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】 68【考點15余角和補(bǔ)角的性質(zhì)】 78【考點16確定幾何體的視圖】 87【考點17根據(jù)視圖確定幾何體】 89【考點18幾何體展開圖的識別】 91【考點1直線、射線、線段的條數(shù)】【例1】（2022·遼寧錦州·七年級期末）如圖，C，D是線段AB上的點，若AB=8，CD=2，則圖中以C為端點的所有線段的長度之和為______．【答案】10【分析】先根據(jù)線段的定義表示出以C為端點的所有線段，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：以C為端點的所有線段分別是AC、CD、CB共3條，∵AB=8，CD=2，∴AC+CD+CB=（AC+CB）+CD=AB+CD=8+2=10．故答案為：10．【點睛】本題考查了兩點間的距離，找線段時要按照一定的順序做的不重不漏，求和時把相加等于AB的長度的兩條線段結(jié)合成一組可以使運(yùn)算更簡便．【變式1-1】（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）閱讀并填空：問題：在一條直線上有A，B，C，D四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點的線段有AB，AC，AD3條，同樣以B為端點，以C為端點，以D為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3，即4×3＝12（條），但AB和BA是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有______條線段．那么，若在一條直線上有5個點，則這條直線上共有______條線段；若在一條直線上有n個點，則這條直線上共有______條線段．知識遷移：若在一個銳角∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則這個圖形中總共有______個角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則總共有______個角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須?？棵總€車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備______種不同的車票．【答案】6，10，nn?12，6，【分析】問題：根據(jù)線段的定義解答；知識遷移：根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則4×325×42nn?1知識遷移：在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個不同的角，在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)n+2學(xué)以致用：5個火車站代表的所有線段的條數(shù)12需要車票的種數(shù)：10×2=20（種）．故答案為：6，10，nn?12，6，【點睛】此題主要考查了線段的計數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．【變式1-2】（2022·北京通州·七年級期末）如圖，棋盤上有黑、白兩色棋子若干，若直線l經(jīng)過3枚顏色相同的棋子，則這樣的直線共有_____條．【答案】3【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)來畫圖解答.【詳解】如圖，有3條.【點睛】本題主要考查了直線、射線、線段的應(yīng)用.直線：直線向兩方無限延伸，無法度量長度，經(jīng)過兩點有且只有一條直線，而兩條直線相交只有一個交點.【變式1-3】（2022·黑龍江·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)七年級期末）平面上不重合的兩點確定一條直線，不同三點最多可確定3條直線，若平面上不同的n個點最多可確定28條直線，則n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】兩點確定一條直線；不同三點最多可確定3條直線；不同4點最多可確定（1+2+3）條直線，不同5點最多可確定（1+2+3+4）條直線，因為1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8個點最多可確定28條直線．故選：C．【考點2雙中點線段問題】【例2】（2022·福建泉州·七年級期末）在一條直線上依次有E、F、G、H四點．若點F是線段EG的中點，點G是線段EH的中點，則有（）A．EF=GH B．EG>GH C．GH>2FG D．FG=【答案】D【分析】依據(jù)點F是線段EG的中點，點G是線段EH的中點，即可得到EF＝FG，EG＝GH，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：∵點F是線段EG的中點，∴EF＝FG，∵點G是線段EH的中點，∴EG＝GH，∴FG＝12GH故選：D．【點睛】本題主要考查由圖判斷線段關(guān)系，涉及線段的中點概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點，讀懂圖形中各個線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東東營·期末）如圖，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的點，點D為線段AE的中點．(1)若線段AB＝a，CE＝b且(a?16)2+|2b?8|=0，求a，(2)在（1）的條件下，求線段CD的長，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可推出a、b的值；（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出AB和CE的長度，根據(jù)圖形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的長度，由D為AE的中點，即可推出DE的長度，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可求出CD的長度．（1）解：∵(a?16)2∴a-16=0，2b-8=0，∴a=16，b=4；（2）解：∵點C為線段AB的中點，AB=16，CE=4，∴AC=12AB∴AE=AC+CE=12，∵點D為線段AE的中點，∴DE=12AE∴CD=DE-CE=6-4=2．【點睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點的有關(guān)計算，關(guān)鍵在于正確的進(jìn)行計算，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2-2】（2022·山東濰坊·七年級期中）已知點C在直線AB上，點M，N分別為AC，BC的中點．(1)如圖所示，若C在線段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求線段BC，MN的長；(2)若點C在線段AB的延長線上，且滿足AC?BC=a厘米，請根據(jù)題意畫圖，并求MN的長度（結(jié)果用含a的式子表示）．【答案】(1)BC=7cm；(2)作圖見解析，MN=12【分析】（1）根據(jù)“點M是AC的中點”，先求出MC的長度，再利用BC=MB?MC，CN=12BC，MN=CM+CN即可求出線段BC，MN的長度；（2）根據(jù)題意，M點的位置分兩種情況：先畫圖，再根據(jù)線段中點的定義得MC=12AC，NC=12BC，然后利用【詳解】（1）解：∵M(jìn)是AC的中點，∴MC=1∴BC=MB?MC=7cm又N為BC的中點，∴CN=1∴MN=MC+NC=6.5cm（2）解：根據(jù)題意，M點的位置分兩種情況：①M(fèi)點的位置在B點左側(cè)，如圖所示：∵M(jìn)是AC的中點，∴CM=1∵N是BC的中點，∴CN=1∴MN=CM?CN=12AC?②M點的位置在B點右側(cè)，如圖所示：∵M(jìn)是AC的中點，∴CM=1∵N是BC的中點，∴CN=1∴MN=CM?CN=12AC?【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段的中點定義，理解線段的中點把線段分成兩條相等的線段是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）一條直線上有A，B，C三點，AB=8cm，AC=18cm，點P，Q分別是AB，AC的中點，則【答案】13cm或【分析】因為直線上三點A、B、C的位置不明確，所以要分B在A，C兩點之間和A在C、B兩點之間兩種情況，分別結(jié)合圖形并根據(jù)中點的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意由兩種情況①若B在A，C兩點之間，如圖：則PQ=AQ?AP=12∵AB=8cm∴PQ=1②若C在A，B兩點之間，如圖：則PQ=AP+AQ=∵AB=8cm∴PQ=1故答案為：13cm或5cm．【點睛】本題主要考查了線段中點定義、線段的和差等知識點，根據(jù)題意正確畫出符合題意的圖形是解答本題的關(guān)鍵.【考點3線段的等分點問題】【例3】（2022·吉林白城·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為－10，點B表示的數(shù)為2．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，P、Q同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒，解答下列問題．（1）數(shù)軸上點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點P表示的數(shù)和點Q表示的數(shù)互為相反數(shù)時，求t的值；（3）點P追上點Q時，求t的值；（4）若點B恰好是線段PQ的3等分點時，t的值為．【答案】（1）?10+4t，2+2t；（2）t=43；（3）t=6【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離，在結(jié)合路程=速度×?xí)r間，即可解答（2）根據(jù)相反數(shù)的定義，在結(jié)合（1）的結(jié)論列方程即可（3）根據(jù)題意列方程求解即可（4）根據(jù)題意列方程求解即可【詳解】解：（1）數(shù)軸上點P表示的數(shù)為：?10+4t；點Q表示的數(shù)為：2+2t

（2）由題意得?10+4t解得t=即t=4（3）由題意得4t=2t+2+解得t=6即當(dāng)點P追上點Q時，t=6（4）由題意得：2??10+4t=解得：t=1.5或t=2.4【點睛】本題考查了數(shù)軸，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適等量關(guān)系流出方程，在求解．【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級期末）如圖，點C在線段AB上，點D是線段AC的中點，點C是線段BD的四等分點．若CB=2，則線段AB的長為______．【答案】16【分析】根據(jù)中點和四等分點的性質(zhì)可得AD=BD=12AB，BC=14【詳解】解：∵點D是線段AC的中點，點C是線段BD的四等分點∴AD=BD=12AB∴BC=1∵CB=2，∴AB=16故答案為：16．【點睛】本題考查了線段中點的性質(zhì)，n等分點的計算，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝43AB（1）請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出ACAB（2）設(shè)AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動．①當(dāng)點D在線段AB上運(yùn)動，求ADCE②在點D，E沿直線AB向左運(yùn)動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當(dāng)點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【答案】（1）13【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，表示出線段長即可得到結(jié)論；②分BD=3CD和BD=3CB兩種情況，根據(jù)三等分點求出BD的長，進(jìn)而求出運(yùn)動時間，求出MD、NB的長即可．【詳解】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝43AB∴CA＝BC?AB=1ACAB故答案為：13（2）①AB＝9cm，由（1）得，CA=13AB=3（cm）DA=(9?3t)cm，CE=(3?t)cm，ADCE②當(dāng)BD=3CD時，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=2CD=12cm，∴CD=6cm，BD=3CD=18cm，運(yùn)動時間為：18÷3=6（秒），則AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD?BE=3cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD?DM?BN=12cm，當(dāng)BD=3CB時，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=12cm，∴BD=3CB=36cm，運(yùn)動時間為：36÷3=12（秒），則AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD?BE=15cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD?DM?BN=24cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【點睛】本題考查了線段的計算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練表示出線段長．【變式3-3】（2022·遼寧錦州·七年級期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時對下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB＝12，AC＝8，求MN的長．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的n等分點，即AM=1nAC，BN=【答案】(1)6(2)①12a；②MN=【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+（2）①由M，N分別是AC，BC的中點，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故②由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23③由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n?1nAC，CN=n?1nBC，即得MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1n（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點，∴CM=12AC=4，CN=12∴MN=CM+CN=6；故答案為：6；（2）解：①∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=1∵AB=a，∴MN=12a故答案為：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=2∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n?1nAC，CN=n?1n∴MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1∵AB=a，∴MN=n?1na故答案為：n?1na【點睛】本題考查了線段的中點、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運(yùn)算．【考點4線段動點的定值計算】【例4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）點A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足a+1+(1)如圖1，求線段AB的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程2x+1=12x?2的根，在數(shù)軸上是否存在點P使PA+PB=BC(3)如圖2，點P在B點右側(cè)，PA的中點為M，N為PB靠近于B點的四等分點，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動時，有兩個結(jié)論：①PM?2BN的值不變；②PM?2【答案】(1)4(2)存在，當(dāng)點P表示的數(shù)為-1.5或3.5時，PA+PB=BC；理由見解析(3)結(jié)論①正確，PM?2BN=2【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出AB的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，由PA+PB=BC確定出P位置，即可做出判斷；（3）設(shè)P點所表示的數(shù)為n，就有PA=n+1，PB=n-3，根據(jù)條件就可以表示出PM=n+12，BN=n?34，再分別代入①PM?2BN和②(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，∴AB=|-1-3|=4．答：AB的長為4；(2)解：存在，∵2x+1=1∴x=-2，∴BC=?2?3=5．設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，∵PA+PB=BC，∴|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．①當(dāng)m≤-1時，-m-1+3-m=5，m=-1.5；②當(dāng)-1＜m≤3時，m+1+3-m=5，（舍去）；③當(dāng)m＞3時，m+1+m-3=5，m=3.5．∴當(dāng)點P表示的數(shù)為-1.5或3.5時，PA+PB=BC；(3)解：設(shè)P點所表示的數(shù)為n，∴PA=n+1，PB=n-3．∵PA的中點為M，∴PM=12PA=n+1∵N為PB的四等分點且靠近于B點，∴BN=14PB=n?3∴①PM-2BN=n+12-2×n?3②PM+23BN=n+12+23×n?34=∴正確的結(jié)論為①，且PM-2BN=2．【點睛】此題考查了數(shù)軸的運(yùn)用，數(shù)軸上任意兩點間的距離公式的運(yùn)用，去絕對值的運(yùn)用，一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用兩點間的距離公式．【變式4-1】（2022·湖北孝感·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為9，點B表示的數(shù)為-6，動點P從點A出發(fā)，以5個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為tt>0(1)數(shù)軸上點P表示的數(shù)為__________（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時，AP=2BP？(3)若M為AP的中點，N為BP的中點，點P在運(yùn)動的過程中，線段MN的長度是否為定值？若是，請畫出圖形，并求出該定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)9?5t.(2)t=2或t=6(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列一元一次方程，解方程求解即可；（3）分情況討論，①當(dāng)點P在A，B兩點之間時，②當(dāng)點P運(yùn)動到點B的左側(cè)時，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，分別計算MN，即可求解．(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為9，以5個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為tt>0則數(shù)軸上點P表示的數(shù)為9?5t故答案為：9?5t(2)AP=5t，BP=9?5t+6∵AP=2BP，∴5t=2×15?5t，∴5t=30?10t或5t=10t?30解得t=2或t=6，∴當(dāng)t=2或t=6時，AP=2BP；(3)①當(dāng)點P在A，B兩點之間時，如圖1所示.MN=②當(dāng)點P運(yùn)動到點B的左側(cè)時，如圖2所示.MN=綜上可知，當(dāng)點P在運(yùn)動過程中，線段MN的長度為定值152【點睛】本題考查了數(shù)軸動點問題，一元一次方程的應(yīng)用，線段中點的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·江蘇·南京市科利華中學(xué)七年級階段練習(xí)）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作dAC例如，點C是AB的中點時，即AC=12AB反之，當(dāng)dACAB=因此，我們可以這樣理解：“dACAB=n【理解與應(yīng)用】(1)如圖，點C在線段AB上．若AC=3，AB=4，則dAC若dACAB=23【拓展與延伸】(2)已知線段AB=10cm，點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，向點B運(yùn)動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發(fā)，先向點A方向運(yùn)動，到達(dá)點A后立即按原速向點B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點先到達(dá)終點時，兩點均停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點Q從點B向點A方向運(yùn)動時，m?dAPAB+d②t為何值時，dAQ【答案】(1)34，(2)①3；②2或6【分析】（1）根據(jù)“點值”的定義即可得出答案；（2）①設(shè)運(yùn)動時間為t，再根據(jù)m?dAPAB+d②分點Q從點B向點A方向運(yùn)動時和點Q從點A向點B方向運(yùn)動時兩種情況加以分析即可（1）解：∵AC=3，AB=4，∴AC=∴dAC∵dAC∴AC=（2）解：①設(shè)運(yùn)動時間為t，則AP=t，AQ=10-3t，則dAPAB∵m?dAP∴m?t∴m=3②當(dāng)點Q從點B向點A方向運(yùn)動時，∵d∴10?3t∴t=2當(dāng)點Q從點A向點B方向運(yùn)動時，∵d∴3t∴t=6∴t的值為2或6【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點D與點B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動．①如圖1，點C在線段AB上，若M是線段AC的中點，N是線段BD的中點，求線段MN的長；②P是直線AB上A點左側(cè)一點，線段CD運(yùn)動的同時，點F從點P出發(fā)以3個單位/秒的向右運(yùn)動，點E是線段BC的中點，若點F與點C相遇1秒后與點E相遇．試探索整個運(yùn)動過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①M(fèi)N=8，②在整個運(yùn)動的過程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對值和平方的非負(fù)性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據(jù)線段中點的定義，即可得到答案；②設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進(jìn)行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線段AC的中點，N是線段BD的中點∴AM=CM=12AC，DN=BN=1∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+1=12AC+12CD+12=12(AC+CD+BD)+1=12=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：a+8解得：a=2在整個運(yùn)動的過程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點∴CE=BE=12Ⅰ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個運(yùn)動的過程中，F(xiàn)C?5DE的值為定值，且定值為0．【點睛】本題考查了線段中點的定義，線段的和差倍分的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，絕對值的非負(fù)性等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的中點定義進(jìn)行解題，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．【考點5線段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問題】【例5】（2022·浙江舟山·七年級期末）已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D、E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動，①如圖1，當(dāng)E為BC中點時，求AD的長；②當(dāng)點C是線段DE的三等分點時，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE=32，則【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）17【分析】（1）根據(jù)已知條件得到BC＝6，AC＝12，①由線段中點的定義得到CE＝3，求得CD＝5，由線段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②當(dāng)點C線段DE的三等分點時，可求得CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，則CD＝（2）當(dāng)點E在線段BC之間時，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，設(shè)CE＝y(tǒng)，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，當(dāng)點E在點A的左側(cè)，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，求得DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，得到y(tǒng)＝4x【詳解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E為BC中點，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵點C是線段DE的三等分點，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE∴CD＝163或CD＝8∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83（2）當(dāng)點E在線段BC之間時，如圖，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵AD+ECBE∴0.5x+y+yx?y∴y＝27x∴CD＝1.5x﹣27x＝1714∴CDAB當(dāng)點E在點A的左側(cè)，如圖，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x，∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝∴y?0.5x+yx+y∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴CDAB當(dāng)點E在線段AC上及點E在點B右側(cè)時，無解，綜上所述CDAB的值為1742或故答案為：1742或11【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用了線段中點的性質(zhì)、線段的和差、準(zhǔn)確識圖分類討論DE的位置是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·廣西河池·七年級期末）如圖，點M位于數(shù)軸原點，C點從M點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，D點從B點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動．(1)若點A表示的數(shù)為?3，點B表示的數(shù)為7，當(dāng)點C，D運(yùn)動時間為2秒時，求線段CD的長；(2)若點A，B分別表示?2，6，運(yùn)動時間為t，當(dāng)t為何值時，點D是線段BC的中點．(3)若AM=14AB，N是數(shù)軸上的一點，且AN?BN=MN【答案】(1)CD=3(2)當(dāng)t=65時點D是線段(3)MNAB【分析】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間可以計算出C、D運(yùn)行的路程，進(jìn)而求出MD的值，根據(jù)CD=CM+MD可求；（2）先表示出BD和CD，再根據(jù)點D是線段BC的中點，列方程求解；（3）分N在線段AB上和點N在線段AB的延長線上兩種情況，分別求解．（1）解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，又∵點A表示?3，點B表示7，∴AM=3，BM=7∴MD=BM?BD=7?6=1∴CD=CM+MD=2+1=3．（2）解：∵點A，B分別表示?2，6，所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6?3t，CD=MD+MC=t+6?3t當(dāng)D是BC的中點時CD=BD，即t+6?3t=3t，t=∴當(dāng)t=65時點D是線段（3）解：①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖∵AN?BN=MN，又∵AN?AM=MN∴BN=AM，又∵AM=∴MN=12②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN?BN=MN，又∵AN?BN=AB∴MN=AB，即MN綜上所述MNAB【點睛】本題考查了線段的和差和中點，及兩點間的距離，一元一次方程，解題分關(guān)鍵是掌握點的移動路程與線段的關(guān)系．【變式5-2】（2022·全國·七年級單元測試）已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【答案】(1)7(2)1(3)13或【分析】（1）計算出CM和BD的長，進(jìn)而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC結(jié)合（1）問便可解答；（3）由AN＞BN，分兩種情況討論：①點N在線段AB上時，②點N在AB的延長線上時；結(jié)合圖形計算出線段的長度關(guān)系即可求解；（1）解：當(dāng)點C、D運(yùn)動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13故答案為：13（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14AB①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝14AB∴MN＝12AB，即2MN3AB②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴MNAB=1,即2MN3AB綜上所述2MN3AB＝1【點睛】本題考查求線段長短的知識，關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，根據(jù)條件理清線段的長度關(guān)系再解答．【變式5-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知：如圖1，點M是線段AB上一定點，AB＝12cm，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AM＝4cm，當(dāng)點C、D運(yùn)動了2s，此時AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當(dāng)點C、D運(yùn)動了2s，求AC+MD的值．（3）若點C、D運(yùn)動時，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【答案】（1）2，4；（2）6cm；（3）4；（4）MNAB【分析】（1）先求出CM、BD的長，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB＝2AM，然后根據(jù)AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分點N在線段AB上和點N在線段AB的延長線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）根據(jù)題意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案為：2cm，4cm；（2）當(dāng)點C、D運(yùn)動了2s時，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；（3）根據(jù)C、D的運(yùn)動速度知：BD＝2MC，∵M(jìn)D＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB故答案為：4；（4）①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴MNAB②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴MNAB綜上所述MNAB故答案為MNAB【點睛】本題考查了線段上的動點問題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【考點6剪繩子(端點重合)問題】【例6】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）把根繩子對折成一條線段AB，在線段AB取一點P，使AP=13PB，從P處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為24A．32cm B．64cm C．32cm或64cm 【答案】C【分析】由于題目中的對折沒有明確對折點，所以要分A為對折點與B為對折點兩種情況討論，討論中抓住最長線段即可解決問題．【詳解】解：如圖∵AP=1∴2AP=23①若繩子是關(guān)于A點對折，∵2AP＜PB∴剪斷后的三段繩子中最長的一段為PB=30cm，∴繩子全長=2PB+2AP=24×2+23②若繩子是關(guān)于B點對折，∵AP＜2PB∴剪斷后的三段繩子中最長的一段為2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×13∴繩子全長=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故選：C．【點睛】本題考查的是線段的對折與長度比較，解題中滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．【變式6-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）將一段72cm長的繩子，從一端開始每3cm作一記號，每4cm也作一記號，然后從有記號的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【分析】先求出每3厘米作一個記號，可以作幾個記號；再求出每4厘米作一個記號，可以作幾個記號；因為3和4的最小公倍數(shù)是12，所以每12厘米處的記號重合，由此即可求出繩子被剪出的段數(shù)．【詳解】解：∵繩子長72cm，∴每3cm作一記號，可以把繩子平均分成72÷3＝24（段），可以做24?1＝23個記號，每4cm也作一記號，可以把繩子平均分成72÷4＝18（段），可以做18?1＝17個記號，∵3和4的最小公倍數(shù)是12，所以重合的記號有：72÷12?1＝5（個），∴有記號的地方共有23＋17?5＝35，∴這段繩子共被剪成的段數(shù)為35＋1＝36（段）．故選：B．【點睛】此題主要考查了線段，關(guān)鍵是正確理解每3厘米、4厘米作一個記號，可以作幾個記號，有多少的記號重合．【變式6-2】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖，將一股標(biāo)有0～60均勻刻度的繩子鋪平后折疊(繩子無彈性)，使繩子自身的一部分重疊，然后在重疊部分某處剪斷，將繩于分為A，B，C三段若這三段的長度的比為3：2：1，則折痕對應(yīng)的刻度是__________．【答案】20【分析】設(shè)折痕對應(yīng)的刻度為x，根據(jù)折疊的性質(zhì)和A，B，C三段的長度的比為3：2：1，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)折痕對應(yīng)的刻度為x，由A，B，C三段長度的比為3：2：1，可得三段長度分別是30、20、10，依題意得：x＝202故答案為：20．【點睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用和圖形的剪拼，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．【變式6-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，將一段長為60厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點折疊，點A、B分別落在A′①如圖2，若A′,B②如圖3，若點A′落在B′的左側(cè)，且③若A′（2）如圖4，若將繩子AB沿N點折疊后，點B落在B′處，在重合部分B【答案】（1）①30，②40cm，③30+n2cm或【分析】（1）①根據(jù)MN=MO+NO=12AO+12BO=②根據(jù)M、N分別為AA′、BB′的中點，得出AM=12AA'，BN=③根據(jù)M、N分別為AA′、BB′的中點，得出AM=12AA'，BN=（2）根據(jù)三段的長度由短到長的比為3：4：5，得出繩子被剪分為15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情況討論，根據(jù)AN=AP+12P【詳解】解：（1）①M(fèi)N=MO+NO=12AO+12BO=②因為AB=60cm，A′B′=20cm，所以AA′+BB′=AB-A′B′=60-20=40cm．根據(jù)題意得，M、N分別為AA′、BB′的中點，所以AM=12AA'，BN=AM+BN=12AA'+12BB'=所以MN=AB–（AM+BN）=60-20=40cm．③因為M、N分別為AA′、BB′的中點，所以AM=12AA'，BN=（?。┤鐖D，若點A′落在點B′的左側(cè)，AA′+BB′=AB-A′B′=(60–n)cm．AM+BN=12AA'=12AA'+BB'=所以MN=AB–（AM+BN）=60?30?（ⅱ）如圖，若點A′落在點B′的右側(cè)，

AA′+BB′=AB+A′B′=(60+n)cm．AM+BN=12AA'=12AA'+BB'=所以MN=AB–（AM+BN）=60?30+n綜上，MN的長度為30+n2cm或（2）如圖，∵三段的長度由短到長的比為3：4：5，∴60×33+4+故繩子被剪分為15cm，20cm，25cm三段當(dāng)B'P'AN=AP+12PP'當(dāng)B'P'AN=AP+12PP'當(dāng)B'P'AN=AP+12PP'當(dāng)B'P'AN=AP+12PP'當(dāng)B'P'AN=AP+12PP'當(dāng)B'P'AN=AP+12PP'綜上AN所有可能的長度為：25cm或27．5cm或32．5cm或35cm．【點睛】本題主要考查了線段的計算、線段的折疊問題、線段中點的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點的性質(zhì)，注意審題及分類討論思想．【考點7動點中線段和差問題】【例7】（2022·全國·七年級階段練習(xí)）已知多項式(a+10)x3+20x2?5x+3是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為(1)a=___________，b=___________，線段AB=___________；(2)若數(shù)軸上有一點C，使得AC=32BC，點M為(3)有一動點G從點A出發(fā)，以1個單位每秒的速度向終點B運(yùn)動，同時動點H從點B出發(fā)，以56個單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＜30），點D為線段GB的中點，點F為線段DH的中點，點E在線段GB上且GE=13GB，在G【答案】(1)?10，20，30；(2)3或75；(3)252【分析】（1）由題意直接可求解；（2）①當(dāng)點C在AB之間時，如圖1，②當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖2，分別計算AC和AM的長，相減可得結(jié)論；（3）本題有兩個動點G和H，根據(jù)速度和時間可得點G表示的數(shù)為：?10+t，點H表示的數(shù)為：20+56t，根據(jù)中點的定義得點D和F表示的數(shù)，由EG=13BG【詳解】（1）解：由題意知：a+10=0，∴a=∴AB的距離為20故答案為：?10（2）分兩種情況：①當(dāng)點C在AB之間時，如圖1，∵AC=32∴AC=18∵M(jìn)是AB的中點，∴AM=15∴CM=18②當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖2，∵AC=32∴AC=90∵AM=15∴CM=90綜上，CM的長是3或75；（3）由題意得：點G表示的數(shù)為：：?10+t，點H表示的數(shù)為：∵t<30，AB∴點G在線段AB之間，∵D為BG的中點，∴點D表示的數(shù)為：20+(?10+t)2∵F是DH的中點，∴點F表示的數(shù)為：5+1∵BG=20∵EG=∴EG=30?t3∴點E表示的數(shù)為：?10+t+10?13∴DE+DF=(5+12【點睛】本題考查多項式和數(shù)軸；與中點有關(guān)的計算，數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點間的距離，根據(jù)點的運(yùn)動特點，分情況列出合適的方程，進(jìn)行求解是關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在直線AB上，線段AB=24，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動．M為AP的中點，N為BP的中點，設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒．(1)若點P在線段AB上的運(yùn)動，當(dāng)PM=10時，PN=；(2)若點P在射線AB上的運(yùn)動，當(dāng)PM=2PN時，求點P的運(yùn)動時間t的值；(3)當(dāng)點P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動時，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【答案】(1)PN=2(2)8或24(3)PN?PM=1【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計算即可求解；（2）分點P在線段AB上運(yùn)動和線段AB的延長線上運(yùn)動進(jìn)行討論，從而求解；（3）先將PM和PN表示出來，再求出線段AB、PM、PN之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵M(jìn)為AP的中點，PM=10，∴AP=20，∵線段AB=24，N為BP的中點，∴PN=24?20故答案是：2；（2）解：①當(dāng)點P在線段AB上，PM=2PN時，如圖，∵PM=AM=12AP=t∴t=212?t，解得：t=8②當(dāng)點P在線段AB的延長線上，PM=2PN時，如圖，∵PM=AM=12AP=t∴t=2t?12，解得：t=24綜上所述，當(dāng)PM=2PN時，點P的運(yùn)動時間t的值為8或24．（3）解：當(dāng)點P在線段AB的反向延長線上時，PN?PM=1∵PM=AM=12AP∴PN?PM=1【點睛】本題主要考查了點的運(yùn)動和線段之間的關(guān)系，熟練掌握幾何的基礎(chǔ)知識是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級期末）在數(shù)軸上，點O為原點，點A表示的數(shù)為9，動點B，C在數(shù)軸上移動（點C在點B右側(cè)），總保持BC=n（n大于0且小于4.5），設(shè)點B表示的數(shù)為m．(1)如圖，當(dāng)動點B，C在線段OA上移動時，①若n=2，且B為OA中點時，則點B表示的數(shù)為__________，點C表示的數(shù)為__________；②若AC=OB，求多項式6m+3n?40的值；(2)當(dāng)線段BC在射線AO上移動時，且AC?OB=12AB，求m【答案】(1)①4.5，6.5；②-13；(2)m=3?23n或m【分析】（1）①由點A表示的數(shù)得到OA=9，根據(jù)B為OA中點，得到OB=4.5，可知點B表示的數(shù)；由BC=n=2，點C在點B右側(cè)，即可得到點C表示的數(shù)；②根據(jù)AC=OB，BC=n，點B表示的數(shù)為m，得到2m+n=9，代入計算即可；（2）分別用n、m表示出AC、OB、AB，進(jìn)一步利用AC?OB=1(1)解：①∵點A表示的數(shù)為9，∴OA=9，∵B為OA中點，∴OB=4.5，∴點B表示的數(shù)為4.5；∵BC=n=2，點C在點B右側(cè)，∴4.5+2=6.5，∴點C表示的數(shù)為6.5；故答案為：4.5，6.5；②∵AC=OB，BC=n，點B表示的數(shù)為m．∴2m+n=9，∴6m+3n?40=3(2m+n)?40=3×9?40=?13；(2)解：①當(dāng)點B在原點右側(cè)時，AC=9?(m+n)=9?m?n，OB=m，AB=9-m，9?m?n?m=1解得m=3?2②當(dāng)點B在原點左側(cè)時，AC=9?(m+n)=9?m?n，OB=-m，AB=9-m，9?m?n+m=1解得m=2n-9；綜上，m=3?23n或m【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，考查了數(shù)軸與兩點間的距離的計算，根據(jù)數(shù)軸確定出線段的長度是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，直線l上有A，B兩點，AB＝12cm，點O是線段AB上的一點，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點C是線段AB上一點（點C不與點A、B重合），且滿足AC＝CO+CB，求CO的長；（3）若動點P從點A出發(fā)，動點Q從點B同時出發(fā)，都向右運(yùn)動，點P的速度為2cm/s．點Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線l看作以O(shè)為原點，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點所到的點表示的數(shù)為；此時，Q點所到的點表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時，2OP﹣OQ＝4（cm）．【答案】（1）8，4；（2）43cm；（3）①﹣8+2t，4+t【分析】（1）由于AB＝12cm，點O是線段AB上的一點，OA＝2OB，則OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根據(jù)圖形可知，點C是線段AO上的一點，可設(shè)C點所表示的實數(shù)為x，分兩種情況：①點C在線段OA上時；②點C在線段OB上時，根據(jù)AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求解；②分兩種情況：0＜t＜4（P在O的左側(cè)）；4≤t≤12（P在O的右側(cè)）；進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案為：8，4；（2）設(shè)C點所表示的實數(shù)為x，分兩種情況：①點C在線段OA上時，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣43②點C在線段OB上時，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合題意，舍）．故CO的長是43cm（3）①t（s）后，P點所到的點表示的數(shù)為﹣8+2t；此時，Q點所到的點表示的數(shù)為4+t．故答案為：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左側(cè)），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右側(cè)），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．綜上所述，t＝1.6或8時，2OP﹣OQ＝4cm．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上點的表示，比較復(fù)雜，要認(rèn)真理清題意，并注意數(shù)軸上的點，原點左邊表示負(fù)數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點的距離等于任意兩點表示的數(shù)的差的絕對值．【考點8線段的長短比較】【例8】（2022·陜西·延安市實驗中學(xué)七年級期末）如圖，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一條線段EF，使EF的長等于a+b，并比較線段EF與線段AB的長短．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）【答案】見解析【詳解】試題分析：直接利用圓規(guī)連續(xù)截取兩條線段分別等于a，b進(jìn)而得出答案；試題解析：如圖所示：EF即為所求，EF＞AB.【變式8-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）為比較兩條線段AB與CD的大小，小明將點A與點C重合使兩條線段在一條直線上，點B在CD的延長線上，則(

)A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能【答案】B【詳解】解：由點A與點C重合使兩條線段在一條直線上，點B在CD的延長線上，得AB＞CD．故選B．【變式8-2】（2022·浙江·衢州華茂外國語學(xué)校七年級期末）如圖，已知AC=BD，則AB與CD之間的大小關(guān)系是()A．AB>CD. B．AB=CD. C．AB<CD. D．無法確定.【答案】B【分析】根據(jù)AC=BD,將等量線段都減去BC即可解答此題.【詳解】∵AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD,故選B.【點睛】此題考察線段間的數(shù)量關(guān)系，利用AC=BD,將等量線段都減去BC即可解答此題.【變式8-3】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，A、B、C、D四點在同一直線上．(1)若AB=CD．①比較線段的大?。篈C________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC=34AC，且AC=16cm，則(2)若線段AD被點B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中點M和CD的中點N之間的距離是18cm，求AD的長．【答案】(1)①=；②20(2)27cm【分析】（1）①根據(jù)等式的性質(zhì)，得出答案；②求出BC的值，在求出AB、CD的長，進(jìn)而求出AD的長即可；（2）根據(jù)線段的比，線段中點的意義，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可．(1)解：①∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即，AC=BD，故答案為：=；②∵BC=34AC∴BC=3∴AB=CD=AC?BC=16?12=4(cm)，∴AD=AC+CD=16+4=20(cm)，故答案為：20；(2)解：如圖所示，設(shè)每份為x，則AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M(jìn)是AB的中點，點N是CD的中點N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵M(jìn)N=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm【點睛】本題考查線段及其中點的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是理解線段中點的意義．【考點9時針和分針重合次數(shù)與時間】【例9】（2022·江蘇蘇州·七年級期末）鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕?，如果時間從下午2點整到下午4點整，鐘面角為90°的情況有（

）A．有一種 B．有二種 C．有三種 D．有四種【答案】D【詳解】試題解析：設(shè)n=分，m=點，則鐘面角為{5.5°×n?30°×m，(分鐘在前)將m=2代入上式，得n1=27311，n2=60-5511=54將m=3代入上式，得n3=32811，n44：00時，鐘面角為30°×4=120°≠90°．故選D．考點：鐘面角．【變式9-1】（2022·全國·七年級單元測試）根據(jù)所學(xué)知識完成題目：

（1）一個角的余角與補(bǔ)角的和是這個角的補(bǔ)角與余角的差的兩倍，求這個角．

（2）從兩點三十分時開始算起，鐘表上的時針與分針經(jīng)過多久第一次重合？【答案】（1）這個角是45°；（2）經(jīng)過51011【分析】（1）設(shè)這個角是x°，則余角是（90-x）°，補(bǔ)角是（180-x）°，然后根據(jù)余角與補(bǔ)角的和是這個角的補(bǔ)角與余角的差的兩倍，即可列方程求解；（2）根據(jù)分針與時針的轉(zhuǎn)動速度結(jié)合夾角為90°，得出等式求出即可.【詳解】（1）解：設(shè)這個角是x°，則余角是（90﹣x）°，補(bǔ)角是（180﹣x）°根據(jù)題意得：（90﹣x）+（180﹣x）=2（180﹣x）﹣（90﹣x）解得：x=45．則這個角是45°.（2）解：兩點三十分時時針和分針的夾角是：105°，設(shè)經(jīng)過x分鐘，時針和分針第一次重合，時針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°．則6x﹣0.5x=360﹣105，解得：x=51011則經(jīng)過51011【點睛】本題考查鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系以及利用時針和分針的位置關(guān)系得出等式.【變式9-2】（2022·全國·七年級單元測試）時鐘上的分針和時針像兩個運(yùn)動員，繞著它們的跑道晝夜不停地運(yùn)轉(zhuǎn)．以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？(2)中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°？(3)在(2)中所述分針與時針?biāo)傻拟g角等于121°后，再經(jīng)過幾分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于121°？【答案】(1)6°(2)22(3)236【分析】（1）根據(jù)分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°，用360°除以60計算即得；（2）根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是121°，列方程解答即可；（3）相對于12時整第二次所成的鈍角第二次等于121°時，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180°，這個差與121°之和是360°．【詳解】（1）解：∵分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°,∴分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是：360°÷60=6°,答：分針每分鐘轉(zhuǎn)了6度；（2）設(shè)中午12時整后再經(jīng)過x分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°，∵時針一小時轉(zhuǎn)動角度為：360°÷12=30°，時分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是：30°÷60=0.5°；∵分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°，∴時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是121°，∴6x?0.5x=121，解得：x=22，答：中午12時整后再經(jīng)過22分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°；（3）設(shè)經(jīng)過y分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于121°，則從12時算起經(jīng)過(y+22)分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于121°，因為時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180°，這個差與121°之和是360°，故列得方程：6(y+22)?0.5(y+22)+121=360，解得：6(y+22)?0.5(y+22)+121=360，解得：y=236答：經(jīng)過23611分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于121°【點睛】本題通過鐘面角考查一元一次方程，掌握時針分針的轉(zhuǎn)動情況，會根據(jù)已知條件列方程是解題的關(guān)鍵．選擇合適的初始時刻會簡化理解和運(yùn)算難度，起到事半功倍的效果．【變式9-3】（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）探究實驗：《鐘面上的數(shù)字》實驗?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r針與分針在轉(zhuǎn)動時的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)建模思想．實驗準(zhǔn)備：機(jī)械鐘（手表）一只實驗內(nèi)容與步驟：觀察與思考：（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動__°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動__°．（2）若時間為8：30，則鐘面角為__°，（鐘面角是時針與分針?biāo)傻慕牵┎僮髋c探究：（1）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點處．再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻時針與分針再次重合？一天24小時中，時針與分針重合多少次？（一天中起始時刻和結(jié)束時刻時針與分針重合次數(shù)只算一次，下同）（2）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點處，再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻鐘面角第一次為90°？一天24小時中，鐘面角為90°多少次？拓展延伸：一天24小時中，鐘面角為180°__次，鐘面角為n°（0＜n＜180）____次．（直接寫出結(jié)果）【答案】觀察與思考：（1）0.5，6，（2）75；操作與探究：（1）1211，22；（2）3【詳解】解析:試題分析：觀察與思考：(1)鐘表12個數(shù)字,每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°即可得出答案;(2)鐘表上8:30,時針指向8和9的中間,分針指向6,即可得出答案,時針和分針相隔2.5個格;操作與探究：(1)①設(shè)經(jīng)過x小時時針與分針再次重合，根據(jù)分針轉(zhuǎn)過的角度=時針轉(zhuǎn)過的角度+360°列出方程即可得出答案；②設(shè)經(jīng)過x小時時針與分針再次重合，根據(jù)分針轉(zhuǎn)過的角度=時針轉(zhuǎn)過的角度+90°列出方程即可得出答案；拓展延伸：根據(jù)一天時針與分針重合的次數(shù)，結(jié)合每重合一次都會出此案兩次n的角可得到答案.解：觀察與思考：（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；（2）30°×2.5=75°操作與探究：（1）設(shè)經(jīng)過x小時時針與分針再次重合．360x=30x+360解得：x=1211∵時針與分針每經(jīng)過x=1211∴24÷1211答：1211時時針與分針再次重合．一天24小時中，時針與分針重合22（2）設(shè)經(jīng)過y小時鐘面角第一次為90°．360y=30y+90，解得：y=311∵每經(jīng)過x=1211時針與分針重合一次，而鐘面角為90°∴24÷1211答：12311時鐘面角第一次為90°．一天24小時中，鐘面角為90°44拓展延伸：由2可得：一天24小時中，鐘面角為180°有22次，鐘面角為n°（0＜n＜180）44次．故答案為22；44．點睛：本題考查了鐘面角的計算及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)時針與分針每小時轉(zhuǎn)動的角度和時針與分針?biāo)纬傻膴A角列方程求解.【考點10兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】【例10】（2022·陜西西安·七年級期中）已知∠AOB和三條射線OE、OC、OF在同一個平面內(nèi)，其中OE平分角∠BOC,OF平分角∠AOC，(1)如圖，若∠BOC=70°,∠AOC=50°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖，若∠BOC=α,∠AOC=β，直接用α、β表示∠EOF；(3)若∠BOC、∠AOC在同一平面內(nèi)，且∠BOC=α,∠AOC=β，OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，直接寫出用α、β表示∠EOF．【答案】(1)∠EOF=60°(2)∠EOF=1(3)∠EOF=12α+12【分析】(1)首先根據(jù)角平分線的定義求得∠COF，同理求得∠EOC，然后根據(jù)∠EOF=∠COF+∠EOC求解；(2)根據(jù)角平分線的定義可以得到∠COF=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，直接用(3)分三種情況討論，一種情況如圖所示∠AOC和∠BOC相鄰，還有一種情況是當(dāng)∠BOC在∠AOC內(nèi)部時，還有一種情況是當(dāng)∠AOC在∠BOC在內(nèi)部時．【詳解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∴∠EOF=∠COF+∠EOC=60（2）解：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∵∠EOF=∠COF+∠EOC，∴∠EOF=1∵∠BOC=α,∠AOC=β，∵∠EOF=1（3）解：當(dāng)∠AOC和∠BOC相鄰時，由（2）可知∠EOF=1當(dāng)∠BOC在∠AOC內(nèi)部時，如圖：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∴∠EOF=∠COF?∠EOC=1即∠EOF=1當(dāng)∠AOC在∠BOC內(nèi)部時，如圖所示：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∴∠EOF=∠EOC?∠COF=即∠EOF=1【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及角度的計算，分類討論的思想，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·廣東·正德中學(xué)七年級期末）多多對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和多多一起探究下面問題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究∠EOF的大小，請直接寫出∠EOF的度數(shù)（不寫探究過程）．【答案】(1)50°(2)50°(3)50°或130°【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC=15°，再根據(jù)角的和差、角平分線的定義可得∠COF=（2）先根據(jù)角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=（3）如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，再分①射線OC在∠AOD的內(nèi)部，②射線OC在（1）解：∵OE是∠AOC的平分線，∠AOC=30°，∴∠COE=1∵∠AOB=100°，∴∠COB=∠AOB?∠AOC=70°，∵OF是∠COB的平分線，∴∠COF=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=15°+35°=50°；（2）∵∠AOB=100°，∴∠AOC+∠COB=100°，∵OE是∠AOC的平分線，OF是∠COB的平分線，∴∠COE=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=故答案為：50°（3）∵OE是∠AOC的平分線，OF是∠COB的平分線，∴∠COE=1由題意，分以下三種情況：①如圖，延長BO至點D，當(dāng)射線OC在∠AOD的內(nèi)部時，∵∠AOB=100°，∴∠COB?∠AOC=100°，∴∠EOF=∠COF?∠COE=1②如圖，延長BO至點D，延長AO至點M，當(dāng)射線OC在∠DOM的內(nèi)部時，∵∠AOB=100°，∴∠COB+∠AOC=360°?∠AOB=260°，∴∠EOF=∠COF+∠COE=1③如圖，延長AO至點M，當(dāng)射線OC在∠BOM的內(nèi)部時，∵∠AOB=100°，∴∠AOC?∠COB=100°，∴∠EOF=∠COE?∠COF=1綜上，∠EOF的度數(shù)為50°或130°．【點睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·浙江寧波·七年級期末）【定義】如圖1，OM平分∠AOB，則稱射線OB,OA關(guān)于OM(1)【理解題意】如圖1，射線OB,OA關(guān)于OM對稱且∠AOB=45°(2)【應(yīng)用實際】如圖2，若∠AOB=45°,OP在∠AOB內(nèi)部，OP,OP1關(guān)于OB(3)如圖3,若∠AOB=45°,OP在∠AOB外部，且0°<∠AOP<(4)【拓展提升】如圖4，若∠AOB=45°,OP,OP1關(guān)于∠AOB【答案】(1)22.5(2)∠P1OP2=90°(3)∠P1OP2=90°(4)∠AOP=30°或54°【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對稱，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對稱，得到∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對稱，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對稱，求得∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（4）①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，②當(dāng)OP在∠AOB外部，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．(1)∵射線OB，OA關(guān)于OM對稱且∠AOB＝45°，∴∠AOM＝12∠AOB＝1故答案為：22.5；(2)∵OP和OP1關(guān)于OB對稱，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對稱，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；(3)∵OP和OP1關(guān)于OB對稱，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對稱，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，(4)①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，∵OP，OP1關(guān)于OB對稱，∴∠BOP＝∠BOP1，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，∴∠BOP1＝15°，∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，∴∠AOP＝30°，②當(dāng)OP在∠AOB外部，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴射線OP在射線OB的上面，如圖5，∵OP，OP1關(guān)于∠AOB的OB邊對稱，∴∠BOP＝∠BOP1，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，∴∠BOP1＝9°，∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，∴∠AOP＝45°＋9°＝54°綜上所述，∠AOP＝30°或54°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，角的和差，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·湖北黃石·七年級期末）將一副直角三角板ABC，AED，按如圖1放置，其中B與E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．(1)如圖1，點F在線段CA的延長線上，求∠FAD的度數(shù)；(2)將三角板AED從圖1位置開始繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①如圖2，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的內(nèi)部時，求∠MAN的度數(shù)；②當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部時，直接寫出∠MAN的度數(shù)．【答案】(1)165°；(2)①37.5°；②37.5°或142.5°．【解析】(1)解：如圖1∵∠BAC=45°，∠BAD=30°，∴∠DAC=45°?30°=15°，∴∠FAD=180°?15°=165°．(2)解：①如圖2∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC+∠CAE=====37.5°；②如圖3，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部，且∠BAE＜180°時，∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC?∠CAE=====37.5°；如圖4，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部，且180°＜∠BAE＜210°時，∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAD?∠DAE=====142.5°；如圖5，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部，且∠BAE＞210°時，∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAB=12∠BAE∴∠MAN=∠MAB+∠NAD?∠DAB=====37.5°．綜上所述：∠MAN的值為37.5°或142.5°．【點睛】本題考查了含角平分線的角的計算，難度較大，理解題意，根據(jù)題意畫出圖形并準(zhǔn)確進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．【考點11線段、角的規(guī)律問題】【例11】（2022·重慶忠縣·七年級期末）如圖中∠AOB＝60°，圖①中∠AOC1＝∠C1OB，圖②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，圖③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此規(guī)律排列下去，前④個圖形中的∠AOC1之和為(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【答案】C【分析】根據(jù)前三個圖形可知圖①中OC1為2等分線，圖②中OC1為3等分線，圖③中【詳解】解：根據(jù)題意可得，圖①中，∠AOC圖②中，∠AOC圖③中，∠AOC依次類推，第④個圖中，∠AOC∴前④個圖形中的∠AOC1之和為故選：C．【點睛】本題主要考查了角的計算，根據(jù)題意找出角度變化規(guī)律進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點【答案】190【分析】根據(jù)題目中的交點個數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點個數(shù)公式：12【詳解】解：2條直線相交有1個交點；3條直線相交最多有1+2=3=14條直線相交最多有1+2+3=6=15條直線相交最多有1+2+3+4=10=1…20條直線相交最多有12故答案為：190．【點睛】本題考查的是多條直線相交的交點問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交最多有12【變式11-2】（2022·全國·七年級）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫一條射線時，則圖中共有3個角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時，則圖中共有6個角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時，則圖中共有10個角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫20條射線時，則圖中角的個數(shù)是（

）A．190 B．380 C．231 D．462【答案】C【分析】根據(jù)畫一條、兩條、三條射線時可以得出的角的個數(shù)整理出當(dāng)畫n條射線可以得出的角的個數(shù)，然后進(jìn)一步求解即可.【詳解】∵在∠MON內(nèi)畫一條射線時，則圖中共有1+2=3個角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時，則圖中共有1+2+3=6個角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時，則圖中共有1+2+3+4=10個角；以此類推，所以畫n條射線時，則圖中共有1+2+3+…+(n+1)=n+1n+2∴當(dāng)在∠MON內(nèi)畫20條射線時，圖中有的角的個數(shù)為：20+120+2故選：C.【點睛】本題主要考查了角的概念，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【變式11-3】（2022·云南昆明·七年級期末）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點的距離為8，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點與A1A的中點的距離是（）A．4?122