三角函數(shù)的公式及應(yīng)用（精講）（原卷版）

5.2三角函數(shù)的公式及應(yīng)用（精講）一．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2.商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))3.公式變形：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．二．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限奇變偶不變，符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化．“符號(hào)看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．三．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ5．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)6．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)四．二倍角公式1．基本公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．2．公式變形(1)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；(2)升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2．（3）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)五．積化和差與和差化積公式1．積化和差公式2．和差化積公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)一．常見的弦化切的結(jié)構(gòu)形式inα、cosα的一次齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))，解決此類問題時(shí)，用分子分母同時(shí)除以cosα，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，進(jìn)而求解．2.sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)，解決此類問題時(shí)，將原式看成分母是1的表達(dá)式，把1換成“sin2α＋cos2α”，然后用分子分母同時(shí)除以cos2α將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，進(jìn)而求解．二．弦的和差積形式對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.誘導(dǎo)公式①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.角的變換（角的拼湊）1.當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；2.當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．3.常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,6)－θ與eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等.常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．五．三角函數(shù)式化簡弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．六．證明三角函數(shù)恒等式1.如果需證的三角函數(shù)恒等式中只含同角三角函數(shù)，則可以從變化函數(shù)入手，即盡量把等式中所含三角函數(shù)都化為正弦和余弦或全部化為某一函數(shù)，雖然能達(dá)到最終目標(biāo)，但這種方法不一定最簡單；2.如果需證的三角函數(shù)恒等式中含有不同角的三角函數(shù)，則宜從角的簡化入手，盡量化復(fù)角為單角，或者減少不同角，以便能使用某一公式進(jìn)行變形；3.在證明三角函數(shù)恒等式中，“1”出現(xiàn)的頻率較高，則可把“1”代換為sin2α＋cos2α或tan45°等．考法一同角三角函數(shù)公式的知一求二【例1-1】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023云南）已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為________．【一隅三反】1．（2023廣東揭陽）α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，則sinα等于()A．eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C．eq\f(5,13)D．－eq\f(5,13)2．（2023安徽）(多選)若sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的有()A．tanα＝eq\f(4,3) B．cosα＝eq\f(3,5)C．sinα＋cosα＝eq\f(8,5) D．sinα－cosα＝－eq\f(1,5)考法二弦切互換【例2-1】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則__________.【例2-2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則______.【例2-3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知為銳角，滿足，則________．【一隅三反】1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線的傾斜角為，則（

）A．-3 B． C． D．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則的值是__________．考法三弦的和積轉(zhuǎn)化【例3-1】（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，，則（）A． B．C． D．3．（2023·北京）已知，且，則用表示的值為___________.考法四誘導(dǎo)公式【例4-1】（2023·海南）__________.【例4-2】（2022·北京·人大附中）若，則（

）A． B． C． D．【例4-3】（2022·陜西·西安中學(xué)）已知，則_______．【一隅三反】1．（2022·山東·煙臺(tái)二中）已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．2．(多選)下列化簡正確的是()A．tan(π＋1)＝tan1 B．eq\f(sin－α,tan360°－α)＝cosαC．eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝tanα D．eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝13．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．3 D．9考法五和差倍角公式的運(yùn)用【例5-1】（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）下列化簡不正確的是（

）A． B．C． D．【例5-2】化簡：(1)sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)；(2)cos15°＋sin15°；(3)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),sin80°)；(4)3eq\r(15)sinx＋3eq\r(5)cosx.【一隅三反】1．（2020·湖北武漢·武漢市第一中學(xué)?？级＃┯?jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇南通）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．4．（2021·江蘇·常州市第一中學(xué)）（多選）下列命題中正確的是（

）A．的值等于B．若，則C．D．考法六角的拼湊【例6-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【例6-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【例6-4】（2022·湖南）若，則（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎?，則（

）A． B． C．- D．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，求=考法七簡單三角恒等變換【例7-1】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模