【新教材】高中數(shù)學(xué)人教B版必修第二冊學(xué)案6.1.3　向量的減法Word版含解析【高考】

6.1.3向量的減法素養(yǎng)目標·定方向課程標準學(xué)法解讀1.了解向量的相反向量．2．理解向量差的定義，向量加法與向量減法的關(guān)系．3．掌握向量減法的三角形法則．1.通過相反向量、向量的差，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)向量減法法則及其應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．必備知識·探新知知識點相反向量定義：如果兩個向量大小__相等__，方向__相反__，那么稱這兩個向量是相反向量．性質(zhì)：(1)對于相反向量有：a＋(－a)＝__0__．(2)若a，b互為相反向量，則a＝__－b__，a＋b＝0．(3)__零向量__的相反向量仍是零向量．思考：有人說：相反向量即方向相反的向量，定義中“大小相等”是多余的，對嗎？提示：不對，相反向量要從“模”與“方向”兩個方面去理解，不是僅方向相反，還必須大小相等．知識點向量的減法(1)定義：平面上任意兩個向量a，b，如果向量x滿足__b＋x__＝a,則稱x為向量a，b的差，記作x＝a－B．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝__eq\o(BA,\s\up6(→))__，如圖所示．a(chǎn)－b可以表示為從向量__b__的終點指向向量__a__的終點的向量．(3)向量減法的三角形法則：當(dāng)向量a，b不共線時，向量a，b，a－b正好能構(gòu)成一個三角形，因此求兩向量差的作圖方法也常稱為向量作差的三角形法則．(4)a－b＝a＋(－b)．思考：(1)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向量的方向如何？(2)由向量減法的定義，你認為向量的減法與加法有何聯(lián)系？提示：(1)求差的兩個向量是共起點的，差向量連接兩向量終點，方向指向被減向量．(2)向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型向量的減法┃┃典例剖析__■典例1(1)在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(FD,\s\up6(→)) B．eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(FE,\s\up6(→)) D．eq\o(BE,\s\up6(→))(2)如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－C．[解析](1)由題意可知eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))．(2)如圖，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以點C為起點作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝C．連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－C．規(guī)律方法：1.作兩向量的差的步驟eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起點)↓eq\x(連)—eq\x(連接兩向量的終點，方向指向被減向量.)2．求兩個向量的減法的注意點(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量減法的三角形法則對共線向量也適用．┃┃對點訓(xùn)練__■1．下列計算正確的是(B)A．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))[解析]根據(jù)向量減法的三角形法則，有eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))．題型向量的加減法運算┃┃典例剖析__■典例2化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得(D)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0[解析](1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．規(guī)律方法：向量減法運算的常用方法常用方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x(可以通過相反向量，把向量減法的運算轉(zhuǎn)化為加法運算),\x(運用向量減法的三角形法則，此時要注意兩個向量要有共同的起點),\x(引入點O，逆用向量減法的三角形法則，將各向量起點統(tǒng)一)))┃┃對點訓(xùn)練__■2．化簡下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))．[解析](1)方法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．方法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→))．(2)方法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．方法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．題型向量加減運算幾何意義的應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例3(1)已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|的值為__4__．(2)如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))．[解析]如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形．根據(jù)矩形的對角線相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．(2)因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋C．規(guī)律方法：1.解決用已知向量表示未知向量問題的思路應(yīng)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、平行向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道．2．利用向量加、減法求解或證明問題的一般步驟：(1)由題意作出相對應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量．(2)利用三角形法則和平行四邊形法則、對向量的加、減法進行運算．(3)構(gòu)造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的邊、角關(guān)系解題．┃┃對點訓(xùn)練__■3．(1)已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為__平行四邊形__．(2)如圖所示，解答下列各題：①用a、d、e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；②用b、c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；③用a、b、e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；④用c、d表示eq\o(EC,\s\up6(→))．[解析](1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．(2)①eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up