專題26空間向量解決空間直線平面位置關(guān)系（原卷版）

專題26空間向量解決空間直線、平面位置關(guān)系№專題26空間向量解決空間直線、平面位置關(guān)系№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題26空間向量解決空間直線、平面位置關(guān)系命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議空間中直線、平面的位置關(guān)系，可以借用空間向量這一工具來解決，空間向量的運用使得空間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為了計算問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)的計算，因此在復(fù)習(xí)過程中既要要求學(xué)生的空間思維能力又要要求學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。預(yù)計2024年的高考對于空間直線、平面的位置關(guān)系的考察還是一個必考題，充分運用空間向量讓立體幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的代數(shù)計算問題。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握空間向量的有關(guān)知識點，及空間向量解決空間直線、平面位置關(guān)系的有關(guān)定理.2.能運用結(jié)論解決空間直線、平面的位置關(guān)系問題。→?考點精析←一、空間向量的有關(guān)概念a，b，c…表示。2.共線向量(平行向量)：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合.3.共面向量：平行于同一平面的向量4.共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb5.共面向量定理：若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb6.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc二、空間向量的運算(1)a·b=|a||b|cos<a,b>

(2)a⊥b?a·b=0(a,b為非零向量).

(3)|a|2=a2;設(shè)a=(x,y,z),則|a|=x2a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)（1）a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)（2）a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)（3）a·b=a1b1+a2b2+a3b3（4）a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)

（5）a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0（6）cos<a,b>=a三、空間共線、共面向量定理1.共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb2.共面向量定理：若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb3.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc四、利用空間向量證明平行與垂直a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)1.a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)

2.a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0→?真題精講←1.（2023北京卷16）如圖，在三棱錐中，平面，．（1）求證：平面PAB；（2）求二面角的大小．2.（2023全國Ⅰ卷18）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．3.（2023全國Ⅱ卷20）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．（1）證明：；（2）點F滿足，求二面角的正弦值．→?模擬精練←1.（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)校考二模）已知正方體的棱長均為為線段的中點,,其中,則下列選項正確的是（

）A．當時,B．當時,的最小值為C．若直線與平面所成角為,則點的軌跡長度為D．當時,正方體被平面截的圖形最大面積為2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知四棱柱的底面為正方形，，，則（

）A．點在平面內(nèi)的射影在上B．平面C．與平面的交點是的重心D．二面角的大小為3．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在正四棱柱中，已知，，則下列說法正確的有（

）A．異面直線與的距離為B．直線與平面所成的角的余弦值為C．若該正四棱柱的各頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為D．以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線的總長度為4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，點M是棱上的動點（不含端點），則（

）A．過點M有且僅有一條直線與AB，都垂直B．有且僅有一個點M到AB，的距離相等C．過點M有且僅有一條直線與，都相交D．有且僅有一個點M滿足平面平面4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點；為棱上的動點（含端點），過點A??作三棱柱的截面，且交于，則（

）A．線段的最小值為 B．棱上的不存在點，使得平面C．棱上的存在點，使得 D．當為棱的中點時，5．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（

）A．B．C．四邊形的面積為D．平行六面體的體積為6．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，底面為平行四邊形，且，，．(1)證明：點在平面的正投影在直線上；(2)求平面與平面夾角的余弦值．7．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點.(1)求二面角的余弦值；(2)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面BDF的距離；如果不平行，說明理由.→?專題訓(xùn)練←l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是（）A． B． C． D．l與斜交2.若平面，的法向量分別為，，則()A． B．與相交但不垂直C． D．或與重合3.在空間直角坐標系中，已知，，則點B的坐標是()A． B．C． D．4.已知，，則，夾角的余弦值______.5.已知空間向量，，，，若，則實數(shù)________.5．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是的中點，點在上，且平面.(1)求的值；(2)若平面，，，，求直線與平面所成角的正弦值.7．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，，平面，，．(1)已知點為上一點，且，求證：與平面不平行；(2)已知直線與平面所成角的正弦值為，求該多面體的體積．8．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）如圖，三棱錐P－ABC的底面為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分別為AC，BC的中點，PD⊥平面ABC，點M在線段PE上．(1)再從條件①、②、③、④四個條件中選擇兩個作為已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并給予證明；(2)在（1）的條件下，求直線BP與平面MBD所成的角的正弦值．條件①：；條件②：∠PED＝60°；條件③：PM＝3ME：條件④：PE＝3ME．9．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知底面為菱形的平行六面體中，，四邊形為正方形，交于點M.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點是母線的中點，圓柱底面半徑.(1)求證：平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.11．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，在直角梯形中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點，平面平面，，，是線段上一動點（不含端點）(1)當點為線段的中點時，證明：//平面；(2)若，，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．