數學建模教學 19.層次分析法

層次分析法（AHP）首先將所要分析的問題層次化，根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關系及隸屬關系，將因素按不同層次聚類組合，形成一個多層分析結構模型，最終歸結為最低層（方案、措施、指標等）相對于最高層（總目標）相對重要程度的權值或相對優(yōu)劣次序的問題。精選ppt1基本原理假定我們已知n只西瓜的重量和為1，每只西瓜的重量分別為W1，W2，…，Wn。把這些西瓜兩兩比較，很容易得到表示n只西瓜相對重量關系的比較矩陣：A==(aij)n×n精選ppt顯然aii=1，aij=1/aji，aij=aik/ajk，

i、j、k=1，2，…，n

AW===nW那么就有：精選ppt即n是A的一個特征根，每只西瓜的重量是A對應于特征根n的特征向量的各個分量。很自然，我們會提出一個相反的問題，如果事先不知道每只西瓜的重量，也沒有衡器去稱量，我們如能設法得到判斷矩陣（比較每兩只西瓜的重量是最容易的），能否導出西瓜的重量呢？精選ppt顯然是可以的，在判斷矩陣具有完全一致的條件下，我們可以通過解特征值問題AW=λmaxW求出正規(guī)化特征向量（即假設西瓜總重量為1），從而得到n只西瓜的重量。精選ppt所謂判斷矩陣的一致性，即判斷矩陣是否滿足如下關系:aij=aik/ajk,i、j、k=1，2，…，n上式完全成立，稱判斷矩陣具有完全一致性。此時矩陣的最大特征值λmax=n，其余特征值均為零。精選ppt在一般情況下可以證明判斷矩陣的最大特征根為單根，且λmax≥n。當判斷矩陣具有滿意一致性時，λmax稍大于矩陣階數n，其余特征值接近于零。這時AHP得出的結論才基本合理。精選ppt2基本步驟2.1建立層次結構模型一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準則層或指標層。買鋼筆質量顏色價格外形實用可供選擇的筆

方案層

準則層目標層精選ppt若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結構，否則稱為不完全層次結構。還可以建立子層次。目標層：準則層：方案層：精選ppt目標層合理選擇科研課題A成果貢獻B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應用價值

c1科學意義

c2難易程度

c3研究周期

c4財政支持

c5方案層準則層1準則層2精選ppt2.2構造成對比較矩陣判斷矩陣表示針對上一層次某因素而言，本層次與之有關的各因素之間的相當重要性。假定A層中因素Ak與下一層次中因素B1，B2，…，Bn有聯系，則我們構造的判斷矩陣如下表所示：精選pptbij是對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性的數值表示。AkB1

B2……BnB1b11

b12……b1nB2b21b22……b2n………………………………Bnbn1bn2……bnn

精選pptBij通常取1、3、5、7、9及他們的倒數尺度第i個因素與第j個因素的影響相同第i個因素比第j個因素的影響稍強第i個因素比第j個因素的影響強第i個因素比第j個因素的影響明顯強第i個因素比第j個因素的影響絕對強含義135792,4,6,8表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。精選ppt顯然，任何判斷矩陣都應滿足：

bij>0,

bii

=

1，

bij

=

1/bji，因此，對于這樣的判斷矩陣來說，作

n(n-1)/2次兩兩判斷就可以了。i，j=1，2，…，n精選ppt2.3層次單排序和一致性檢驗層次單排序就是指根據判斷矩陣計算對于上一層某因素而言本層次與之有聯系的因素的重要性次序的權值?？梢詺w結為，求解矩陣的最大特征值和對應的特征向量。精選ppt即對判斷矩陣B，計算滿足:BW=λmaxW的特征根與特征向量。式中，λmax為B的最大特征根；W為對應于λmax的正規(guī)化特征量；W的分量Wi即是相應因素單排序的權值。精選ppt

計算一致性指標(ConsisteneyIndex):CI顯然當判斷矩陣具有完全一致性時，CI=0，λmax-n越大，CI越大，矩陣的一致性就越差。為了檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均一致性指標RI進行比較。精選ppt

查找相應的平均隨機一致性指標：RI對n=1、2、3…9，Saaty給出了下表所示值：精選ppt

計算一致性比例：CR

當CR<0.10時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應對判斷矩陣作適當修正。精選ppt2.4層次總排序和一致性檢驗確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程，稱為層次總排序。這一過程是最高層次到最低層次逐層進行的。對于最高層下面的第二層，若上一層次A包含m個因素,

A1，A2，…Am，其層次總排序權值分別為a1，a2，…am，下一層次B包含n個元素B1，B2，…Bn，它們對于因素Aj的層次單排序權值分別為bj1，bj2，…bjn（當Bi與Aj無聯系時，bji＝0），此時B層次總排序權值由下表給出。

精選ppt精選ppt(1)式中，CI為層次總排序的一致性指標，CIj為與aj對應的Ｂ層次中判斷矩陣的一致性指標；(2)式中，RI為層次總排序的隨機一致性指標,RIj為與aj對應的Ｂ層次中判斷矩陣的隨機一致性指標；(3)式中，CR為層次總排序的隨機一致性比例。當CR≤0.10時，我們認為層次總排序的計算結果具有滿意的一致性。(1)(2)(3)精選ppt2.5判斷矩陣的計算方法※在層次分析方法中，最根本的計算任務是求解判斷矩陣的最大特征根及其所對應的特征向量。※在層次分析法中，判斷矩陣的最大特征根及其對應的特征向量的計算，并不需要追求太高的精度。這是因為判斷矩陣本身就是將定性問題定量化的結果，允許存在一定的誤差范圍?！Ｓ媒扑惴ㄇ蠼馀袛嗑仃嚨淖畲筇卣鞲捌渌鶎奶卣飨蛄浚汉头ê透ā＞xppt和法計算步驟

(1)將判斷矩陣每一列歸一化:所求特征向量:(2)對按列歸一化后的判斷矩陣再按行求和:(3)將求和后的向量歸一化:精選ppt(4)計算最大特征根:列向量歸一化精選ppt求和歸一化精確計算，得精選ppt應用一：資金分配決策某個工廠可以使用一筆企業(yè)留成利潤，由廠領導和職工代表大會決定如何使用，可以選擇的方案有：發(fā)獎金、擴建福利設施和引進新的設備，為了進一步促進企業(yè)的發(fā)展，如何合理的使用這筆利潤？精選ppt精選ppt精選ppt精選ppt精選ppt應用二：城市主導產業(yè)決策分析精選ppt精選ppt目標層(A)

準則層(C)對象層(P)市場C1效益C2資源C3能源工業(yè)P1交通運輸業(yè)P2冶金工業(yè)P3化工工業(yè)P4紡