中級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)之無限期動態(tài)模型與動態(tài)規(guī)劃課件

2023/10/14中級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)之無限期動態(tài)模型與動態(tài)規(guī)劃

第四講

三期及無限期動態(tài)模型

10/14/20232第四講三期動態(tài)模型

第二節(jié)

無限期動態(tài)模型與動態(tài)規(guī)劃

10/14/20233第四講三期動態(tài)模型在本節(jié)，我們將介紹一個簡單的無限期模型，借助這個模型，我們一方面看看那些在兩期、三期模型中被運用的宏觀經(jīng)濟(jì)分析的基本思路是如何在無限期模型中被得到繼續(xù)運用的；另一方面，我們也要簡單介紹并展示一下離散時間的動態(tài)規(guī)劃怎樣被運用的，這種運用對于求解許多動態(tài)問題是非常有幫助的。10/14/20234第四講三期動態(tài)模型一、偏好，稟賦和技術(shù)

10/14/20235第四講三期動態(tài)模型10/14/20236第四講三期動態(tài)模型10/14/20237第四講三期動態(tài)模型10/14/20238第四講三期動態(tài)模型10/14/20239第四講三期動態(tài)模型在介紹了基本決策環(huán)境以后，按照我們以前的分析思路，接下去我們應(yīng)該分析行為人的最優(yōu)化行為，然后進(jìn)行均衡分析，最終得到每期均衡的數(shù)量解和價格解或者分析計劃最優(yōu)的情形，求出每期的均衡數(shù)量解。但是，現(xiàn)在，我們面臨的是一個無限期模型，用傳統(tǒng)的方法求解均衡解幾近不可能，所以，在這里，我們首先插入一部分，介紹一下動態(tài)規(guī)劃的基本知識，然后，直接利用動態(tài)規(guī)劃的知識去處理無限期的問題。10/14/202310第四講三期動態(tài)模型二、動態(tài)規(guī)劃簡介

10/14/202311第四講三期動態(tài)模型2.1序列形式表述的社會計劃者問題

因為我們在前面已經(jīng)證明了競爭均衡解也是帕雷托最優(yōu)解。因此，我們可以通過求解社會計劃者問題來獲得競爭均衡的有關(guān)數(shù)量解，這樣，上面這個無限期模型中的社會計劃者最優(yōu)化問題可以正規(guī)地描述如下：10/14/202312第四講三期動態(tài)模型10/14/202313第四講三期動態(tài)模型10/14/202314第四講三期動態(tài)模型10/14/202315第四講三期動態(tài)模型10/14/202316第四講三期動態(tài)模型10/14/202317第四講三期動態(tài)模型動態(tài)規(guī)劃的基本思想是試圖通過對決策環(huán)境的探討而發(fā)現(xiàn)一種更簡單的求解這一最大化問題的方法，但是這個最大化問題的解又是與我們原始的最大化問題的解是相同的。為了使上面所講的這一點更明白、更具體，我們可以再一次看看我們的原始的這個計劃者的最優(yōu)化問題：10/14/202318第四講三期動態(tài)模型10/14/202320第四講三期動態(tài)模型10/14/202321第四講三期動態(tài)模型10/14/202322第四講三期動態(tài)模型2.2遞歸形式表述的社會計劃者最優(yōu)問題

上面這種關(guān)于計劃者最優(yōu)化的表述形式，即有一個函數(shù)在左邊，同時右邊又有一個關(guān)于該函數(shù)的最優(yōu)化問題的表述形式我們一般把它稱為遞歸形式。現(xiàn)在，我們要開始研究具有遞歸表述形式的社會計劃者的問題。因為我們在（4.46）式中，已經(jīng)用函數(shù)w來表述序列形式下的社會計劃者問題了，因此，這里我們還是用另外一個符號，比如函數(shù)v來表述遞歸形式下的社會計劃者的最優(yōu)問題。10/14/202323第四講三期動態(tài)模型10/14/202324第四講三期動態(tài)模型10/14/202325第四講三期動態(tài)模型10/14/202327第四講三期動態(tài)模型10/14/202328第四講三期動態(tài)模型10/14/202329第四講三期動態(tài)模型10/14/202330第四講三期動態(tài)模型2.3猜測并證明法

我們首先猜測該解的具體的函數(shù)形式，然后證明這個解確實是這種形式的（需要注意，我們這么做時并不排該函數(shù)方程有其他解的可能性）。這種方法對于處理我們現(xiàn)在這個例子非常有效，但在一些我們也非常關(guān)心的其他例子里，這種方法就不怎么有效了。10/14/202331第四講三期動態(tài)模型10/14/202333第四講三期動態(tài)模型10/14/202334第四講三期動態(tài)模型10/14/202335第四講三期動態(tài)模型10/14/202336第四講三期動態(tài)模型10/14/202337第四講三期動態(tài)模型10/14/202338第四講三期動態(tài)模型10/14/202339第四講三期動態(tài)模型10/14/202340第四講三期動態(tài)模型2.4一個例子：無限期吃蛋糕問題

10/14/202341第四講三期動態(tài)模型10/14/202342第四講三期動態(tài)模型10/14/202343第四講三期動態(tài)模型10/14/202344第四講三期動態(tài)模型10/14/202345第四講三期動態(tài)模型10/14/202346第四講三期動態(tài)模型10/14/202347第四講三期動態(tài)模型三、社會計劃者問題

10/14/202348第四講三期動態(tài)模型10/14/202349第四講三期動態(tài)模型10/14/202350第四講三期動態(tài)模型3.1當(dāng)值函數(shù)可微時貝爾曼方程解的特征

如果在動態(tài)最優(yōu)化問題中的值函數(shù)是可微的，BenvenisteandScheinkman（1979）確立了一些關(guān)于該最優(yōu)解的基本特征。假如（4.74）式中的值函數(shù)是可微的、凹的，我們能用一階條件來表述社會計劃者的最優(yōu)化問題。10/14/202351第四講三期動態(tài)模型10/14/202352第四講三期動態(tài)模型10/14/202353第四講三期動態(tài)模型10/14/202354第四講三期動態(tài)模型10/14/202355第四講三期動態(tài)模型四、競爭均衡

10/14/202356第四講三期動態(tài)模型雖然我們借助計劃者最優(yōu)問題可以求得最優(yōu)的均衡資本數(shù)量，但是，為了決定競爭均衡的價格，我們還是需要通過分別分析消費者和企業(yè)的最優(yōu)化問題，從而得到一些求解的有用信息。10/14/202357第四講三期動態(tài)模型4.1消費者的問題

消費者儲存資本并進(jìn)行投資（也即，它們的財富是以資本的形式表示的），在每一時期里，消費者都會把資本租給企業(yè)并向企業(yè)出售自己的勞動。因為勞動并不會給消費者帶來任何負(fù)效用，因此，不論工資率為多少，勞動供給始終是1單位。10/14/202358第四講三期動態(tài)模型10/14/202359第四講三期動態(tài)模型10/14/202360第四講三期動態(tài)模型10/14/202361第四講三期動態(tài)模型10/14/202362第四講三期動態(tài)模型10/14/202363第四講三期動態(tài)模型4.2企業(yè)的問題

10/14/202364第四講三期動態(tài)模型4.3競爭均衡價格

10/14/202365第四講三期動態(tài)模型10/14/202366第四講三期動態(tài)模型10/14/202367第四講三期動態(tài)模型10/14/202368第四講三期動態(tài)模型

數(shù)學(xué)附錄：

包洛定理（Theenvelopetheorem）10/14/2023