高一解析幾何A

平面解析幾何歸納總結(jié)千里之行始于足下高于數(shù)學(xué)組張傳彬知識(shí)要點(diǎn)：一、熟練掌握基本概念1．軸上任意三點(diǎn)A、B、C，有AC＝AB＋BC，若OB＝x2，OA＝x1，則AB＝x2－x1，|AB|＝|x2－x1|.3．通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題中的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系用點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程來表示，通過計(jì)算來解決幾何問題的方法為坐標(biāo)法．4．(1)過兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)的直線的斜率k＝(x1≠x2)，當(dāng)x1＝x2時(shí)，斜率不存在．(2)x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，與x軸平行或重合的直線傾斜角為0°.(3)若直線的斜率為k，k＝0時(shí)，直線垂直于y軸，k>0時(shí)，直線傾斜角為銳角，k值越大，傾斜角隨著增大．k<0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，k值越大，直線傾斜角隨著增大．垂直于x軸的直線傾斜角為90°.(4)直線的傾斜角的取值范圍是[0°，180°)．5．直線方程的幾種形式(1)點(diǎn)斜式：過點(diǎn)P0(x0，y0)，斜率為k的直線方程y－y0＝k(x－x0)，其特例是斜截式，斜率為k、在y軸上截距為b的直線方程為y＝kx＋b.點(diǎn)斜式與斜截式不能表示垂直于x軸的直線，故應(yīng)用此形式解題時(shí)，不要忘記斜率不存在的情況．(3)一般式：直線的方程都是關(guān)于x、y的二元一次方程，關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線，Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)稱作直線的一般式方程．9．點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓方程為f(x，y)＝0(其中f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－r2或f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)(1)點(diǎn)P(x0，y0)在圓內(nèi)?f(x0，y0)<0；點(diǎn)P(x0，y0)在圓上?f(x0，y0)＝0.點(diǎn)P(x0，y0)在圓外?f(x0，y0)>0.(2)直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：f(x，y)＝0的位置關(guān)系圓心C到直線l距離為d、圓半徑為rd>r?l與⊙C相離；d＝r?l與⊙C相切；d<r?l與⊙C相交(也可用判別式Δ討論)．(3)⊙O1圓心O1，半徑r；⊙O2圓心O2，半徑R(R≥r)，d＝|O1O2|.兩圓外離?d>R＋r；兩圓外切?d＝R＋r；兩圓相交?R－r<d<R＋r；兩圓內(nèi)切?d＝R－r；兩圓內(nèi)含?d<R－r.11．求圓的切線(1)過圓上一點(diǎn)P的圓的切線有且僅有一條，一般設(shè)切線方程，用d＝r解決．(2)P(x0，y0)是圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)，過P點(diǎn)的切線方程為x0x＋y0y＝r2可直接作公式用．(3)過圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線有兩條，一般設(shè)切線方程，用d＝r求解，若求得一條，則另一條為x＝x0.12．求直線與圓相交所得弦長(zhǎng)，通常用垂徑定理解決，如圖弦長(zhǎng)|AB|＝2二、數(shù)形結(jié)合是解析幾何的靈魂

1．處理解析幾何問題，要自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法加以分析解決．3．熟知一些基本結(jié)論．(1)點(diǎn)P在⊙C外，直線PC交圓于A、B兩點(diǎn)，則圓上所有點(diǎn)到P點(diǎn)距離的最大值為|PB|，最小值為|PA|.(2)點(diǎn)P在圓⊙C內(nèi)，直線PC交圓于E、F兩點(diǎn)，圓上所有點(diǎn)到點(diǎn)P距離最大值為|PF|，最小為|PE|.過點(diǎn)P的弦以與PC垂直的弦AB為最短．(3)相交兩圓連心線垂直平分公共弦，相切兩圓連心線必過切點(diǎn)．(4)過直線l：Ax＋By＋C＝0與⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2－r2＋λ(Ax＋By＋C)＝0.過兩圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的圓的方程為(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.學(xué)后反思：用坐標(biāo)法研究幾何問題使我們從抽象的推理中解脫出來，用坐標(biāo)的計(jì)算替代推理．為我們研究幾何問題開辟了一條全新的道路．本章介紹了解析幾何研究問題的基本思路：建立直角坐標(biāo)系，求出或設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)的運(yùn)算，對(duì)方程的研究來解釋幾何現(xiàn)象，表述幾何問題．本章內(nèi)容主要有兩大部分：前一部分主要介紹了直線的傾斜角與斜率，直線方程的各種形式，點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)間距離公式．應(yīng)特別注意直線方程不同形式的適用范圍．后一部分是圓的方程，點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系，要牢牢把握?qǐng)A的兩種形式方程中各幾何量含義，點(diǎn)、直線、圓與圓位置關(guān)系的代數(shù)及幾何表示．要切實(shí)弄清圓的有關(guān)幾何性質(zhì)．最后介紹了空間直角坐標(biāo)系和空間兩點(diǎn)間的距離公式，解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，故學(xué)習(xí)本章要深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法去分析和解決實(shí)際問題．解析幾何中求直線方程、求圓的方程是一類重要的問題，求解此類問題時(shí)常使用待定系數(shù)法．待定系數(shù)法的典型特征，就是所研究的式子(方程)的結(jié)構(gòu)是確定的，但它的系數(shù)(部分或全部)是待定的，根據(jù)題目所給的條件，列出待定系數(shù)所滿足的關(guān)系，解方程或方程組即可獲解．[例1]已知直線經(jīng)過點(diǎn)P(－3,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，試求直線的方程．[點(diǎn)評(píng)]在利用直線的特殊形式求直線方程時(shí)，常將斜率k和截距a、b作為待定的系數(shù)．求與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線可設(shè)方程為Ax＋By＋m＝0，垂直的直線則可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.這里m、n為待定的系數(shù)．求經(jīng)過點(diǎn)A(－2,4)，B(3，－1)，且在x軸上截得弦長(zhǎng)為6的圓的方程．36＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝D2－4F.即D2－4F＝36.③解①②③組成的方程組，得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)方面入手：①直線與圓有無公共點(diǎn)，等價(jià)于它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解，方程組有幾組實(shí)數(shù)解，直線與圓就有幾個(gè)公共點(diǎn)，方程組沒有實(shí)數(shù)解，直線與圓就沒有公共點(diǎn)，判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)慎用此法；②運(yùn)用平面幾何知識(shí)，把直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)結(jié)論．[例2]設(shè)有直線l：y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝16，求k為何值時(shí)，直線l被圓O所截得的弦最短？并求出最短弦長(zhǎng)；能否求得k的值，使直線l被圓O所截得的弦最長(zhǎng)？[點(diǎn)評(píng)]注意題目的隱含條件，數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的捷徑．(2010·曲師大附中高一期末檢測(cè))求過點(diǎn)M(－3,3)且被圓x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦長(zhǎng)為8的直線方程．[解析]∵圓x2＋y2＋4y－21＝0的圓心坐標(biāo)為(0，－2)，半徑r＝5，要使直線過點(diǎn)M(－3,3)且被圓x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦長(zhǎng)為8，則圓心到直線的距離應(yīng)等于3.當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)M的直線方程為x＝－3，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則過點(diǎn)M的直線方程為y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3＋3k＝0.故直線方程為8x＋15y＋21＝0.綜上所述，過點(diǎn)M的直線方程為：8x＋15y＋21＝0或x＝－3.[例3]求經(jīng)過點(diǎn)(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原點(diǎn)的圓方程．[解析]解法一：將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，則圓心為(－5，－5)．∴經(jīng)過此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x－y＝0.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.求與圓C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點(diǎn)A(4，－1)，且半徑為1的圓C2的方程．[解析]解法一：由圓C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，知圓心為C1(2，－1)，則過點(diǎn)A(4，－1)和圓心C1(2，－1)的直線的方程為y＝－1，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C2(x0，－1)，由|AC2|＝1，即|x0－4|＝1，得x0＝3，或x0＝5，∴所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝1.∴