非線性動(dòng)力學(xué)汪秉宏課件

非線性動(dòng)力學(xué)第一章

汪秉宏中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

近代物理系10/14/20231非線性動(dòng)力學(xué)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)10/9/20231第一章引言§1Newton力學(xué)及其發(fā)展§2非線性動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象§3非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型的建立10/14/20232第一章引言§1Newton力學(xué)及其發(fā)展10/9/2§1

Newton力學(xué)及其發(fā)展力學(xué)的定性研究時(shí)期（公元前－17世紀(jì)中葉）Archimedes，Galileo，Kepler定量研究時(shí)期（17世紀(jì)中葉－19世紀(jì)末）Newton，Lagrange,Hamilton10/14/20233§1Newton力學(xué)及其發(fā)展力學(xué)的定性研究時(shí)期10/9（17世紀(jì)）Newton方程：基本問題：已知的函數(shù)形式，求上述方程組的解析表達(dá)式。數(shù)學(xué)家可證明其存在性及唯一性?；痉椒ǎ_論：存在收斂問題。在天體力學(xué)中取得很大成功，能夠精確預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)。10/14/20234（17世紀(jì)）Newton方程：基本問題：已知的18世紀(jì)：Lagrange方程Lagrange函數(shù)10/14/2023518世紀(jì)：Lagrange方程Lagrange10/919世紀(jì)Hamilton方程引進(jìn)廣義動(dòng)量Hamilton函數(shù)10/14/2023619世紀(jì)Hamilton方程引進(jìn)廣義動(dòng)量HamiltonLagrange,Hamilton方程均與Newton方程等價(jià)力學(xué)的基本問題、基本方法未變結(jié)論：二百多年來牛頓力學(xué)無實(shí)質(zhì)性進(jìn)展10/14/20237Lagrange,Hamilton方程均與Newton方程19世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)生的

對(duì)于牛頓力學(xué)的三大變革10/14/2023819世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)生的

對(duì)于牛頓力學(xué)的三大變革10/9太陽系是否穩(wěn)定？

——N體穩(wěn)定性問題微擾是否收斂？許多科學(xué)家宣稱太陽系是穩(wěn)定的，但并未給出其證明。如Dirichlet。奧斯卡獎(jiǎng)1890年授予Poincare.他證明了所有微擾級(jí)數(shù)是發(fā)散的，因而研究穩(wěn)定性必須使用新的方法——定性方法：幾何拓?fù)?，微分拓?fù)?。力學(xué)的基本問題及基本方法必須徹底改變。求解析解并不解決問題。10/14/20239太陽系是否穩(wěn)定？

——N體穩(wěn)定性問題微擾是否收斂？10/9新力學(xué)的理論特點(diǎn):

力學(xué)的基本問題研究系統(tǒng)在相空間中的軌跡的幾何性質(zhì)。即：研究相軌圖(phaseportrait)

例如：是否周期解？（用微擾法不能回答這一問題）給出級(jí)數(shù)展開式：

如何證明?10/14/202310新力學(xué)的理論特點(diǎn):力學(xué)的基本問題研究系統(tǒng)在相空間中的軌跡的新力學(xué)的理論特點(diǎn)基本方法：定性方法：微分拓?fù)浯蠓秶治? 代數(shù)與群論數(shù)值方法：計(jì)算機(jī)模擬大大拓寬了力學(xué)的研究領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了許多新的力學(xué)現(xiàn)象。如：混沌、 分岔、突變、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變10/14/202311新力學(xué)的理論特點(diǎn)基本方法：10/9/202311§2

非線性動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象

——非線性動(dòng)力系統(tǒng)及各種特征系統(tǒng)的現(xiàn)象

a)

什么是非線性動(dòng)力系統(tǒng)？線性方程：量φ滿足的方程L(φ)=0

若 （i）φ是線性空間中一個(gè)元素（矢量） （ii）L(aφ＋bψ)=a?L(φ)＋b?L(ψ)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的定義： 一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，若其基本力學(xué)量的運(yùn)動(dòng)由非線性方程描述，則稱作非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。10/14/202312§2非線性動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象

——非線性動(dòng)力系統(tǒng)及各種特征非線性動(dòng)力系統(tǒng)若一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)由方程描述，其中

也可以用系綜概率密度ρ(x)的運(yùn)動(dòng)描述。

Liuvill

方程：是線性的。兩個(gè)方程等價(jià)。但兩者的基本力學(xué)量不同。若以x為基本力學(xué)量，F(xiàn)為非線性時(shí)，則系統(tǒng)為非線性。10/14/202313非線性動(dòng)力系統(tǒng)10/9/202313考慮一對(duì)一變換則非線性方程有可能化為線性的習(xí)題1：求G的顯示表達(dá)式有些系統(tǒng)，其相空間不是線性空間，這類系統(tǒng)必定是非線性的。例如：剛體動(dòng)力學(xué)方程，相空間為SO3流形。稱為運(yùn)動(dòng)(Kinetic)非線性。F的非線性稱為力學(xué)非線性。10/14/202314考慮一對(duì)一變換10/9/202314b)

什么是特征非線性現(xiàn)象？例：考慮映射設(shè)f(x)>x則xn+1>xn

即使f是非線性的，沒有任何不同于線性系統(tǒng)的有趣特征

10/14/202315b)什么是特征非線性現(xiàn)象？例：考慮映射10/9/20已知的特征非線性現(xiàn)象：

混沌、分岔、突變、自組織現(xiàn)象、耗散結(jié)構(gòu)，分形特征

當(dāng)f(x)=rx(1-x)時(shí)出現(xiàn)一系列分岔、混沌等非線性現(xiàn)象。非線性科學(xué)并不研究對(duì)于線性關(guān)系的偏離，而必須研究質(zhì)的變化。10/14/202316已知的特征非線性現(xiàn)象：

混沌、分岔、突變、自組織現(xiàn)象、耗散結(jié)§3

非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型的建立

實(shí)際系統(tǒng)往往包含巨大數(shù)目自由度s～1023，

從中得出基本力學(xué)量及其遵循的方程微觀描述

μ為控制參量，表示外界的影響10/14/202317§3非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型的建立

實(shí)際系統(tǒng)往往包含巨大數(shù)目自亞宏觀描述

引進(jìn)集體運(yùn)動(dòng)變量：

忽略連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的漲落，可由微觀描述得到漲落耗散定理

漲落項(xiàng)10/14/202318亞宏觀描述10/9/202318宏觀描述在長(zhǎng)時(shí)間后，絕大多數(shù)集體運(yùn)動(dòng)模式由于耗散而衰減掉，可以考慮剩余運(yùn)動(dòng)模式。設(shè)長(zhǎng)時(shí)間后只剩下x1,…,xm的運(yùn)動(dòng)，則在t→∞

時(shí)有Haken稱之為隨動(dòng)原理(slavingprinciple).代入前一方程，消去xj,j=m+1,…,n

得xj,j=1,…,m稱作序參量（基本力學(xué)量）絕熱消除法：中心流形→慣性流形10/14/202319宏觀描述在長(zhǎng)時(shí)間后，絕大多數(shù)集體運(yùn)動(dòng)模式由于耗散而衰減掉

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