第二章 視圖模型變換1-圖形幾何變換

山東科技大學信息學院1、窗口視圖變換2、圖形的幾何變換3、投影變換

第二章視圖模型變換山東科技大學信息學院2.1窗口視圖變換

用戶域和窗口區(qū)1．用戶域：程序員用來定義草圖的整個自然空間(WD)a

人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。

b

用戶域是一個實數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的。2．

窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W)a窗口區(qū)W小于或等于用戶域WDb小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。

c窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等

d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等。

山東科技大學信息學院窗口視圖變換1．

屏幕域(DC)：設備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為1024

768→DC[0..1023]

[0..767]2．

視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域

a

視圖區(qū)用設備坐標定義在屏幕域中

b

窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標轉換。

c

視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形等。

d視圖區(qū)也可以嵌套。

山東科技大學信息學院窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標變換設窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標系下的點（即窗口內的一點）(Xw,Yw)對應屏幕視圖區(qū)中的點（Xs,Ys），其變換公式為山東科技大學信息學院窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標變換簡化為：1)

當a

c時，即x

方向的變化與y方向的變化不同時，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變形。2)

當a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。思考：前面講的窗口→視圖變換時，假設窗口的邊和坐標軸平行，如果窗口的邊不和坐標軸平行呢？

山東科技大學信息學院窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標變換A.

先讓窗口FGHI轉-α角，使它和FG'H'I'重合。B.用(1)式進行計算。

山東科技大學信息學院

2.2二維圖形的幾何變換一、一般表示1、平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀山東科技大學信息學院2、比例變換以坐標原點為放縮參照點當Sx=Sy=1時：恒等比例變換當Sx=Sy>1時：沿x,y方向等比例放大。當Sx=Sy<1時：沿x,y方向等比例縮小當Sx

Sy時：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。山東科技大學信息學院3、旋轉變換注意；θ是逆時針旋轉角度。αθρ(x,y)(x′,y′)山東科技大學信息學院所謂齊次坐標表示法就是由n+1維向量表示一個n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為（hP1,hP2,

hPn,h），其中h稱為啞坐標。

1、h可以取不同的值，所以同一點的齊次坐標不是唯一的。如普通坐標系下的點（2,3）變換為齊次坐標可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。

2、

普通坐標與齊次坐標的關系為“一對多”由普通坐標

h→齊次坐標由齊次坐標÷h→普通坐標

3、

當h=1時產生的齊次坐標稱為“規(guī)格化坐標”，因為前n個坐標就是普通坐標系下的n維坐標。二、二維變換的齊次坐標表示山東科技大學信息學院齊次坐標(x,y)點對應的齊次坐標為

(x,y)點對應的齊次坐標為三維空間的一條直線山東科技大學信息學院1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間上的一個點從一個坐標系變換到另一坐標系的有效方法。2.便于表示無窮遠點。例如：（x

h,y

h,h)，令h等于03.齊次坐標變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面體。4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點便于變換合成便于硬件實現(xiàn)齊次坐標的作用山東科技大學信息學院1、平移變換平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀山東科技大學信息學院2、比例變換以坐標原點為放縮參照點當Sx=Sy=1時：恒等比例變換當Sx=Sy>1時：沿x,y方向等比例放大。當Sx=Sy<1時：沿x,y方向等比例縮小當Sx

Sy時：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。山東科技大學信息學院3、旋轉變換注意；θ是逆時針旋轉角度。αθρ(x,y)(x′,y′)山東科技大學信息學院4、二維基本變換-對稱變換當b=d=0,a=-1,e=1時，(x*y*1)=(-x

y1)：與y軸對稱的反射變換。當b=d=0,a=1,e=-1時，(x*y*1)=(x-y1)：與x軸對稱的反射變換。當b=d=0,a=e=-1時，(x*y*1)=(-x-y1)：與原點對稱的反射變換。當b=d=1,a=e=0時，(x*y*1)=(y

x1)：與y=x對稱的反射變換。當b=d=-1,a=e=0時，(x*y*1)=(-y-x1)：與y=-x對稱的反射變換。山東科技大學信息學院5、二維基本變換-錯切變換1)

當d=0時，(x*y*1)=(x+by

y1)：圖形的y坐標不變；當b>0：圖形沿+x方向作錯切位移。ABCD→A1B1C1D1當b<0：圖形沿-x方向作錯切位移。ABCD→A2B2C2D2山東科技大學信息學院二維基本變換-錯切變換2)當b=0時，(x*y*1)=(x

dx+y1)圖形的x坐標不變；當d>0：圖形沿+y方向作錯切位移。ABCD→A1B1C1D1當d<0：圖形沿-y方向作錯切位移。ABCD→A2B2C2D2山東科技大學信息學院二維基本變換-錯切變換3)

當b

0且d

0時，(x*y*1)=(x+by

dx+y1)：圖形沿x,y兩個方向作錯切位移。∴錯切變換引起圖形角度關系的改變，甚至導致圖形發(fā)生變形。山東科技大學信息學院6、二維圖形幾何變換的一般表示圖形變換：對圖形的幾何信息經過幾何變換后產生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標系改變；2.圖形改變，坐標系不變。我們所討論的是針對坐標系的改變而講的。

山東科技大學信息學院二維圖形的幾何變換設二維圖形變換前坐標為(x,y,1),變換后為(x*,y*,1)

1．

二維變換矩陣注意：T2D可看作三個行向量，其中[100]：表示x

軸上的無窮遠點[010]：表示y

軸上的無窮遠點[001]：表示原點

山東科技大學信息學院二維圖形的幾何變換從變換功能上可把T2D分為四個子矩陣山東科技大學信息學院7、復合變換

復合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾類變換。

山東科技大學信息學院例1：復合平移求點P(x,y)經第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標P*（x*,y*）解：設點P(x,y,1)經第一次平移變換后的坐標為P

(x

y

1)，則經第二次平移變換后的坐標為P*(x*y*1)∴變換矩陣為Tt=Tt1?Tt2山東科技大學信息學院例2：多種復合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:設點(x,y)為線段上的任意一點,

點(x′,y′)為點(x,y)放大后的坐標則:

設點(x′′,y′′)為點(x′,y′)經平移后的坐標為：

[x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0) 則： [x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0)，則M即為組合變換 yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx山東科技大學信息學院例3：旋轉變換對參考點F(xf,yf)做旋轉變換。解：1、把旋轉中心F(xf,yf)平移至坐標原點，即坐標系平移（-xf,-yf），則2、進行旋轉變換

山東科技大學信息學院

將坐標系平移回原來的原點因此山東科技大學信息學院例4：任意的反射軸的反射變換任一圖形關于任意的反射軸y=a+bx的反射變換

解：1.

將坐標原點平移到(0,a)處山東科技大學信息學院

2.將反射軸（已平移后的直線）按順時針方向旋轉θ角，使之與x軸重合

3.圖形關于x軸的反射變換

4.將反射軸逆時針旋轉θ角山東科技大學信息學院

5.恢復反射軸的原始位置因此

山東科技大學信息學院平移物體使固定點與坐標原點重合對于坐標原點縮放用步驟1的反向平移將物體移回原始位置例5：通用固定點縮放山東科技大學信息學院例6（通用定向縮放）比例變換中的比例因子Sx,Sy只能在x軸方向或y軸方向起作用。實際圖形變換中，不僅是在x,y方向變換，往往要求在任意方向進行比例變換。通過旋轉變換和比例變換的組合，可以實現(xiàn)任意方向的比例變換。解：定義比例因子S1和S2。1.

使S1和S2旋轉θ角后分別與x軸和y軸重合。2.

進行比例變換。3.使S1和S2旋轉-θ角，返回原始位置。

山東科技大學信息學院通用定向縮放如：圖(a)為一單位正方形，對由(0,0)和(1,1)兩點構成的對角線方向實施比例變換（1，2）山東科技大學信息學院2.3三維圖形的幾何變換三維齊次坐標(x,y,z)點對應的齊次坐標為標準齊次坐標(x,y,z,1)右手坐標系

山東科技大學信息學院

1、變換矩陣的一般形式