2023學(xué)年完整公開課版函數(shù)的最值

1.3.1函數(shù)的最值

觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：圖10x0xMy思考1:設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關(guān)系如何？yx0x0圖2M思考2:設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2，則f(x)≤2成立嗎？f(x)的最大值是2嗎？為什么？思考3:怎樣定義函數(shù)f(x)的最大值？

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的x∈I,都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmax(x)=M。思考4:函數(shù)f(x)的最大值是函數(shù)值域中的一個(gè)元素嗎？如果函數(shù)f(x)的值域是(a,b)，則函數(shù)f(x)存在最大值嗎？思考5:函數(shù)f(x)=1-2x(x>1)有最大值嗎？為什么？是否定義域?yàn)殚_區(qū)間的函數(shù)都沒有最大值？圖1y0x0xm

觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：

xy0x0圖2m思考1:仿照函數(shù)最大值的定義，怎樣定義函數(shù)f(x)的最小值？

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對于任意的x∈I,都有f(x)≥m;

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m.那么稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值，記作：fmin(x)=m。思考2:如果在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)存在x1和x2，使對定義域內(nèi)任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，由此你能得到什么結(jié)論？思考3:如果函數(shù)f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函數(shù)f(x)的值域一定是[a,b]嗎？例1、函數(shù)f(x)=3x2-12x+5，在下列條件下，分別求出其最大值和最小值，并指出相應(yīng)的x值：

①0≤x≤3；②-1≤x≤1；③x≤3；④x≥3。說明：閉區(qū)間上的二次函數(shù)最值可能在頂點(diǎn)處取得，也可能在端點(diǎn)處取得。當(dāng)對稱軸在區(qū)間之內(nèi)時(shí)，一個(gè)最值在頂點(diǎn)處取得，另一個(gè)最值在端點(diǎn)處取得，且是離對稱軸更遠(yuǎn)的端點(diǎn)；當(dāng)對稱軸在區(qū)間之外時(shí)，兩個(gè)最值都在端點(diǎn)處取得?；仡櫍豪?、練習(xí)、已知函數(shù)f(x)=。（1）作出f(x)圖象并判斷f(x)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式1-x>m(1+x)對任意x∈[0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。