統(tǒng)計(jì)學(xué)原理 第8講 相關(guān)與回歸分析

第8講相關(guān)與回歸分析第一節(jié)相關(guān)分析

一、相關(guān)分析的概念

二、相關(guān)關(guān)系的種類

三、相關(guān)分析的方法

四、相關(guān)系數(shù)

五、相關(guān)分析的特點(diǎn).

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一、相關(guān)分析的概念

（一）函數(shù)關(guān)系

（二）相關(guān)關(guān)系

（三）相關(guān)分析的概念

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在自然界和社會(huì)現(xiàn)象中，客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系其通常有兩種類型，即：現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系

函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是現(xiàn)象（變量）之間客觀存在的確定性的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系。即當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定值時(shí)，與其相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量的值也隨之確定。如：圓面積與半徑的關(guān)系。（一）函數(shù)關(guān)系

見(jiàn)后面相關(guān)關(guān)系

（相關(guān)分析的對(duì)象）.

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相關(guān)關(guān)系即現(xiàn)象（變量）之間客觀存在的非確定性的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系。

即當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定值時(shí)，與其相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量的值不完全確定，而是有多個(gè)值與其對(duì)應(yīng)。例如：消費(fèi)支出與消費(fèi)收入的關(guān)系，學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間的關(guān)系，商品銷售額與廣告費(fèi)支出之間的關(guān)系等。消費(fèi)支出消費(fèi)收入學(xué)習(xí)成績(jī)

學(xué)習(xí)時(shí)間

y

xyx

y1

=150

y2

=

250

y3

=300

x1

=

200

y2

=

59y1

=

80

…yn

=75

x1

=15（二）相關(guān)關(guān)系

見(jiàn)前面函數(shù)關(guān)系

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（三）相關(guān)分析的概念

相關(guān)分析是研究一個(gè)變量（y）與另一個(gè)變量（x）或另一組變量（x1

，x2，…，

x

k）之間相關(guān)方向和相關(guān)密切程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。

在相關(guān)分析中，若相關(guān)現(xiàn)象之間存在著一定的因果關(guān)系，通常把起決定作用的變量叫自變量，一般用x表示，把受自變量影響而相應(yīng)變化的變量作為因變量，一般用y表示。見(jiàn)后面相關(guān)分析的方法

非線性相關(guān)（曲線相關(guān)）.

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二、相關(guān)分析的種類（一）按相關(guān)的因素多少可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)

相關(guān)關(guān)系種類單相關(guān)（一元相關(guān)）復(fù)相關(guān)（多元相關(guān)）線性相關(guān)（直線相關(guān)）正相關(guān)負(fù)相關(guān)完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）不完全相關(guān)不相關(guān)見(jiàn)后種類（四）

（一)按相關(guān)關(guān)系涉及的變量多少

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（二)按相關(guān)的形式

.

（三)按相關(guān)的方向（直線相關(guān)）

.

（四)按相關(guān)的程度

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見(jiàn)后相關(guān)（三）

見(jiàn)后種類（二）

見(jiàn)后面相關(guān)種類（一）

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三、相關(guān)分析的方法相關(guān)分析的方法（一)相關(guān)圖

（二)相關(guān)表（三)相關(guān)系數(shù)見(jiàn)前面相關(guān)分析的概念

見(jiàn)前面相關(guān)圖

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四、相關(guān)系數(shù)（簡(jiǎn)單線性相關(guān)系數(shù)）

（一）相關(guān)系數(shù)的概念和計(jì)算公式

（二）相關(guān)系數(shù)的取值范圍

（三）利用相關(guān)系數(shù)（的取值）判別相

關(guān)關(guān)系密切程度和方向的方法

見(jiàn)后面樣本相關(guān)系數(shù)

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（一)相關(guān)系數(shù)的概念和計(jì)算公式

相關(guān)系數(shù)是用于測(cè)定兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度和相關(guān)方向的指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)有總體相關(guān)系數(shù)和樣本相關(guān)系數(shù)

兩種?？傮w相關(guān)系數(shù)：

注意：總體的相關(guān)系數(shù)一般不容易測(cè)定，通常只能計(jì)算樣本的相關(guān)系數(shù)，并用以估計(jì)總體的相關(guān)系數(shù)。見(jiàn)后面總體相關(guān)系數(shù)推導(dǎo)

見(jiàn)后面樣本相關(guān)系數(shù)

樣本相關(guān)系數(shù).

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（二)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍

－1≤r≤+1（三)利用相關(guān)系數(shù)r

（的取值）判別相關(guān)關(guān)

系密切程度和方向的方法.

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某企業(yè)某產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下：

表8-1(見(jiàn)后表8-1

）.月份產(chǎn)量（千件）單位成本（元／件）123456234345737271736968

（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明產(chǎn)量與單位成本相關(guān)關(guān)系的密切程度

。（2）配合單位成本倚產(chǎn)量的直線回歸方程，并解釋參數(shù)a、b

的經(jīng)濟(jì)含義。（3）當(dāng)產(chǎn)量為6000件時(shí)。試問(wèn)單位成本為多少元？見(jiàn)后面產(chǎn)量與單位成本相關(guān)系數(shù)計(jì)算

見(jiàn)前面（樣本）相關(guān)系數(shù)公式

.

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月份產(chǎn)量（千件）單位成本（元／件）123456234345737271736968合計(jì)21426

49169162553295184504147615329462414621628421927634030268791481即：產(chǎn)量與單位成本之間存在著高度負(fù)相關(guān)。見(jiàn)后面產(chǎn)量與單位成本回歸方程建立

見(jiàn)前面表8-1產(chǎn)量與單位成本資料

注意：相關(guān)分析（一)狹義的相關(guān)分析（二)廣義的相關(guān)分析

.（相關(guān)關(guān)系分析）狹義的相關(guān)分析。簡(jiǎn)稱為相關(guān)關(guān)系分析，

它以現(xiàn)象之間是否相關(guān)、相關(guān)的方向和相關(guān)密切程度等為主要研究?jī)?nèi)容，它不區(qū)別自變量與因變量，對(duì)各變量的構(gòu)成形式也不關(guān)心。其主要分析方法有：編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計(jì)算相關(guān)系數(shù)。.

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相關(guān)關(guān)系分析回歸分析（二）廣義的相關(guān)分析

.廣義的相關(guān)分析除包括相關(guān)關(guān)系分析外，還包括對(duì)現(xiàn)象間具體的相關(guān)形式的分析，即回歸分析。在回歸分析中根據(jù)研究的目的，應(yīng)區(qū)分出自變量和因變量，并研究確定自變量和因變量之間的具體關(guān)系的方程形式。其主要方法有：建立回歸模型、求解回歸模型中的參數(shù)等。可見(jiàn)，廣義的相關(guān)分析包括狹義的相關(guān)分析和回歸分析兩部分內(nèi)容，也就是本章講解的主要內(nèi)容。.

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第二節(jié)簡(jiǎn)單線性回歸分析一、回歸分析的概念和種類

二、簡(jiǎn)單線性回歸方程的建立

三、簡(jiǎn)單線性回歸方程的特點(diǎn)

一、回歸分析的概念和種類

一、回歸分析的概念

二、回歸分析的種類

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（一）回歸分析的概念

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回歸分析就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的多個(gè)變量之間的數(shù)量變化進(jìn)行數(shù)量測(cè)定，配合一定的數(shù)學(xué)方程（模型），以便由自變量的數(shù)值對(duì)因變量的可能值進(jìn)行估計(jì)或預(yù)測(cè)的一種統(tǒng)計(jì)方法。

相關(guān)分析(相關(guān)系數(shù))能夠確定變量之間相關(guān)方向和相關(guān)的密切程度,但它不能指出兩個(gè)變量之間相互關(guān)系的具體形式,也無(wú)法從一個(gè)變量的數(shù)量變化來(lái)推測(cè)另一個(gè)變量的變化情況。（另外，在相關(guān)分析中，一般不必區(qū)分自變量和因變量，它不能說(shuō)明兩個(gè)變量是主從關(guān)系還是因果關(guān)系。）（二）回歸分析的種類

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回歸分析的種類按照回歸線的形狀按自變量的個(gè)數(shù)多元回歸一元回歸非線性（曲線）回歸線性（直線）回歸

根據(jù)回歸分析的方法，得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為回歸方程（回歸模型）它有多種形式，可以是直線方程，也可以是曲線方程。用回歸方程來(lái)表明兩個(gè)變量之間線性相互關(guān)系的方程式，稱為簡(jiǎn)單線性回歸方程（模型）。這種分析方法稱為簡(jiǎn)單線性回歸分析。.

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當(dāng)兩個(gè)變量呈完全線性相關(guān)時(shí)，其直線方程為：二、簡(jiǎn)單線性回歸方程的建立

當(dāng)兩個(gè)變量呈不完全線性相關(guān)時(shí)，其直線方程為：式中，X：總體的自變量（非隨機(jī)變量）Y：總體因變量（隨機(jī)變量）；A、B是模型的參數(shù)；E：隨機(jī)誤差，即所有未被考慮因素所形成的總誤差。●

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●●●●●●●●●●●（總體）（樣本）.

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簡(jiǎn)單線性回歸方程（樣本）：a：直線起點(diǎn)值，數(shù)學(xué)上稱為直線的縱軸截距；

b：回歸系數(shù)。它表示自變量x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，因變量y平均變動(dòng)的數(shù)值。

式中：（根據(jù)“最小平方法”原理）簡(jiǎn)單線性回歸分析的任務(wù)就是如何根據(jù)實(shí)際資料（樣本資料），來(lái)確定待定參數(shù)a、b，即從各個(gè)相關(guān)點(diǎn)中配合一條合適的直線，使其能代表相關(guān)點(diǎn)的變動(dòng)趨勢(shì)（即用其表明兩變量x與y在線性相關(guān)條件下的具體變動(dòng)關(guān)系）。

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●●●●●●●●●●●數(shù)學(xué)證明，符合“離差平方和最小”的直線是最合適的。這種決定直線方程的方法，稱為最小二乘法（最小平方法）。a、b計(jì)算及推導(dǎo)過(guò)程如下：.

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根據(jù)“離差平方和最小”的原則，回歸方程中的參數(shù)