平面向量線性運(yùn)算

平面對量線性運(yùn)算一、選擇題在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為(A.3 B.22 C.5 D.設(shè)O為△ABC的外心，若OA+OB+OC=OM，則M是A.重心(三條中線交點(diǎn)) B.內(nèi)心(三條角平分線交點(diǎn))

C.垂心(三條高線交點(diǎn)) D.外心(三邊中垂線交點(diǎn))在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=267.若動點(diǎn)P滿足AP=(1?λ)AB+2λ3AC，(λ∈R)A.5 B.10 C.26 D.如圖，在矩形ABCD中，AO+OB+AD=(A.AB

B.AC

C.AD

D.BD

向量AB，CD，EF在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則()

A.EF=13AB+23CD

B.EF=如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，A，B，C，D，則OP+OQ=()

A.OA

B.OB

C.CO

D.DO

若a，b是非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)=(xa+bA.充足而不必要條件 B.必要不充足條件

C.充足必要條件 D.既不充足也不必要條件在三角形ABC中，BC=a,CA=bA.a?b B.b?a C.在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，AN=λAB+μAC，則λ+μ的值為A.12 B.13 C.14點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA+2PB+3PC=0，則△ABP與A.1：5 B.1：2 C.2：5 D.1：3已知單位向量a，b的夾角為π3，那么|a+2bA.23 B.7 C.27 二、填空題在△ABC中，已知∠ACB=90°，CA=3，CB=4，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，則CE?AB=在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，AN=3NC，M為BC的中點(diǎn)，則MN=______已知a=(1,3)，b=(2+λ,1)，且a與b成銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范疇是______．在邊長為1的正方形ABCD中，向量DE=12DC,BF=直線ax+by+c=0與圓O：x2+y2=16相交于兩點(diǎn)M、N，若c2=a2+b若向量a，b滿足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2已知a=(1,2sinθ)，b=(cosθ,?1)，且a如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，則AD用a、b表達(dá)為______．如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且AM=xAB,AN=yAC，則xyx+y的值為若a=(2,3)，b=(?4,7)，則a在b方向上的投影為______．已知點(diǎn)P在線段AB上，且|AB|=4|AP|，設(shè)AP=λPB，則實(shí)數(shù)已知|a|=1，|b|=2，且a⊥(a?b設(shè)x∈R，向量a=(2,x)，b=(3,?2)，且a⊥b，則|a化簡AC+DB+CD=已知向量a=(1,m)，b=(m,m?3)，若a⊥b，則m=如圖：在梯形ABCD中，AD//BC且AD=12BC，AC與BD相交于O，設(shè)AB=a，DC=b，用a，b表達(dá)BO設(shè)向量a=(1,?2)，b=(3,4)，則向量a在向量b方向上的投影為______．已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，且對一切實(shí)數(shù)x，|a+xb|≥|已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα=13，向量a=3e1?2e2已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若AO=12(AB+AC)，則三、解答題如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE與CD交于P.設(shè)存在λ和μ使AP=λAE，PD=μCD，AB=a，BC=b．

(1)求λ及μ；

(2)用a，b表達(dá)BP

已知向量a=(1,2)，b=(2,λ)，c=(?3,2)．

(1)若a//b，求實(shí)數(shù)λ的值；

(2)若ka+c與a?2c垂直，求實(shí)數(shù)k已知平面對量a=(4sin(π?α),32)，a=(cosπ3,cosα)，a⊥b．

(Ⅰ)求tanα的值；在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2?12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B．

(Ⅰ)求k的取值范疇；

(Ⅱ)與否存在常數(shù)k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求k值；如果不存在，請闡明理由．

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin2x+2sin2x?1．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期．

(Ⅱ)已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(C)=2，CA?CB=3，a+b=112，求邊已知a=(1,2)，b=(?3,1)．

(Ⅰ)求a?2b；

(Ⅱ)設(shè)a,b的夾角為θ，求cosθ的值；

(Ⅲ)若向量a+kb與a?kb互相垂直，求已知向量a=(2sinθ,1)，b=(2cosθ,?1)，其中θ∈(0,π2)．

(1)若a⊥b，求角θ的大??；

(2)若|a已知a=(1,2)，b=(1,?1)．

(1)若θ為a與b的夾角，求cosθ的值；

(2)若2a+b與ka?b垂直，求k的值．已知向量m=(1,1)，向量n與向量m的夾角為3π4，且m?n=?1．

(1)求向量n；

(2)設(shè)向量a=(1,0)，向量b=(cosx,sinx)，其中x∈R，若n?a答案和解析【答案】1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B

8.D 9.A 10.B 11.B 12.7213.1414.{λ|λ>?5，且λ≠?515.π416.[?6,10]

17.2

18.1219.a+20.1321.65522.1323.π424.26

25.AB

26.0或2

27.?428.?1

29.3π430.2231.90°32.解：(1)由于AB=a，BC=b，則AE=a+23b，

DC=13a+b，AP=λAE=λ(a+23b)，DP=μDC=μ(13a+b)，AP=AD+DP=23AB+DP，

23a+μ(1333.解：(1)∵向量a=(1,2)，b=(2,λ)，c=(?3,2)．

a//b，

∴12=2λ，

解得實(shí)數(shù)λ=4．

(2)ka+c=(k?3,2k+2)，a34.解：平面對量a=(4sin(π?α),32)=(4sinα,32)，a=(12,35.解：(Ⅰ)圓的方程可寫成(x?6)2+y2=4，因此圓心為Q(6,0)，過P(0,2)

且斜率為k的直線方程為y=kx+2．

代入圓方程得x2+(kx+2)2?12x+32=0，

整頓得(1+k2)x2+4(k?3)x+36=0.①

直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△=[4(k?3)2]?4×36(1+k2)=42(?8k2?6k)>0，

解得?34<k<0，即k的取值范疇為(?34,0)．

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)，B(x36.解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)=3sin2x+2sin2x?1

=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，

∴函數(shù)f(x)的最大值是2，

最小正周期為T=2πω=π；

(Ⅱ)△ABC中，由f(C)=2，得2sin(2C?π6)=2，

∴sin(2C?π6)=1，

∴2C?π6=π2+2kπ，k∈Z37.解：(Ⅰ)a?2b=(1，2)?2(?3，1)=(1+6，2?2)=(7，0)．

(Ⅱ)cosθ=a?b|a|?|b|=1×(?3)+2×11+(?3)222+1=?210．38.(本小題滿分14分)

解：(1)∵向量a=(2sinθ,1)，b=(2cosθ,?1)，其中θ∈(0,π2)．

∴由a⊥b，得a?b=0，即4cosθsinθ?1=0，

即sin2θ=12，由于θ∈(0,π2)，因此2θ∈(0,π)，

因此2θ=π6或2θ=5π6，解得θ=π12或θ=5π12.(6分)

(2)a?b=(2sinθ?239.解：(1)已知a=(1,2)，b=(1,?1)，

若θ為a與b的夾角，則cosθ=a?b|a|?|b|=1?21+4?2=?1040.解：(1)設(shè)n=(x,y)，則x+y=?12x2+y2cos3π4=?1，解得x=?1y=0或x=0y=?1

因此n=(?1,0)或(0,?1)

(2)由于向量a=(1,0)，n?【解析】1.解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)，

∵動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，

設(shè)圓的半徑為r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD=22+12=5

∴12BC?CD=12BD?r，

∴r=25，

∴圓的方程為(x?1)2+(y?2)2=45，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(255cosθ+1,255sinθ+2)，

∵AP=λAB+μAD，

∴(255cosθ+1,255sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)，

∴2552.解：在△ABC中，O為外心，可得OA=OB=OC，

∵OA+OB+OC=OM，

∴OA+OB=OM?OC

設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則OD⊥AB，CM=2OD，

∴CM⊥AB，可得CM在AB邊的高線上．

同理可證，AM在BC邊的高線上，

故M是三角形ABC兩高線的交點(diǎn)，可得M是三角形ABC的垂心，

故選：C

設(shè)AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)題意可得OD⊥AB.由題中向量的等式化簡得CM⊥AB，即CM在AB邊的高線上.3.解：設(shè)AD=23AC，

∵AP=(1?λ)AB+2λ3AC=(1?λ)AB+λAD

∴B，D，P三點(diǎn)共線．

∴P點(diǎn)軌跡為直線BC．

在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=267，

∴sinC=4.解：在矩形ABCD中，

AD=BC，

則AO+OB+AD=AO5.解：設(shè)EF=(0,2)，則AB=(1,1)，CD=(?1,2)，

故EF=23AB+26.解：設(shè)方格的邊長為1，則：O(0,0)，A((3,?3)，B(1,?3)，C(?2,3)，

D(?2,2)，P(?2,?2)，Q(4,?1)；

∴OP+OQ=(2,?3)=CO．

故選C．

可設(shè)一種小方格的邊長為1，從而能夠得出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量OP7.解：f(x)=(xa+b)?(xb?a)??=a?bx2+(|b|2?|a|2)x?a?b，

如a⊥b，則有a?b=0，

如果同時(shí)有|a|=|b|8.解：AB=CB?CA=?BC?CA=?9.解：設(shè)BM=tBC

則AN=12AM=12(AB+BM)=12AB+12BM

=12AB+12×tBC=12AB+10.解：如圖，延長PB至，使，延長PC至，使，并連接AB′，B′C′，C′A，則：PA+PB′+PC′=0

∴P是△AB′C′的重心；

∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三個(gè)三角形的面積相等，記為S；

∴S△APB=S2，S△APC=S3，S△BPC=S6，

∴S△ABC=S，

∴S△ABP：S△ABC=1：2．

故選B．

可延長PB到B′，延長PC到C′，并分別使PB′=2PB，PC′=3PC，從而根據(jù)條件便得到PA+PB′11.解：∵已知單位向量a，b的夾角為π3，那么|a|=|b|=1，a?b=1×1×cosπ3=12，

∴|a12.【分析】本題考察平面對量的運(yùn)算及平面對量的數(shù)量積，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則CE→=12CA→+【解答】解：如圖：

CE?AB=12(CA+CB)?(CB13.解：∵AN=3NC，M為BC的中點(diǎn)，

則MN=MC+CN=114.解：由題意可得a?b>0，且a、b不共線，∴2+λ+3>02+λ1≠13，求得λ>?5，且λ≠?53，

故答案為：{λ|λ>?5，且λ≠?53

}．

15.解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

∵邊長AB=1，向量DE=12DC,BF=13BC，

∴A(0,0)，E(12,1)，F(xiàn)(1,13)；

∴AE=(12,1)，AF=(1,13)，

AE?AF=12×1+1×116.解：取MN的中點(diǎn)A，連接OA，則OA⊥MN，

∵c2=a2+b2，

∴O點(diǎn)到直線MN的距離OA=|c|a2+b2=1，

x2+y2=16的半徑r=4，

∴Rt△AON中，設(shè)∠AON=θ，得cosθ=OAON=14，

cos∠MON=cos2θ=2cos2θ?1=18?1=?78，

由此可得，OM?ON=|OM|?|ON|cos∠MON

=4×4×(?78)=?14，

則PM?PN=(OM?OP)?(ON?17.解：設(shè)向量a，b的夾角為θ，

∵|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，

∴(a+b)?a=a2+a?b=1+|b18.解：由題意可知：a=(1,2sinθ)，b=(cosθ,?1)，

∵a⊥b，∴1×cosθ+2sinθ×(?1)=0，

化簡得19.解：如圖：

由平行四邊形法則可得AE=a+b，

由平行四邊形的性質(zhì)可知AE=2AD，

∴2AD→20.解：根據(jù)題意G為三角形的重心，

∴AG=13(AB+AC)，

MG=AG?AM=13(AB+AC)?xAB=(13?x)AB+13AC，

GN=AN?AG=yAC?AG=yAC?13(AB+AC)=(y?1321.解：∵a=(2,3)，b=(?4,7)，

∴a在b方向上的投影|a|cosθ=a22.解：如圖所示，

點(diǎn)P在線段AB上，且|AB|=4|AP|，

∴AP=14AB=13PB；

又AP23.解：設(shè)向量a與向量b的夾角是θ，則由題意可得a?(a?b)=a2?a?b=1?1×2×cosθ=0，

求得cosθ=2224.解：∵a⊥b，∴a?b=0，即2×3?2x=0，解得x=3，

∴a?b=(2,3)?(3,?2)=(?1,5)，

則|a?25.解：AC+DB+CD=AC+CD+26.解：∵a⊥b，

∴a?b=m+m(m?3)=0，解得m=0或2．

故答案為：0或2．27.解：由于在梯形ABCD中，AD//BC且AD=12BC，AC與BD相交于O，設(shè)AB=a，DC=b，過D作DE//AB，

則E是BC的中點(diǎn)，DE=a，BO=23BD

因此?2a=BD?b，?2a=32BO?b，

因此BO=?43a+23b28.解：向量a=(1,?2)，b=(3,4)，根據(jù)投影的定義可得：

向量a在向量b方向上的投影為|a|cos<a，b>=a?b|b|=3?89+16=?1．29.解：由|a+xb|≥|a+b|得a2+2xa?b+x2b2≥a2+2a?b+b2，化為x2b2+2xa?b?2a?b?b2≥0，

∵|b|=1，|a|=2．

∴x230.解：單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα=13，不妨e1=(1,0)，e2=(13,223)，31.解：在圓中若AO=12(AB+AC)，

即2AO=AB+AC，

即AB+AC的和向量是過A，O的直徑，

則以AB，AC為鄰邊的四邊形是矩形，

則AB⊥32.(1)根據(jù)AP=λAE=λ