垂徑定理 全市一等獎(jiǎng)

2.3垂徑定理合作探究課后作業(yè)課堂小結(jié)情景引入

問題:你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？

趙州橋主橋拱的半徑是多少？

首頁(yè)情景引入由此你能得到圓的什么特性？

可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．

問題1：不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎？首頁(yè)探究點(diǎn)一垂徑定理合作探究問題2：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧?為什么?·OABCDE線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒首頁(yè)垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.CD⊥AB∵CD是直徑，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE首頁(yè)下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化：首頁(yè)垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD首頁(yè)例1：如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=AED.BD=BC⌒⌒·OABECDC首頁(yè)例題學(xué)習(xí)例2：如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm。·OABE解：連接OA，∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm首頁(yè)問題：你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎?探究點(diǎn)二垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用首頁(yè)37.4m7.2mABOCD首頁(yè)ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在的圓的圓心為O，半徑為r.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵∴解得r=27.9（m）即主橋拱半徑約為27.9m.⌒⌒首頁(yè)關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。知識(shí)要點(diǎn)首頁(yè)例4:如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●OCDEF┗首頁(yè)例題學(xué)習(xí)

∴CD⊥AB,∵CD是直徑，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE探究點(diǎn)三垂徑定理的推論命題：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧?！笔钦婷}嗎?若是，請(qǐng)證明；若不是請(qǐng)舉出反例.首頁(yè)（1）如何證明？·OABCDE已知：如圖，CD是⊙O的直徑，AB為弦，且AE=BE.證明：連接OA，OB，則OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求證：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC首頁(yè)（2）“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例。

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧?！ABCD首頁(yè)①CD是直徑,②CD⊥AB,③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

如果具備上面五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么一定可以得到其他三個(gè)結(jié)論嗎？

一條直線滿足:(1)過圓心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直徑）;(4)平分弦所對(duì)優(yōu)弧;(5)平分弦所對(duì)的劣弧.●OABCD└M首頁(yè)根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)劣?。?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。①②③④⑤只要具備上述五個(gè)條件中任兩個(gè),就可以推出其余三個(gè).知識(shí)要點(diǎn)首頁(yè)例3:如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB=10，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)P與A、B不重合），連結(jié)AP、BP，過點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的長(zhǎng).解：在⊙O中,∵OE⊥AP，OF⊥PB,∴AE=PE,BF=PF,∴EF是△ABP的中位線,∴EF=AB=×10=5cm.首頁(yè)例題學(xué)習(xí)圓是軸對(duì)稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸.垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理:在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓