第八章平面解析幾何 第9節(jié) 第8節(jié) 第三課時第三課時 定點、定值、證明問題

第八章平面解析幾何第三課時定點、定值、證明問題考點技法·全面突破[典例1]

(2013·陜西高考)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．

定點問題(☆☆☆☆☆)(1)解：如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|，

當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點，(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0.

即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0， ③

將①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此時Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，從而直線l過定點(1,0)．

1．定點問題的常見解法(1)假設(shè)定點坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即所求定點；(2)從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意．2．由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)．定值問題(☆☆☆☆☆)1．定值問題是指解析幾何中的某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或代數(shù)表達(dá)式的值與題目中的參數(shù)無關(guān)，始終是一個確定的值．2．求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因為直線PQ與x軸不重合，故可設(shè)直線PQ：x＝my＋3.將其與橢圓方程聯(lián)立，消去x得(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，

證明問題(☆☆☆☆)(1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標(biāo)；(2)若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a－b.

(文)(2014·江西高考)如圖，已知拋物線C：x2＝4y，過點M(0，2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標(biāo)原點)．(1)證明：動點D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2，證明：|MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值．

證明：(1)依題意可設(shè)AB方程為y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8.

(2)依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化簡整理得b＝－a2.故切線l的方程可寫為y＝ax－a2.分別令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐標(biāo)為

圓錐曲線中的證明問題多涉及證明定點問題、定線問題或定值問題，有時也涉及證明一些否定性命題，證明的方法多采用直接證法或反證法．(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.求證：當(dāng)a變化時，點P在某定直線上．學(xué)科素能·增分寶典方法技巧系列之(九)圓錐曲線中與三角形、四邊形形狀有關(guān)問題的解法(1)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．[