高考數(shù)學 1.1獨立性檢驗課件 新人教B版選修1-2

1.1獨立性檢驗

獨立性檢驗涉及到兩事件獨立的概念。我們先來介紹兩個事件相互獨立的含義。例1．把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意的擲一次，設(shè)事件A=“擲出偶數(shù)點”，B=擲出3的倍數(shù)點，試分析事件A與B及事件與B的關(guān)系。解：由于事件A意味著“擲出2點、4點或6點”，應(yīng)用古典概型的知識，容易得出P(A)=.事件B意味著“擲出3點或6點”，因此P(B)=.如果把事件A、B同時發(fā)生記作A∩B，簡記作AB，根據(jù)上面的分析，事件A、B同時發(fā)生，即事件AB發(fā)生，意味著“擲出6點”，所以P(AB)=.此外P(A)×P(B)=此時P(AB)=P(A)P(B).這時就稱事件A與B相互獨立。定義：一般地，對于兩個事件A，B，如果有P(AB)=P(A)P(B)，就稱事件A與事件B獨立。本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。獨立性檢驗在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。例2．某醫(yī)療機構(gòu)為了了解患慢性支氣管炎與吸煙是否有關(guān)，進行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了339名50歲以上的人，其中吸煙者205人，不吸煙者134人．調(diào)查結(jié)果是：吸煙的205人中有43人患呼吸道疾病（簡稱患病），162人未患呼吸道疾?。ê喎Q未患?。?；不吸煙的134人中有13人患病，121人未患?。畣栴}：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定“患慢性支氣管炎與吸煙有關(guān)”？（1）為了研究這個問題，將上述數(shù)據(jù)用下表來表示(2×2列聯(lián)表)

患病未患病合計吸煙43162205不吸煙13121134合計56283339（2）估計吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異：在吸煙的人中，有的人患病，患?。˙）未患病()合計吸煙An11n12n1+不吸煙n21n22n2+合計n+1n+2n在不吸煙的人中，有的人患?。畣栴}：由上述結(jié)論能否得出患病與吸煙有關(guān)？把握有多大？

（1）假設(shè)：患病與吸煙沒有關(guān)系．若將表中“觀測值”用字母表示，則得下列2×2列聯(lián)表：即n11(n21+n22)≈n21(n11+n12)

n11n22－n21n12≈0，因此，|n11n22－n21n12|越小，患病與吸煙之間的關(guān)系越弱，否則，關(guān)系越強．近似的判斷方法：設(shè)n=n11+n21+n12+n22，如果H0成立，則在吸煙的人中患病的比例與不吸煙的人中患病的比例應(yīng)差不多，由此可得，上面的話的意思是指事件A與B獨立，這時應(yīng)該有P(AB)=P(A)P(B)成立，我們用H0表示上式，即H0：P(AB)=P(A)P(B).并稱之為統(tǒng)計假設(shè)，當H0成立時，下面的三個式子也成立：根據(jù)概率的統(tǒng)計定義，上面提到的眾多事件的概率都可以用相應(yīng)的頻率來估計。

例如P(AB)的估計為P(A)的估計為，P(B)的估計為，……于是與應(yīng)該很接近，……。或者說應(yīng)該比較小.從而也應(yīng)該比較小。（2）卡方統(tǒng)計量：為了消除樣本對上式的影響，通常用卡方統(tǒng)計量（χ2）來進行估計．卡方χ2統(tǒng)計量公式：用它的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0，如果算出的χ2值較大，就拒絕H0，也就是拒絕“事件A與事件B無關(guān)”，從而就認為它們是有關(guān)的了（3）兩個臨界值：3.841與6.635.

經(jīng)過對χ2統(tǒng)計量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個臨界值：3.841與6.635。

當根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的χ2>3.841時，有95%的把握說事件A與事件B有關(guān)；當χ2>6.635時，有99%的把握說事件A與事件B有關(guān)；當χ2<3.841時，認為事件A與事件B無關(guān)；

象以上這種用χ2統(tǒng)計量研究吸煙與患呼吸道疾病是否有關(guān)等問題的方法稱為獨立性檢驗．對于例2，最理想的解決辦法是向所有的50歲以上的人作調(diào)查，然后對所得的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理，但這花費的代價太大，實際上也是行不通的。339個人相對于全體50歲以上的人，只是一小部分.回憶一下數(shù)學必修3中學過的總體與樣本的關(guān)系，當用樣本平均數(shù)，樣本標準差去估計總體的相應(yīng)的數(shù)字特征時，由于抽樣的隨機性，結(jié)果并不惟一?，F(xiàn)在的情況類似，我們用部分對全體作推斷，推斷可能正確，也可能錯誤，例如我們知道，不少的中老年煙民的身體很好，沒有患慢性支氣管炎；而又有很多的從不吸煙的中老年人體質(zhì)很差，患有慢性支氣管炎。如果抽取的339個調(diào)查對象中很多人來自上述兩個群體，試想會得出什么結(jié)論吧。我們說有95%（或99%）的把握說事件A與事件B有關(guān)，是指推斷犯錯誤的可能性為5%(或1%)，這也是常常說成是“有95%（或99%）的概率”，其含義是一樣的。解：由公式因為7.469>6.635，所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性支氣管炎與吸煙有關(guān)。Ⅱ類1類2合計Ⅰ類An11n12n1+類B

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