高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》全套課件PPT

高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》全套課件2.1不等關(guān)系與不等式橫看成嶺側(cè)成峰，

遠(yuǎn)近高低各不同。

現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系，如：1、今天的天氣預(yù)報(bào)說(shuō)：明天早晨最低溫度為7℃，明天白天的最高溫度為13℃；2、三角形ABC的兩邊之和大于第三邊；3、a是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。在數(shù)學(xué)中，我們?cè)鯓觼?lái)表示這些不等關(guān)系？7℃≤t≤13℃AB+AC>BC或……a≥0新課引入4、右圖是限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40km/h，寫(xiě)成不等式是：_________405、某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，用不等式可以表示為：()0<v≤40A.f≥2.5%或p≥2.3%B.f≥2.5%且p≥2.3%C.B,C新課引入練習(xí)：用不等式表示下面的不等關(guān)系：1、a與b的和是非負(fù)數(shù)；2、某公路立交橋?qū)νㄟ^(guò)車(chē)輛的高度h“限高4m”想一想,你還能舉出哪些相似的例子?新課引入a+b≥0H≤4學(xué)習(xí)新知二、用不等式來(lái)解決生活中的不等關(guān)系問(wèn)題：例1、某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本。據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元銷(xiāo)售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？分析：若雜志的定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售量減少：因此，銷(xiāo)售總收入為：用不等式表示為：例題講評(píng)變式：如果設(shè)雜志的單價(jià)提高了0.1n元(n∈N*)，如何用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？你能計(jì)算出n在哪個(gè)范圍內(nèi)變化嗎?分析：銷(xiāo)售量減少了0.2n萬(wàn)本，單價(jià)為(2.5+0.1n)元，則可得到銷(xiāo)售的總以收入為不低于20萬(wàn)元的不等式可表示為：(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20例題講評(píng)

例2、某鋼鐵廠(chǎng)要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm的兩種規(guī)格。按照生產(chǎn)的要求，600mm的鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。怎樣寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？分析：假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等關(guān)系呢？(3)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。(2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm的鋼管數(shù)量的3倍；(1)截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm；例題講評(píng)上面三個(gè)不等關(guān)系，是“且”的關(guān)系，要同時(shí)滿(mǎn)足的話(huà)，可以用下面的不等式組來(lái)表示：考慮到實(shí)際問(wèn)題的意義，還應(yīng)有x,y∈Nx,y∈N例題講評(píng)完成課本第39頁(yè)第1題作差比較法比較兩數(shù)（式）的大小的最基本和首選的方法：歸納邏輯過(guò)程：不等式基本原理a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>a<b學(xué)習(xí)新知練習(xí)：例題講評(píng)例3.比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.練習(xí)已知變式1：若a>b,結(jié)果會(huì)怎樣？變式2：若沒(méi)有a<b這個(gè)條件呢？zxxk練習(xí)鞏固完成課本第40頁(yè)第2題1．不等關(guān)系是普遍存在的2．用不等式（組）來(lái)表示不等關(guān)系3．不等式基本原理

a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>a<b4．作差比較法

步驟：作差，變形，定號(hào)課堂小結(jié)基本不等式

這是2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客。新課引入思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1新課引入正方形和直角三角形ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S>S′問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？新課引入ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab學(xué)習(xí)新知思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）學(xué)習(xí)新知結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R學(xué)習(xí)新知替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？學(xué)習(xí)新知證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法證明不等式：學(xué)習(xí)新知特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫(xiě)作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0學(xué)習(xí)新知適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式學(xué)習(xí)新知均值不等式的運(yùn)用例１．已知x>0，求的最小值和此時(shí)x的取值．典型例題變式1：把改為成立嗎？變式2：把改為成立嗎？不成立不成立均值不等式的運(yùn)用典型例題例2.已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14歸納總結(jié)

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并說(shuō)明此時(shí)x,y的值．當(dāng)x=6,y=4時(shí),最小值為482.已知x<0，求的最大值.鞏固練習(xí)3.求x＞-1時(shí)，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴=(x

+1)+

-11x+1x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號(hào).∴當(dāng)

x=0

時(shí),取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時(shí),1x+1提高練習(xí)2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y為正數(shù),且2x+8y＝xy，則x+y的最小值是___.181.若

0<x<,求x(1-2x)

的最大值.12解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“=”號(hào).2x=(1-2x),即

x=

14∴當(dāng)

x=時(shí),

函數(shù)

x(1-2x)

的最大值是.1418求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).143.利用基本不等式求最值1.重要不等式課堂小結(jié)2.基本不等式基本不等式若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫(xiě)作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.適用范圍：a>0,b>0..學(xué)..科..網(wǎng).新課引入求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).142.利用基本不等式求最值典型例題變式練習(xí)例2如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則籬笆的長(zhǎng)為矩形花園的面積為xym2ABDC得

144≥2xy當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24x=2y典型例題變式：如圖，用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則籬笆的長(zhǎng)為矩形花園的面積為xym2ABDCx+y不是

定值.2=24為

得

2xy≤

144當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24x=2y典型例題【例3】典型例題鞏固練習(xí)小結(jié)由基本不等式變形得到的常見(jiàn)的結(jié)論§2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式學(xué)校要在長(zhǎng)為8,寬為6的一塊長(zhǎng)方形地面上進(jìn)行綠化,計(jì)劃四周種花卉,花卉帶的寬度相同,中間種植草坪(圖中陰影部分)為了美觀,現(xiàn)要求草坪的種植面積超過(guò)總面積的一半,此時(shí)花卉帶的寬度的取值范圍是什么?整理得設(shè):花卉帶的寬為,則依題意有整理得新課引入一元二次不等式的一般形式：一元二次不等式的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式...學(xué)..科..網(wǎng).學(xué)習(xí)新知探究一元二次不等式的解集二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：即：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點(diǎn)（1）一元二次方程的根與二次函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：xy016o

o學(xué)習(xí)新知不等式x2-7x-6>0的解集為

。不等式x2-7x-6<0的解集為

。x<1或x>6yx016o

oo

oy>0y>0y<0(2)當(dāng)x取

時(shí)，y=0？

當(dāng)x取

時(shí)，y>0？當(dāng)x取

時(shí)，y<0?x=1或61<x<6﹛x|x<1或x>6﹜﹛x|1<x<6﹜大于0取兩邊，小于0取中間.(3)由圖象得：..學(xué)..科..網(wǎng).學(xué)習(xí)新知△=b2-4ac二次函數(shù)（）的圖象對(duì)應(yīng)二次方程的根

無(wú)實(shí)根二次函數(shù)一元二次方程的根一元二次不等式的解圖象學(xué)習(xí)新知②不等式的解集與不等式的解集有差異嗎？①對(duì)于一元二次不等式當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)如何求解？思考學(xué)習(xí)新知典型例題典型例題一看：看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)化為正。求一元二次不等式的的一般步驟：二算：算△及對(duì)應(yīng)方程的根。三寫(xiě)：由對(duì)應(yīng)方程的根，結(jié)合不等號(hào)的方向，根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出不等式的解集。方法歸納練習(xí)：課本第53頁(yè)第2題鞏固練習(xí)[例3]解下列關(guān)于x的不等式：(1)x2－(a2＋a)x＋a3>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.[分析]在(1)中，顯然有兩根a和a2，因而只需要以?xún)筛拇笮∽鳛榉诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)即可；而在(2)中，首先它不一定是一元二次不等式，即使是也不一定有二次項(xiàng)系數(shù)大于零，因此應(yīng)首先以二次項(xiàng)系數(shù)與零的大小為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，還應(yīng)考慮判別式與零的大小，再就是兩根的大小關(guān)系．典型例題[解]

(1)原不等式化為(x－a)(x－a2)>0①當(dāng)a2－a>0，即a>1或a<0時(shí)，原不等式的解為x>a2或x<a.②當(dāng)a2－a<0，即0<a<1時(shí)，原不等式的解為x<a2或x>a；③當(dāng)a2－a＝0，即a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解為x≠a.典型例題典型例題1.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．鞏固練習(xí)練習(xí)：課本第53頁(yè)第1題鞏固練習(xí)1.一元二次不等式的定義與一般形式.2.三個(gè)“二次”的關(guān)系.3.一元二次不等式的解法及其步驟.4.數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想.5.認(rèn)識(shí)方法：特殊到一般的辯證法．課堂小結(jié)一元二次不等式的解法(3)含待定系數(shù)的不等式?＝b2-4ac?>0?=0?<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像(a>0)ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+c<0的解集xyoxyo●xyox1x2●●無(wú)實(shí)根復(fù)習(xí)引入1．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解集為(

)A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)B．(－∞，3)∪(4，＋∞)C．(－4，－3)D．(3,4)解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等價(jià)于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故選B.答案：B復(fù)習(xí)練習(xí)[例1]

設(shè)A＝{x|x2－(a＋a2)x＋a3<0}，

B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[分析]

由A∩B＝A?A?B，又因?yàn)锽是可解集合，因此可以求出B集合．對(duì)于A集合，要明確不等式的解集，需判斷對(duì)應(yīng)方程兩根的大小，故要就兩根的大小對(duì)參數(shù)a加以討論，再借助數(shù)軸由A，B兩集合的關(guān)系，求出a的具體取值范圍．典型例題[解]

因?yàn)锳∩B＝A，所以A?B.B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}．因?yàn)閤2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a2)(x－a)<0，所以x介于a與a2之間．當(dāng)a<a2，即a>1或a<0時(shí)，A＝{x|a<x<a2}．若A?B，則需滿(mǎn)足 如圖1所示，

已知集合A＝{x|x2－x－6>0},B＝{x|0<x＋a<4},若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：由x2－x－6>0，得(x－3)(x＋2)>0，∴x<－2或x>3.∴A＝{x|x<－2或x>3}．由0<x＋a<4，得－a<x<4－a.∴B＝{x|－a<x<4－a}．又∵A∩B＝?，∴解得1≤a≤2.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|1≤a≤2}．練習(xí)鞏固[例2]

汽車(chē)在行駛中，由于慣性作用，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”．剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲、乙兩車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是發(fā)生了輕微碰撞．事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)12m，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m，又知甲、乙兩種車(chē)型的剎車(chē)距離s(m)與車(chē)速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：

s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.試判斷甲、乙兩車(chē)有無(wú)超速現(xiàn)象，并根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)給出判斷的依據(jù)．典型例題[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①限速40km/h;②剎車(chē)距離s甲>12m,s乙>10m；③剎車(chē)距離s甲、s乙與車(chē)速關(guān)系確定．解答本題可將剎車(chē)距離直接代入關(guān)系式分別得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范圍，即汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速范圍．[解]

由題意,對(duì)于甲車(chē),有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1200>0.解得x>30或x<－40(舍去)．這表明甲車(chē)的車(chē)速超過(guò)30km/h，但根據(jù)題意剎車(chē)距離略超過(guò)12m，由此估計(jì)甲車(chē)不會(huì)超過(guò)限速40km/h.對(duì)于乙車(chē)，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0.解得x>40或x<－50(舍去)．這表明乙車(chē)的車(chē)速超過(guò)40km/h，超過(guò)規(guī)定限速.典型例題[點(diǎn)評(píng)]

(1)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是新課標(biāo)下考