生活中的優(yōu)化問題舉例

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題有時也稱為最值問題．解決這些問題具有非常重要的現(xiàn)實意義．

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:

在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.知識回顧導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性新課導(dǎo)入

在過去的學(xué)習(xí)中，我們一般把優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档膹娪辛Φ墓ぞ?如何學(xué)以致用，利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題呢？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例例1鐵桶的最大容積：

把邊長為a的正方形鐵皮減去六個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正六棱柱形容器（不計接縫），設(shè)被剪去的四邊形的AB邊長為x，容器為V(x).求x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.ADCB

因為被剪去的四邊形的AB邊長為x，則做成的正六棱柱容器的底邊長為a-2x,正六棱柱的高為.則：

實際問題歸結(jié)為求函數(shù)V(x)在區(qū)間上的最大值點.先求V(x)的極值點在開區(qū)間內(nèi)，求導(dǎo)數(shù)得

令，即令解得：（舍去）

因為在區(qū)間內(nèi)，可能是極值點.當時，；當時，.

因此是極大值點，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點，所以是V(x)的最大值點，并且最大值即當時，容器的容積最大為.例2海報版面設(shè)計

學(xué)?；虬嗉壟e行活動,通常需要張貼海報進行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128，上下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm.如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm，此時四周空白面積為求導(dǎo)數(shù)，得當x∈(0,16)時，當x∈(16,+∞)時，.因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值點，也是最小值點.所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小.令解得x=16(x=-16舍去)于是寬為例3飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑.已知每售出1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.

那么瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大和最?。拷猓河捎谄孔拥陌霃綖閞，所以每瓶飲料的利潤是令當r=2時，；當r∈(2,6)時，因此，當半徑r>2時，，它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；半徑r<2時，，它表示f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低.半徑為2cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤為負.半徑為6cm時，利潤最大.

我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖象上觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么？23yxo

從圖象上容易看出，當r=3時,f(3)=0，即瓶子的半徑是3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當r>3時，利潤才為正值.

當r∈(0,2)時，f(r)是減函數(shù)，你能解釋它的實際意義嗎？

并不是瓶子越小，利潤越大.當瓶子半徑在（0,2）之間時，每瓶容量受限，導(dǎo)致售出的飲料量減少，或者人們不想買太小瓶的飲料，而影響利潤.例4磁盤的最大存儲量問題

計算機把信息存儲到磁盤上，磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū).磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域.磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，幾個基本單元通常稱為比特(bit).

知識點

現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)形區(qū)域.是不是r越小，磁盤的存儲量越大？R為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存在任何信息）

為保障磁盤分辨率，磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n.磁盤格式化時要求所有磁道具有相同的比特數(shù).設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道數(shù)最多可達到.又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達到.所以，磁盤總存儲量：解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)

它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.為求f(r)的最大值，計算解得：當時，；當時，.因此，當時，磁盤具有最大存儲量，最大存儲量為.優(yōu)化問題優(yōu)化問題解決方案用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題這是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答溫馨提示：用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，要特別注意在實際問題中變量的取值范圍.解決優(yōu)化問題的一般步驟：（1）審題（2）建模（3）解模（4）回歸課堂小結(jié)實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型；求解數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)結(jié)果還原到實際問題之中解決優(yōu)化問題的步驟：課堂習(xí)題例1：從長8cm，寬5cm的矩形薄鐵板的四角剪去相等的正方形，做一個無蓋的箱子，問剪去的正方形邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？8cm5cmx例2：統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：（），已知甲乙兩地相距100千米，當汽車以多大速度行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？課堂答案解：設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm,則箱子容積為：令得：（舍去）例1當0<x<1時，；當1<x<2.5時，.所以當x=1時，.即剪去的正方形邊剪去1cm時，箱子的容積最大，其最大值是