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12.3角的平分線的性質(zhì)1、角平分線的定義:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。OBAC舊知回顧OBAC∠AOC=∠BOC∠AOB=2∠AOC=2∠BOC角平分線2、已知一個(gè)角你會(huì)將它平分嗎?說(shuō)一說(shuō),你有哪些方法?ABO如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫(huà)一條射線AE,AE就是這個(gè)角的平分線。BEDCA····你能說(shuō)明它的道理嗎?思考證明:在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
CA=CA(公共邊)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB∴AC平分∠DABBEDCA····你能由上面的平分角的方法得出作已知角的平分線的方法嗎?已知:
∠AOB求作:
∠AOB的角平分線.(2)分別以M、N為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C。證明:連結(jié)MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中
OM=ON
MC=NC
OC=OC∴△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠AOB的角平分線.(1)以O(shè)為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧,交OA于M,交OB于N。(3)作射線OC,射線OC即為所求。作法:為什么OC就是∠AOB的角平分線呢?OBA思考:如圖,任意作一個(gè)∠AOB,作出∠AOB的平分線OC,在OC上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P畫(huà)出OA、OB的垂線,分別記垂足為D、E,測(cè)量PD、PE并作比較,你能得到什么結(jié)論?在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試。COBApDEPD=PE通過(guò)測(cè)量,我們猜想角的平分線有以下性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等已知:∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E.求證:PD=PE.AOBPEDC已知:求證:如圖,∠AOC=∠BOC
,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分別為D、E,求證PD=PE.AOBEDPC∵
PD⊥OA,PE⊥OB證明:∴∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴
PD=PE證明幾何命題的一般步驟:1、明確命題的已知和求證2、根據(jù)題意,畫(huà)出圖形,并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證;3、經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑,寫(xiě)出證明過(guò)程?!逴C是∠AOB的平分線,
且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)符號(hào)語(yǔ)言:角平分線性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。EDOABPC判斷正誤,并說(shuō)明理由:(1)如圖1,P在射線OC上,PE⊥OA,PF⊥OB,則PE=PF.(2)如圖2,P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn),E、F分別在OA、OB上,則PE=PF.AOBPEF圖2圖3AOBPEAOBPEF圖1(3)如圖3,在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P,若P到OA的距離為3cm,則P到OB的距離邊為3cm.××√CCC
如圖:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,F(xiàn)在AC上,BD=DF。求證:CF=EB分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.例題講解ACDEBF證明:∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,∠C=90°
∴DC=DE,∠DEB=∠C=90°在Rt△CDF和Rt△EDB中,DF=BDDC=DE∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=ED如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn).求證:EB=FC.ABCDEF課堂練習(xí)◆這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?課堂小結(jié)1、“作已知角的平分線”的尺
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