北師大版七年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理及典型例題

第一章整式一、整式的有關(guān)概念1、單項(xiàng)式:數(shù)與字母乘積，這樣的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。2、單項(xiàng)式的系數(shù):單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)。3、單項(xiàng)式的次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中所有的字母的指數(shù)和。4、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式。5、多項(xiàng)式的項(xiàng)及次數(shù)：組成多項(xiàng)式中的單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。6、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。（分母含有字母的代數(shù)式不是整式）練習(xí)一：（1）指出下列單項(xiàng)式的系數(shù)與指數(shù)各是多少。（2）指出下列多項(xiàng)式的次數(shù)及項(xiàng)。二、整式的運(yùn)算（一）整式的加減法：基本步驟：去括號(hào)，合并同類項(xiàng)。（二）整式的乘法1、同底數(shù)的冪相乘法則：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。數(shù)學(xué)符號(hào)表示：練習(xí)二：判斷下列各式是否正確。2、冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。數(shù)學(xué)符號(hào)表示：練習(xí)三：判斷下列各式是否正確。3、積的乘方法則：積的乘方，先把積中各因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（即等于積中各因式乘方的積。）符號(hào)表示：練習(xí)四：計(jì)算下列各式。4、同底數(shù)的冪相除法則：同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。數(shù)學(xué)符號(hào)表示：特別地：練習(xí)五：（1）判斷正誤（2）計(jì)算（3）用分?jǐn)?shù)或者小數(shù)表示下列各數(shù)5、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余的字母則連同它的指數(shù)不變，作為積的一個(gè)因式。練習(xí)六：計(jì)算下列各式。6、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式的去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。7、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。練習(xí)七：（1）計(jì)算下列各式。（2）計(jì)算下圖中陰影部分的面積8、平方差公式法則：兩數(shù)的各乘以這兩數(shù)的差，等于這兩數(shù)的平方差。數(shù)學(xué)符號(hào)表示：9、完全平方公式法則：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和再加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。數(shù)學(xué)符號(hào)表示：練習(xí)八：（1）判斷下列式子是否正確，并改正（2）計(jì)算下列式。 （二）整式的除法1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相除后，作為商的一個(gè)因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，就是多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去除單項(xiàng)式，再把所得的商相加。練習(xí)九：計(jì)算下列各題。三、綜合提升第二章平行線與相交線考點(diǎn)分析：本章的內(nèi)容考題涉及到填空選擇，說(shuō)理題會(huì)有一道！但不難，會(huì)結(jié)合第五章的內(nèi)容考核；分值10—15分余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角探索直線平行的條件余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角探索直線平行的條件探索直線平行的特征作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角相交線與平行線相交線平行線尺規(guī)作圖同位角內(nèi)錯(cuò)角同旁內(nèi)角同位角內(nèi)錯(cuò)角同旁內(nèi)角二、知識(shí)梳理：（一）角的大小關(guān)系：余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角的定義和性質(zhì)：1．余角的定義：如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角．2．補(bǔ)角的定義：如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．3．對(duì)頂角的定義：如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角．4．互為余角的有關(guān)性質(zhì)：①∠1＋∠2=90°，則∠1、∠2互余．反過(guò)來(lái)，若∠1，∠2互余．則∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，則∠2=∠3．5．互為補(bǔ)角的有關(guān)性質(zhì)：①若∠A+∠B=180○則∠A、∠B互補(bǔ)，反過(guò)來(lái)，若∠A、∠B互補(bǔ)，則∠A+∠B＝180○．②同角或等角的補(bǔ)角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，則∠B=∠C．6．對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（二）兩直線平行的判別和性質(zhì)：1．同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是：相交或平行．2．“三線八角”的識(shí)別：三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而成的八個(gè)角．正確認(rèn)識(shí)這八個(gè)角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同規(guī)”；內(nèi)錯(cuò)角要抓住“內(nèi)部，兩旁”；同旁內(nèi)角要抓住“內(nèi)部、同旁”．3．平行線的判別：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么．這兩條直線互相平行．（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（4）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等．那么這兩條直線平行。（5）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．備注：其中（3）、（4）、（5）這三種方法都是由角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）來(lái)確定直線的位置關(guān)系（平行）的，因此能否找到兩直線平行的條件，關(guān)鍵是能否正確地找到或識(shí)別出同位角，內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角．4．平行線的性質(zhì)：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。5．兩個(gè)幾何中最基本的尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段和作一個(gè)角等于已知角。bbanm23145三．基礎(chǔ)練習(xí)1、觀察右圖并填空：(1)∠1與是同位角;(2)∠5與是同旁內(nèi)角;(3)∠1與是內(nèi)錯(cuò)角;aablmn12342、當(dāng)圖中各角滿足下列條件時(shí),你能指出哪兩條直線平行?(1)∠1=∠4;(2)∠2=∠4;(3)∠1+∠3=180°;aabcd12343.如圖：∠1=100°∠2=80°，∠3=105°則∠4=_______4.兩條直線被第三條直線所截，則（）⌒⌒⌒⌒⌒⌒ABCD1432C內(nèi)錯(cuò)角相等D以上都不對(duì)5.如圖,若∠3=∠4，則∥；若AB∥CD,則∠=∠。圖1三、典型例題分析：圖1【例1】已知：∠A=30○，則∠A的補(bǔ)角是________度．解：150○點(diǎn)撥：此題考查了互為補(bǔ)角的性質(zhì)．【例2】如圖l，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，則下列結(jié)論中不正確的是（）圖2A．∠2=45○B(yǎng)．∠1=∠3圖2C．∠AOD與∠1互為補(bǔ)角D．∠1的余角等于75○30′解：D點(diǎn)撥：此題考查了互為余角，互為補(bǔ)角和對(duì)頂角之間的綜合運(yùn)用知識(shí)．【例3】如圖2，直線a∥b，則∠ACB＝________解：78○點(diǎn)撥：過(guò)點(diǎn)C作CD平行于a，因?yàn)閍∥b，所以CD∥b．則∠ACD＝28○，∠DCB=50○．所以∠ACB＝78○．【例4】如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG平分圖3∠BEF，交CD于點(diǎn)G，∠1=50○求，∠2的度數(shù)．圖3解：65○點(diǎn)撥：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因?yàn)镋G平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=EQ\F(1,2)∠BEF=65°（根據(jù)平行線的性質(zhì)）【例5】一學(xué)員在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車，若其兩次拐彎后仍沿原方向前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30○，第二次向右拐30○B(yǎng)．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○解：A點(diǎn)撥：本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題。要使經(jīng)過(guò)兩次拐彎后．汽車行駛的方向與原來(lái)的方向相同．就得保證原來(lái)，現(xiàn)在的行駛方向是兩條平行線且方向一致．本題旨在考查平行線的判定與空間觀念。解題時(shí)可根據(jù)選項(xiàng)中兩次拐彎的角度畫出汽車行駛的方向，再判定其是否相同，應(yīng)選A．【例6】如圖4，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F為垂足，G是AB上一點(diǎn)，且∠l=∠2．求證：∠AGD=∠ABC．圖4證明：因?yàn)锽D⊥AC，EF⊥AC．所以BD∥EF．所以∠3=∠1．因?yàn)椤?=∠2，所以∠2=∠3．所以GD∥BC．所以∠AGD=∠ABC．圖4點(diǎn)撥：審題時(shí)，根據(jù)分析，只看相關(guān)線段組成的圖形而不考慮其他部分，這樣就能避免圖形的其他部分干擾思路． 第三章生活中的數(shù)據(jù)考點(diǎn)分析：本章內(nèi)容以填空選擇為主，很少出現(xiàn)在大題；占5-10分值；一．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、知識(shí)點(diǎn)過(guò)關(guān)（1）百萬(wàn)分之一：對(duì)較小數(shù)據(jù)的感受，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值較小數(shù)及單位的換算如：1微米=米，1納米=米，4納米=微米=毫米=厘米=米，200千米的百萬(wàn)分之一是米，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為：_______；0.00000368=.（2）近似數(shù)和有效數(shù)字：一般地，通過(guò)測(cè)量的結(jié)果都是近似的.對(duì)于一個(gè)近似數(shù)從邊第個(gè)不是的數(shù)字起，到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字，如：0.03296精確到萬(wàn)分位是，有個(gè)有效數(shù)字，它們是.（3）世界新生兒圖：會(huì)從給出的信息圖中得到有用信息；會(huì)畫生動(dòng)形象的統(tǒng)計(jì)圖。三、典例剖析例1.按括號(hào)里的要求用四舍五入法對(duì)下列各數(shù)取近似值：(1)－3.19964(精確到千分位)；(2)560340(保留三個(gè)有效數(shù)字)；(3)5.306×105(精確到千位).例2.計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量的基本單位是字節(jié)，用b表示，計(jì)算中一般用Kb（千字節(jié)）或Mb（兆字節(jié)）或Gb（吉字節(jié)）作為存儲(chǔ)容量的計(jì)算單位，它們之間的關(guān)系為1Kb=210b，1Mb=210Kb，1Gb=210Mb．學(xué)校機(jī)房服務(wù)器的硬盤存儲(chǔ)容量為40Gb，它相當(dāng)于多少Kb？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示，并保留三個(gè)有效數(shù)字）例3.下表是1999年我國(guó)部分城市年平均氣溫統(tǒng)計(jì)情況．北京哈爾濱上海重慶西安烏魯木齊13.1℃4.8℃16.6℃18.4℃15.0℃8.0℃（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，制作統(tǒng)計(jì)圖表示這六個(gè)城市年平均氣溫情況，你的統(tǒng)計(jì)圖能畫得形象些嗎？（2）如果要利用面積分別表示這六個(gè)城市的年平均氣溫，六個(gè)城市所占的面積之比大約是多少？（利用計(jì)算器計(jì)算）第四章概率考點(diǎn)分析：本章內(nèi)容以填空選擇為主，偶爾出現(xiàn)在大題；占5-15分值；復(fù)習(xí)要求：會(huì)判定三類事件(必然事件、不可能事件、不確定事件)及三類事件發(fā)生可能性的大小（即概率），用圖來(lái)表示事件發(fā)生可能性的大小。圖示如右圖：即時(shí)練習(xí)：將下面事件的字母寫在最能代表它的概率的點(diǎn)上。A．投擲硬幣時(shí)，得到一個(gè)正面。B．在一小時(shí)內(nèi)，你步行可以走80千米。C．給你一個(gè)色子中，你擲出一個(gè)3。D．明天太陽(yáng)會(huì)升起來(lái)。（2）理解概率的意義，會(huì)計(jì)算摸球等一類事件的概率（3）會(huì)設(shè)計(jì)游戲使其滿足某些要求練習(xí)一：1、袋中裝有7個(gè)除了顏色不同外完全相同的球，其中2個(gè)白球，2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從中任意摸出一球，摸到白球的概率是P（白球）=第2題2、小貓?jiān)谌鐖D的地板上自由地走來(lái)走去，并停留在某塊方磚上，它最終停留在黑色方磚上的概率是多少？（圖中每一塊方磚除了顏色不同外完全相同）第2題3、請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，使某一事件的概率為。（提示：可用：轉(zhuǎn)盤、卡片、摸球等）第五章三角形考點(diǎn)分析：本冊(cè)書的考核重點(diǎn)涉及到填空、選擇、說(shuō)理題；說(shuō)明兩個(gè)三角形全等為必考；大家要好好復(fù)習(xí)本章哦！占15—20分值。其中結(jié)合了軸對(duì)稱的性質(zhì)的題目會(huì)稍稍有點(diǎn)難度，不過(guò)都是分小題來(lái)解決的，只要你一問(wèn)一問(wèn)來(lái)做，相信你是可以拿下的！加油！ABABCD（1）邊上的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊三角形的任意兩邊之差小于第三邊（2）角上的性質(zhì)：三角形三內(nèi)角和等于180度**另外：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，即∠ACD=∠A+∠B練習(xí)一：1、下列每組分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形嗎？（單位：厘米。填“能”或“不能”)①3，4，5（）②8，7，15（）③13，12，20（）④5，5，11（）2、在△ABC，AB＝5，BC＝9，那么＜AC＜___3、一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和8，而第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，那么第三邊長(zhǎng)是______4、已知一個(gè)等腰三角形的一邊是3cm，一邊是7cm，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是_________（第6題）（第7題）5、如上圖，∠1=60°，∠D=20°，則∠A=度6、如上圖，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，則∠B=度，∠C=度BCBCEA1、中線：線段AE是三角形BC邊上的中線__________________BCBCD12A線段AD是三角形∠BAC的角平分線.______________ABABCD線段AD是BC邊上的高_(dá)_________________BCBCEAD_______________直線DE是BC邊上的中垂線2)_________________練習(xí)二：1.如圖，在△ABC中,BE是邊AC上的中線。已知AB=4，AC=3，BE=5，則：AE=_______BCDFEABCDFEACBAE第1題第1題第3題第2題第3題第2題2.如圖,CE,CF分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,則∠ECF的度數(shù)=______度.3.如圖，AD、BF都是△ABC的高線，若∠CAD=30度，則∠CBF=______度。三、三角形全等的判定方法（1）邊邊邊公理（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（2）邊角邊公理（SAS）：兩邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（3）角邊角公理（ASA）：兩角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（4）角角邊公理（AAS）：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（5）斜邊、直角邊公理（HL，只適用于直角三角形）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。DCAB練習(xí)三：1如圖,已知AC平分∠BCD,要說(shuō)明△ABC≌△ADC,DCAB2、如圖AD=BC，要判定△ABC≌△CDA，還需要的條件是，并說(shuō)明理由。AABCD3、如圖,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,說(shuō)明∠EFD=∠BCA的理由。BBAFCDE4、能力提升：如圖:AC和DB相交于點(diǎn)O,若AB=DC，AC=DB，則∠B=∠C,請(qǐng)說(shuō)明理由.AACBOD四、角平分線的性質(zhì)：CACABP如圖，若點(diǎn)P是∠CAB的平分線上一點(diǎn)，并且PB⊥AB，PC⊥AC，則有_____________書寫格式:∵點(diǎn)P是∠CAB的平分線上一點(diǎn)，PB⊥AB，PC⊥AC，∴PC=PBBDEAC練習(xí)四：如圖,在△ABC中,AD是△BAC的角平分線，DE是△ABD的高線，∠C=90度。若DE=2，BDEACACOACOBl１、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。幾何表述：∴CA=CB∴CA=CB練習(xí)五：如下圖，EF是AB的中垂線，分別延長(zhǎng)BE、AE至D，C，使DE=CE，則AD與BC相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。第六章變量之間的關(guān)系考點(diǎn)分析：本章的內(nèi)容不會(huì)太難，以填空選擇考核為主，偶有實(shí)際問(wèn)題的解決（即應(yīng)用題）！占5—10分值；復(fù)習(xí)要求：能根據(jù)實(shí)際的例子理解自變量和因變量之間的定義。熟悉兩個(gè)變量之間關(guān)系的表示方法:表格法關(guān)系式法方法點(diǎn)撥：1、等號(hào)左邊是因變量。等號(hào)的右邊是含自變量的式子；2、已知自變量求因變量相當(dāng)于代數(shù)求值；已知因變量求自變量相當(dāng)于解方程圖像法速度時(shí)間eq\o\ac(○速度時(shí)間eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)Ｏ路程時(shí)間eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)Ｏ路程時(shí)間eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)汽車的汽車的“速度-時(shí)間”圖像eq\o\ac(○,1)表示汽車由靜止均加速運(yùn)動(dòng)eq\o\ac(○,2)表示汽車保持一定的速度運(yùn)動(dòng)eq\o\ac(○,3)表示汽車均減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)！汽車的“路程-時(shí)間”圖像eq\o\ac(○,1)表示汽車由靜止均速向前走eq\o\ac(○,2)表示汽車停止運(yùn)動(dòng)eq\o\ac(○,3)表示汽車均速往回走，回到起點(diǎn)。練習(xí)一：1.汽車速度與行駛時(shí)間之間的關(guān)系可以用圖象來(lái)表示，下圖中A、B、C、D四個(gè)圖象，可以分別用一句話來(lái)描述：（1）在某段時(shí)間里