張彤的自學(xué)報(bào)告

PAGEPAGE1上海大學(xué)2014～2015學(xué)年秋季學(xué)期本科生課程自學(xué)報(bào)告課程名稱：《概率論與隨機(jī)過程》課程編號：07275061題目:大數(shù)定理在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用學(xué)生姓名:張彤學(xué)號:12120899評語:成績:任課教師:馮國瑞評閱日期:

大數(shù)定理在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用2014年10月22日摘要：這是《概率論與隨機(jī)過程》課程的課外自學(xué)報(bào)告，本文主要是對自學(xué)內(nèi)容的總體小結(jié)，以及大數(shù)定理在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用實(shí)際案例分析。一自學(xué)內(nèi)容小結(jié)自學(xué)內(nèi)容主要包括兩方面，隨機(jī)變量和隨機(jī)過程中的隨機(jī)序列。隨機(jī)事件的研究從隨機(jī)變量開始，隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的數(shù)量表現(xiàn)，要完備的描述隨機(jī)變量就必須包括兩個(gè)方面，在不要求全面考察隨機(jī)變量的變化情況時(shí)，可研究隨機(jī)變量的一些數(shù)字特征。期望，方差，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等。但要比較全面的描述實(shí)際過程，就要研究隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。但是分布函數(shù)不易求得，于是我們引進(jìn)隨機(jī)變量的特征函數(shù)來求解概率密度函數(shù)。1.隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)實(shí)質(zhì)就是概率論的傅里葉變換，我們通過構(gòu)造特征函數(shù)，將陌生轉(zhuǎn)變成熟悉，能方便的展現(xiàn)隨機(jī)變量的分布,

利用特征函數(shù)的一些性質(zhì)，往往能使問題得到簡化，比如求分布的數(shù)學(xué)期望和方差等。求獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度函數(shù)時(shí)，特征函數(shù)是很有用的，它可以用來求隨機(jī)變量的矩。特征函數(shù)定義為：其實(shí)質(zhì)是概率密度函數(shù)的傅里葉變換。對應(yīng)聯(lián)合概率密度也有聯(lián)合特征函數(shù)。其性質(zhì)里面我認(rèn)為最有用的就是隨機(jī)變量的和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)的積，在求得新變量的特征函數(shù)后反演就得到新隨機(jī)變量的概率密度。進(jìn)而求得隨機(jī)變量的分布函數(shù)。其次是求矩公式，N階原點(diǎn)矩就對特征函數(shù)求N次導(dǎo)數(shù)。通過這個(gè)性質(zhì)可以很方便的求出方差。特征函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)之和。性質(zhì)2隨機(jī)變量X的n階原點(diǎn)矩可由其特征函數(shù)的n次導(dǎo)數(shù)求得。2.大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理（包括弱大數(shù)定理和伯努利大數(shù)定理）是確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即隨機(jī)變量的前一些項(xiàng)的算術(shù)平均值收斂于這些項(xiàng)的均值的算術(shù)平均值。大數(shù)定理論證了頻率的穩(wěn)定性，從而可以用一個(gè)數(shù)來表征事件發(fā)生的可能性大小，如多次拋硬幣后每次正反面的概率趨于0.5，在看似偶然的事件中顯示出規(guī)律。弱大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，….相互獨(dú)立，且具有相同的和，（k=1,2,……），則有：伯努利大數(shù)定理：設(shè)是是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A中發(fā)生的次數(shù)，p是A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則有：獨(dú)立同分布的中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，服從同一分布，和≠0，k=1,2,…,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足實(shí)際系統(tǒng)中，常會(huì)出現(xiàn)某些隨機(jī)變量是由大量（重復(fù)次數(shù)n很大）的互相獨(dú)立的隨機(jī)變量綜合影響而成的。大數(shù)定理告訴我們多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率可代替該事件發(fā)生的概率。由中心極限定理，若已知均值及其方差，當(dāng)抽取的n充分大時(shí)，其近似服從正態(tài)分布。這樣給我們提供了一個(gè)計(jì)算分析大量重復(fù)隨機(jī)變量的理論工具。在每次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果可能不同，但大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值，所以當(dāng)研究的是N次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)時(shí)，可以用事件發(fā)生的頻率代替事件發(fā)生的概率，這就是大數(shù)定理。而中心極限定理就是將一些原本不是正態(tài)分布的一般相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的總和的分布近似成正態(tài)分布。從而求得隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。這些相互獨(dú)立的隨機(jī)變量都對總體造成的影響很小。從中心極限定理，可以很明顯的感覺到正態(tài)分布的重要性。3.隨機(jī)序列及其統(tǒng)計(jì)特性所謂隨機(jī)序列就是將連續(xù)隨機(jī)過程進(jìn)行等間隔抽樣。因?yàn)樵趯?shí)際研究中，連續(xù)隨機(jī)過程處理起來很不方便，通過采樣既可以獲得我們要研究的內(nèi)容又可以減少工作量，就像數(shù)字信號處理也是這個(gè)道理。對隨機(jī)序列的研究過程也類似于連續(xù)隨機(jī)過程，不過要用數(shù)字特征的描述方法，所以引入了均值向量、自相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣。隨機(jī)過程的重要性，就是研究隨機(jī)序列的一些統(tǒng)計(jì)學(xué)特性，特別是“時(shí)相關(guān)”特性。隨機(jī)過程是依賴于時(shí)間t的一族隨機(jī)變量，而隨機(jī)序列是一種特殊的隨機(jī)過程，它是連續(xù)隨機(jī)過程在時(shí)間軸上抽樣生成。在我們數(shù)字信號處理過程中研究的就是隨機(jī)序列。一般用矩陣的形式表示隨機(jī)序列，一個(gè)N點(diǎn)的隨機(jī)序列可以看成是一個(gè)N維的隨機(jī)列向量，與分析隨機(jī)變量一樣，其數(shù)字特征有均值，自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)等。其中均值表示隨機(jī)過程的全部樣本在同一時(shí)刻(n點(diǎn))隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值。自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)表示同一隨機(jī)序列在不同時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)程度和偏離中心值的關(guān)聯(lián)程，互相關(guān)和互協(xié)方差表示的是兩個(gè)隨機(jī)序列在不同時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)程度和不同時(shí)刻取值偏離中心值的關(guān)聯(lián)程度。其中任何獨(dú)立隨機(jī)序列的協(xié)方差矩陣均為對角陣，對角元素為隨機(jī)序列的方差。4.隨機(jī)序列的功率譜密度對隨機(jī)過程的頻域分析，只能引入功率譜密度，因?yàn)殡S機(jī)過程的樣本函數(shù)的總能量在時(shí)間軸上無限，不滿足傅氏變換的絕對可積條件，但其平均功率是有限值。所以討論平均功率。隨機(jī)序列的功率譜密度定義為： 它是以2為周期的函數(shù)，其描述了信號功率在各個(gè)不同頻率上的分布情況。任何直流分量和周期分量在頻域上都表現(xiàn)為頻率軸上某點(diǎn)的零帶寬內(nèi)的有限功率，都會(huì)在頻域的相應(yīng)位置上產(chǎn)生離散頻譜；而在零帶寬上的有限功率等于無限的功率譜密度。借助δ函數(shù)，維納-辛欽定理可推廣至含有直流或周期性成分的平穩(wěn)過程中去。隨機(jī)序列x(n)的功率譜密度函數(shù)與其的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)傅氏變換對。功率譜密度也是從頻率角度描述統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征，在學(xué)完功率譜密度我可以有兩種計(jì)算隨機(jī)過程平均功率的方法，求均方值和對功率譜密度的在內(nèi)奎斯特區(qū)間上的積分。這也可以理解成自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。不過我們主要關(guān)注其在奈奎斯特間隔上的值。我覺得這一方面的應(yīng)用主要在于分析信號功率的分布，根據(jù)主要功率集中在哪個(gè)頻段，便可確定信號帶寬，從而考慮信道帶寬和傳輸網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)等等。5.隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)實(shí)際通信系統(tǒng)運(yùn)用中，經(jīng)常會(huì)處理信號通過離散線性系統(tǒng)的響應(yīng)問題。典型的，我們可以探討當(dāng)一個(gè)隨即序列通過數(shù)字濾波器（離散線性系統(tǒng)）后自相關(guān)函數(shù)及功率譜的變化，再通過自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)得到相應(yīng)的各數(shù)字特征變化。隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)后輸出隨機(jī)序列的方差減小，即輸出值出現(xiàn)在均值附近的可能性增大。這一特點(diǎn)在信號處理方面有重要的應(yīng)用價(jià)值，例如當(dāng)隨機(jī)噪聲與信號通過系統(tǒng)后噪聲的功率減小，提高了信噪比，也就是有了去噪的效果。見下圖。當(dāng)一均勻分布的隨機(jī)序列通過平均器后，輸出序列和輸入序列的期望相等，而其方差減小為輸入序列的一半，表明通過平均器的隨機(jī)序列圍繞均值的起伏減少，分布更加集中。這一特性用于增加3dB的信噪比。q階非遞歸濾波器一階遞歸濾波器當(dāng)0當(dāng)當(dāng)k>0當(dāng)k=0二專題應(yīng)用范例大數(shù)定理在誤差方面的應(yīng)用問題描述：某種儀器測量已知量A時(shí)，設(shè)n次獨(dú)立得到的測量數(shù)據(jù)為如果儀器無系統(tǒng)誤差，問：當(dāng)n充分大時(shí)，是否可取作為儀器測量誤差的方差的近似值？原理：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸趨于某常數(shù)。大量測量值的算術(shù)平均值，隨測量次數(shù)的增加也具有穩(wěn)定性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，可用事件發(fā)生的頻率代替事件的概率。根據(jù)大數(shù)定律,對于隨機(jī)誤差,應(yīng)有.這說明當(dāng)測量次數(shù)較多時(shí),實(shí)測數(shù)據(jù)的平均值和預(yù)測真值的差值能以很大概率趨于0,因此,用求樣本數(shù)據(jù)平均值的方法來進(jìn)行測量是可行的.分析：把視作n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量(i=1,2,?,n)的觀察值,則儀器第i次測量的誤差的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：設(shè),i=l,2,?,n,則也相互獨(dú)立服從同一分布。在儀器無系統(tǒng)誤差時(shí),即有（i=1,2…n）由切比雪夫定律,可得：即從而確定,當(dāng)時(shí),隨機(jī)變量依概率收斂于,即當(dāng)n充分大時(shí),可以取作為儀器測量誤差的方差.大數(shù)定律在生活中還有許許多多的應(yīng)用，其中一個(gè)重要應(yīng)用是在保險(xiǎn)學(xué)方面.基本原理是一系列相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值幾乎恒等于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)就是它的數(shù)學(xué)期望,或者說一系列相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值依概率收斂于它的數(shù)學(xué)期望.可以廣泛應(yīng)用于保險(xiǎn)精算、資源配置等方面.參考文獻(xiàn)