遼寧省朝陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年度朝陽(yáng)市高一年級(jí)十月考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題本試卷共4頁(yè)，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列說(shuō)法正確的有（）①；②；③；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下列命題正確的序號(hào)是（）①與表示同一個(gè)集合；②由1，2，3組成的集合訂表示為或；③方程的所有解的集合可表示為；④集合可以用列舉法表示．A．①④ B．② C．②③ D．①②③④3．若集合，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題；②命題“，”是全稱量詞命題；③命題“，”是真命題；④命題“有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)”是真命題．A．0 B．1 C．2 D．36．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．那么下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若，，且滿足，則的最小值是（）A．10 B．12 C．14 D．16二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．10．由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每十個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）A．，是一個(gè)戴德金分割B．沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素11．設(shè)，為正實(shí)數(shù)，則下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則12．下列各選項(xiàng)中最大值是的是（）A． B．C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．不等式的解集是__________．14．已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．15．已知命題，是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．若對(duì)任意，使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知，集合，，．（1）求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（本小題滿分12分）已知命題，使，命題．（1）寫(xiě)出；（2）若命題，，一真一假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿分12分）已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（本小題滿分12分）已知，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．21．（本小題滿分12分）某企業(yè)研發(fā)部原有100名技術(shù)人員，年人均投入60萬(wàn)元，現(xiàn)將這100名技術(shù)人員分成兩部分：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元．（1）要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多為多少人？（2）若技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，研發(fā)人員的年總投入必須始終不低于技術(shù)人員的年總投入，求出正整數(shù)的最大值．22．（本小題滿分12分）（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式；（3）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．參考答案及解析高一數(shù)學(xué)一、選擇題1．A【解析】是有理數(shù)，故①正確；不是正整數(shù)，故②錯(cuò)誤；不是自然數(shù)，故③錯(cuò)誤；不是有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；是整數(shù)，故⑤錯(cuò)誤．故正確的有1個(gè)．故選A．2．B【解析】由于“0”是元素，而“”表示含一個(gè)元素0的集合，而不含任何元素，所以①不正確；根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知②正確；根據(jù)集合元素的互異性可知③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由于該集合為無(wú)限集且無(wú)明顯的規(guī)律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確．綜上可得只有②正確．故選B．3．A【解析】由，可得，解得，因?yàn)椋允恰啊钡某浞植槐匾獥l件．故選A．4．D【解析】因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以存在，使得不等式成立，令，，因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，所以．故選D．5．D【解析】①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，所以①正確；②命題“，”是全稱量詞命題，所以②正確；③命題“，”是假命題，所以③不正確；④命題“有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)”是真命題，如2，所以④正確．故選D．6．D【解析】當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；令，，滿足，但，故B錯(cuò)誤；令，，滿足，但，故C錯(cuò)誤；若，則，即，故D正確．故選D．7．A【解析】由命題“，”為真命題，即不等式在上恒成立，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的最小值大于，所以．故選A．8．C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是14．故選C．二、選擇題9．AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，空集是任意集合的子集，故，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，兩個(gè)集合所研究的對(duì)象不同，故，為不同集合，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故D錯(cuò)誤．故選AB．10．BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則滿足戴德金分割，此時(shí)沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素0，故B正確；對(duì)于C，若有一個(gè)最大元素，設(shè)為，有一個(gè)最小元素，設(shè)為，則，則，，而內(nèi)也有有理數(shù)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則滿足戴德金分割，此時(shí)沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素，故D正確．故選BD．11．BD【解析】對(duì)于A，取，，則，但，所以A為假命題；對(duì)于B，由，為正實(shí)數(shù)，，故．若，則，這與矛盾，故成立，所以B為真命題；對(duì)于C，取，，則，但不成立，所以C為假命題；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，即，所以D為真命題．故選BD．12．BC【解析】（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），因此函數(shù)無(wú)最大值，A不符合題意；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B符合題意；時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C符合題意；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），D不符合題意．故選BC．三、填空題13．【解析】由題設(shè)，，，可得，原不等式的解集為．故答案為．14．5【解析】①時(shí)，，1，2，，，；②時(shí)，，1，2，，0，；③時(shí)，，1，2，，1，0．所以，共5個(gè)元素．故答案為5．15．【解析】命題，是假命題，即“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，要使成立，必須有解得．故答案為．16．【解析】因?yàn)閷?duì)任意，，即恒成立，只需滿足，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為．四、解答題17．解：（1），，．又，．（5分）（2）若，則需或，解得或．（10分）18．解：（1），．（4分）（2）若是真命題，得，所以．若為真命題，為假命題，則得；（8分）若為假命題，為真命題，則得．所以，的取值范圍為．（12分）19．解：（1）①當(dāng)時(shí)，如圖所示，或解得．（4分）②當(dāng)時(shí)，由，得．綜上可得，的取值范圍是．（6分）（2）當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)．即不存在．即不存在實(shí)數(shù)使．（12分）20．解：（1）當(dāng)時(shí)，可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8．（6分）（2）當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16．（12分）21．解：（1）依題意得，解得，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人．（5分）（2）由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有：，得，故有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故正整數(shù)