人教版九年級數(shù)學上冊 （圓周角）圓 教學課件

24.1.4

圓周角

圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.圓周角：頂點在圓上，并且角兩邊都和圓相交.圓心角:頂點在圓心的角.例題如圖24－1－28，點A，B，C是⊙O上的三點，已知∠AOB＝100°，那么∠ACB的度數(shù)是()30°40° 50° 60°練習如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（）.A.50°B.80°C.90°D.100°ACBO圓周角定理推論1半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.例題如圖24－1－32，BC是⊙O的直徑，點A是⊙O上異于B，C的一點，則∠A的度數(shù)為(

)60°

70°

80°

90°練習如圖，⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，∠ABC=30°，則AC的長是()A．1 B．C．D．2OABC圓周角定理推論2同弧或等弧所對的圓周角相等.在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

例題如圖24－1－36，經(jīng)過原點O的⊙P與x，y軸分別交于A，B兩點，點C是劣弧OB上一點，則∠ACB＝()A.80°B.90°C.100°D.無法確定練習如圖24－1－37，在⊙O中，直徑CD⊥弦AB，則下列結論正確的是()A.AC＝AB

B.∠C＝∠BOD

C.∠C＝∠B

D.∠A＝∠BOD圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角互補.例題如圖24－1－40，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠DAB＝60°，則∠BCD的度數(shù)是()A.60°B.90°C.100°D.120°練習如圖24－1－41，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠D＝140°，則∠AOC的大小是()A.80°B.100°C.60°D.40°小結1.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.（提示：作出以這條邊為直徑的圓）已知：如圖△ABC中，CO為AB邊上的中線，CO=AB求證：△ABC為直角三角形.·ABCO2.如圖24－1－30，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分半徑OA，則∠ABC的大小為

度.3.如圖24－1－31所示，AB是⊙O的直徑，弦CD∥AB.若∠ABD＝65°，則∠ADC＝

.4.如圖24－1－35所示，在⊙O中，AB是直徑，弦AC＝12cm，BC＝16cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求AD的長.5.如圖24－1－38，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O上的點，則∠BDC＝

，∠ADC＝

.6.如圖24－1－39所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BOD＝88°，則∠BCD的度數(shù)是()A.88°B.92°C.106°D.136°7.如圖24－1－42，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，點E在DC的延長線上.若∠A＝50°，則∠BCE＝

.24.1.4圓周角R·九年級上冊

新課導入如圖，把圓心角∠AOB的頂點O拉到圓上，得到∠ACB.問題1：∠ACB有什么特點？它與∠AOB有何異同？問題2：你能仿照圓心角的定義給∠ACB取一個名字并下定義嗎？ABOC(1)知道什么是圓周角，并能從圖形中準確識別它.(2)探究并掌握圓周角定理及其推論.(3)體會“由特殊到一般”“分類”“化歸”等數(shù)學思想.推進新課知識點1圓周角的定義及圓周角定理1.圓心角的定義?頂點在圓心的角叫圓心角.ABOC2.圖中∠ACB的頂點和邊有哪些特點？

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．圖中圓周角∠ACB和圓心角∠AOB有怎樣的關系？ABOC探究先猜一猜，再用量角器量一量.（1）在圓上任取BC，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，圓心角與圓周角有幾種位置關系？BCOABCOABCOA⌒（2）如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？第一種情況：BCOA∵

OA=OC，∴∠A=∠C．

又∵∠BOC=∠A+∠C，∴證明：證明：如圖，連接AO并延長交⊙O于點D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，第二種情況：BCOA同理，∴∴D請同學們自己完成證明.BCOA第三種情況：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．圓周角定理：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝50°，則∠A等于()A.40°B.50°C.60°D.70°【對應訓練】解析：⊙O是△ABC的外接圓，OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，∠A=∠BOC=×80°=40°.A在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應的其余兩個量都分別相等.

上節(jié)課我們學習了一個反映圓心角、弧、弦三個量之間關系的一個結論，這個結論是什么？ABOC那么，圓周角與弧、弦有什么關系嗎？知識點2圓周角定理的推論根據(jù)圓周角定理可知，同弧所對的圓周角相等．ADBCO∴同?。骸螧AC與∠BDC同BC，∠BAC與∠BDC有什么關系？⌒證明：.如圖，作出兩弧所對應的圓心角.根據(jù)圓周角定理可知，等弧所對的圓周角相等．∴等?。篈DBCOEBC=CE，∠BDC與∠CAE有什么關系？⌒⌒又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.⌒⌒∠BDC=∠CAE同弧或等弧所對的圓周角相等．推論1：

顯然，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對應的弧相等，所對應的弦也相等.下列說法是否正確，為什么？“在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角相等”.DBCOE.一條弦所對應的圓周角有兩個.這兩個角有什么關系嗎？如圖所示，連接BO、EO.顯然，∠C與∠D所對應的圓心角和為

，所以根據(jù)圓周角定理可知∠C+∠D=

.360°180°在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角可能相等，也可能互補.半圓（或直徑）所對的圓周角有什么特殊性？C1AOBC2C3思考所對應的圓心角為

，則對應的圓周角為

.180°90°半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.推論2：例4如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，

ACB的平分線交⊙O于點

D，求BC，AD，BD的長．解：連接OD.

ACBDO∵AB是⊙O的直徑，∴

ACB=

ADB=90°．在Rt△ABC中，

106ACBDO106∵

CD

平分

ACB，∴

ACD=

BCD，∴

AOD=

BOD．∴

AD=BD．在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，∴

AD=BD=

=（cm）．8如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.知識點3圓內(nèi)接多邊形ABCDO如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的四個角之間有什么關系？思考ABCDO∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°圓內(nèi)接四邊形的對角

.

互補隨堂演練基礎鞏固1.下列四個圖中，∠x是圓周角的是()C2.如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于E點，且∠A=40°，∠AED=75°，則∠B=()A.15°B.40°C.5°D.35°D3.如圖，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，且∠BAC=40°，則∠BOD=

.4.如圖，點B、A、C都在⊙O上,∠BOA＝110°，則∠BCA＝

.80°125°5.如圖，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度數(shù)．解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.如圖，⊙O的半徑為1，A,B,C是⊙O上的三個點，且∠ACB=45°，求弦AB的長.解：連接OA、OB.∵∠ACB=45°,∴∠BOA=2∠ACB=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.7.如圖，A,P,B,C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀并證明你的結論.解：△ABC是等邊三角形.證明如下：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形.8.如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．證明：∵∠A+∠BCD=180°,

∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.9.如圖，已知EF是⊙O的直徑，把∠A為60°的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在直線EF上，斜邊AB與⊙O交于點P，點B與點O重合；將三角形ABC沿OE方向平移，使得點B與點E重合為止．設∠POF=x°，則x的取值范圍是