人教版九年級數(shù)學(xué)下冊 （相似三角形應(yīng)用舉例）相似教育教學(xué)課件

第二十七章相似27.2相似三角形相似三角形應(yīng)用舉例

1.能夠利用相似三角形的知識，求出不能直接測量的物體的高度和寬度.(重點)2.進一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高分析問題、解決問題的能力.(難點)上海中心大廈四川樂山大佛黃河今天我們就來學(xué)習(xí)利用相似三角形可以解決一些不能直接測量的物體的高度及兩物之間的距離問題.知識點1建筑物高度測量

例1

據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.解：太陽光是平行的光線，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴=134(m).因此金字塔的高度為134m.表達式：物1高：物2高=影1長：影2長

測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.方法總結(jié)：

小明身高1.5米，在操場的影長為2米，同時測得教學(xué)大樓在操場的影長為60米，則教學(xué)大樓的高度應(yīng)為()A.45米B.40米

C.90米

D.80米A知識點2河流寬度的測量

例2如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R。已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算河寬PQ。解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.∴即

，,

PQ×90=（PQ+45）×60.

解得PQ=90（m）.因此，河寬大約為90m.

測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.方法總結(jié)：如圖，為了測量水塘邊A、B兩點之間的距離，在可以看到A、B的點E處，取AE、BE延長線上的C、D兩點，使得CD∥AB.若測得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，則A、B兩點間的距離為

m.ABEDC20知識點3有遮擋物問題

例3如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個人估計自己眼睛距離地面1.6m，她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就看不到右邊較高的樹的頂端C了?分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點)為點F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點H，K.視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點A的仰角.類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就根本看不到C點了.

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E

與兩棵樹的頂端點A，C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.即解得：EH=8（m)

已知零件的外徑為25cm，要求它的厚度x，需先求出它的內(nèi)孔直徑AB，現(xiàn)用一個交叉卡鉗（AC和BD的長相等）去量（如圖），若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度.

而∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD.

又∵CD=7cm，∴AB=21cm.由題意和圖易知25-2x=21,∴x=2(cm).∴此零件的厚度為2cm.練習(xí)1在某一時刻，測得一根長為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一棟高樓的影長為90m，這棟高樓的高度為多少？x=54m解:設(shè)這棟高樓的高度為x.練習(xí)2如圖，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB。解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.

練習(xí)3

如圖，某一時刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m，在墻面上的影長CD為2m．同一時刻，小明又測得豎立于地面長1m的標桿的影長為1.2m．請幫助小明求出旗桿的高度．ABCD解：如圖：過點D作DE∥BC，交AB于點E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時刻物高與影長成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，∴學(xué)校旗桿的高度為10m.ABCD相似三角形應(yīng)用舉例：建筑物高度的測量:河流寬度的測量:有遮擋物的問題表達式：物1高：物2高=影1長：影2長正投影

正投影如圖，在平行投影中，當(dāng)投影線垂直于投影面時，形成的投影具有什么性質(zhì)呢？投影線垂直于投影面

1.正投影的定義正投影投影線垂直于投影面照射時，物體產(chǎn)生的投影叫做正投影.投影線垂直于投影面投影線斜射投影面（1）物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關(guān).（2）當(dāng)物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.

2.正投影的性質(zhì)①②③物體的面與投影相同物體的面與投影不同

分析：幾何體在平面內(nèi)的正投影與投影面的大小無關(guān)，所以③錯誤.幾何體的形狀不同，其正投影一般也不同，所以①正確.

幾何體與投影面的位置關(guān)系不同，其正投影也不同，所以②正確.【例題2】如圖，是一個圓錐在平面上的正投影，則該圓錐的側(cè)面積______分析：圓錐側(cè)面展開圖

扇形弧長半徑圓錐底面圓周長圓錐母線長

分析：

解：

1.如圖所示，右面水杯的杯口與投影面平行，投影線的方向如箭頭所示，它的正投影圖是（）2.底面與投影面垂直的圓錐體的正投影是____________

．等腰三角形

②4.平行于投影面的平行四邊形的面積與它的正投影的面積的大小關(guān)系是__________