專題幾何法求解空間角及點(diǎn)到面的距離解析版

專項(xiàng)03幾何法求解空間角及點(diǎn)到面的距離題型一、異面直線的夾角1、在正方體中，與相交于點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（）A． B． C． D．答案：A解析：連結(jié)，，是異面直線與所成角或補(bǔ)角，由此運(yùn)用余弦定理能求出成果.詳解：連結(jié)，∵，∴是異面直線與所成角或補(bǔ)角，設(shè)正方體中棱長為2，則，，，∴，∴．∴異面直線與所成角的大小為，故選：A.2、如圖，已知圓柱的軸截面是正方形，C是圓柱下底面弧的中點(diǎn)，是圓柱上底面弧的中點(diǎn)，那么異面直線與所成角的正切值為_______________.【答案】【解析】取圓柱下底面弧的另一中點(diǎn)，連接，則由于C是圓柱下底面弧的中點(diǎn)，因此，因此直線與所成角等于異面直線與所成角.由于是圓柱上底面弧的中點(diǎn)，因此圓柱下底面，因此.由于圓柱的軸截面是正方形，因此，因此直線與所成角的正切值為.因此異面直線與所成角的正切值為.故答案為:.3、如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角?！敬鸢浮俊窘馕觥渴菆A的直徑，.∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，.在中，分別為的中點(diǎn)，，與所成的角為.故答案為：4、如圖，在正四周體中，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是.【答案】【解析】如圖，連接取其中點(diǎn)，連接，∵是中點(diǎn)，∴，∴異面直線AN，CM所成的角就是（或其補(bǔ)角），設(shè)正四周體的棱長為1，則，，在中，，在中，．異面直線AN，CM所成的角的余弦值為．二、線面角1、面外一點(diǎn)P，兩兩互相垂直，過的中點(diǎn)D作面，且，連，多面體的體積是．（1）畫出面與面的交線，闡明理由；（2）求與面所成的角正切值．答案：（1）直線BC即為面與面的交線，理由見解析；（2）.試題分析：（1）延長PE交AC于點(diǎn)F，可證F與C重疊，故直線BC即為面與面的交線；（2）連接AE，則為所需求的角，根據(jù)棱錐的體積計(jì)算AB，運(yùn)用勾股定理計(jì)算AE，則.詳解：（1）延長PE交AC于點(diǎn)F，直線BC即為面與面的交線，理由以下：，且平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，又平面，，D為AC的中點(diǎn)，且，平面，平面，，,，，因此，D為AC的中點(diǎn)，且，，則F與C重疊，平面PBE，平面ABC，是平面PBE與平面ABC的公共點(diǎn)，又B是平面PBE與平面ABC的公共點(diǎn)，BC是平面PBE與平面ABC的交線；（2）平面APC，平面APC，平面APC，，解得，，，與面所成的角正切值為.2、如圖，在四棱錐中中，，，，，是正三角形.（1）求證：；（2）求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：∵是正三角形，，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴；（2）設(shè)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)H，連接.∵是正三角形，∴，由（1）得平面，∴平面平面，∴平面，∴與平面所成角為，∵，∴∴∴與平面所成角的余弦值3、等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1）．將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、（如圖2）．（1）求證：平面；（2）在線段上與否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請(qǐng)闡明理由．答案：（1）證明見解析；（2）存在，.試題分析：（1）等邊中，依題意可得，由余弦定理算出，從而得到，因此．結(jié)合題意得平面平面，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，可證出平面；（2）作于點(diǎn)，連接、，由平面得，因此平面，可得是直線與平面所成的角，即．設(shè)，分別在△、△和△中運(yùn)用三角函數(shù)定義和勾股定理，建立等量關(guān)系得，解之得，從而得到在上存在點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為．詳解：證明：（1）由于，，．由余弦定理得．由于，因此．折疊后有．由于二面角是直二面角，因此平面平面．又平面平面，平面，，因此平面．（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為．如圖，作于點(diǎn)，連結(jié)、．由（1）有平面，而平面，因此．又，因此平面．因此是直線與平面所成的角．設(shè)，則，在中，，因此．在中，，．由，得．解得，滿足，符合題意．因此在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為，此時(shí)．二面角1、如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，平面平面且.（1）求證：；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，則，由于平面平面，平面平面，平面，則平面，因此，又由于，則平面平面，則.（2）過作交于點(diǎn)，由（1）知，，因此平面，平面，則，所覺得二面角的平面角.由于三角形為等邊三角形，令，則，，則.2、如圖，在四棱錐中，底面，是邊長為的正方形．且，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的大?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）.【解析】（1）由題意，底面是正方形，.底面，平面，.，平面.平面，.又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，平面.平面，；（2）過引直線，使得，則，平面，平面，就是平面與平面所成二面角的棱．由條件知，，，已知，則平面．由作法知，則平面，因此，，就是平面與平面所成銳二面角的平面角．在中，，平面與平面所成銳二面角的大小等于．3、如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面．（1）證明：；（2）若，，，求二面角的余弦值．答案：（1）證明見解析；（2）．試題分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知，根據(jù)線面垂直性質(zhì)可得，由線面垂直的鑒定定理可知平面；由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論.（2）作，由線面垂直的鑒定可證得平面，進(jìn)而得到；根據(jù)二面角平面角的定義可知即為所求二面角的平面角；在中，運(yùn)用長度關(guān)系求得成果.詳解：（1）連接四邊形為菱形，且平面，平面平面，平面平面（2）作，垂足為，連接四邊形為菱形，為等邊三角形又，平面，平面又，平面，平面平面二面角的平面角為，為中點(diǎn)二面角的余弦值為4、如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn).（1）在棱上取一點(diǎn)使直線∥平面并證明；（2）在（1）的條件下，當(dāng)棱上存在一點(diǎn)，使得直線與底面所成角為時(shí)，求二面角的余弦值.答案：（1）上取中點(diǎn)，證明見詳解；（2）試題分析：（1）找上取中點(diǎn)，由線線平行推證線面平行；（2）根據(jù)線面角的大小找到棱長的等量關(guān)系，再根據(jù)三垂線定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.【詳解】（1）在上取中點(diǎn)，在上取中點(diǎn)，連接，作圖以下：由于平行且等于，平行且等于，因此平行且等于，因此四邊形是平行四邊形，因此∥.直線，，因此∥平面.（2）取中點(diǎn)，連接，由于為正三角形∴又∵平面平面，平面平面∴平面，連接，四邊形為正方形?！咂矫?，∴平面平面而平面平面過作，垂足為∴平面∴為與平面所成角，∴在中，，∴，設(shè)，，，∴，∴在中，，∴∴，，過點(diǎn)H作HN垂直于CD，垂足為N，連接MN，HN由于MH平面ABCD,則即為所求二面角的平面角,在中，由于，HN=FC=，由勾股定理解得故故二面角的余弦值為點(diǎn)到面的距離1、在三棱錐中，，，平面平面，點(diǎn)在棱上.（1）若為的中點(diǎn)，證明：.（2）若三棱錐的體積為，求到平面的距離.答案：（1）見解析；（2）試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)，得到，由平面平面，得到平面，，再運(yùn)用，得到，根據(jù)為的中點(diǎn)證明.（2）由（1）得到，根據(jù)三棱錐的體積為，得到，再由等體積法求解.詳解：（1）如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，，由于，因此.又由于平面平面，且相交于，因此平面，因此.由于，因此，因此，因此，因此，且為的中點(diǎn)，因此.（2），因此.在中，，設(shè)到平面的距離為，則，解得.因此到平面的距離為.2、如圖，在四周體ABCD中，，，，且．（1）證明：平面平面BCD；（2）求點(diǎn)D到平面ABC的距離．答案：（1）證明見解析；（2）.試題分析：（1）取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，易知AE⊥BD，而BD⊥AC，由線面垂直的鑒定定理與性質(zhì)定理可分別得到BD⊥平面ACE，BD⊥CE；再在△ABD和△BCD中，通過勾股定理可求得AE＝CE＝4，從而推出AE⊥CE；最后由線面垂直的鑒定定理和面面垂直的鑒定定理即可得證．（2）由（1）知，AE⊥平面BCD，且AE＝4，根據(jù)VA﹣BCD＝？S△BCD？AE可求得四周體ABCD的體積，再結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式可求得S△ABC，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，由等體積法VD﹣ABC＝VA﹣BCD，求出h的值即可得解．詳解：（1）證明：取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，∵AB＝AD，∴AE⊥BD，又∵BD⊥AC，AE∩AC＝A，AE、AC平面ACE，∴BD⊥平面ACE，∵CE平面ACE，∴BD⊥CE．∵AB＝BC＝5，BE＝BD＝3，∴AE＝＝4，CE＝＝4，∵AC＝，∴AC2＝AE2+CE2，即AE⊥CE，∵AE⊥BD，CE∩BD＝E，CE、BD平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．（2）在△BCD中，BD＝6，CE＝4，且CE⊥BD，∴S△BCD＝×BD×CE＝12.由（1）知，AE⊥平面BCD，且AE＝4，∴三棱錐A﹣BCD的體積VA﹣BCD＝？S△BCD？AE＝×12×4＝16，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，∴S△ABC＝×AC×＝.設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，∵VD﹣ABC＝VA﹣BCD，∴×h×S△ABC＝VA﹣BCD，即×h×＝16，解得h＝．故點(diǎn)D到平面ABC的距離為．3、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，，是的中點(diǎn)，，垂足為.（1）證明：平面.（2）求三棱錐的體積.答案：（1）詳見解析；（2）.試題分析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)H，連接EH，可證出，進(jìn)而得出平面即可；（2）先證，又，因此可證平面，因此CF就是三棱錐的高，分別求得線段AE，EF，CF的長度，最后根據(jù)棱錐體積公式計(jì)算即可得解.詳解：（1）以下圖，連接BD交AC于點(diǎn)H，連接EH，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)，因此，又平面，因此平面；（2）由于，因此平面PAB，又平面PAB，因此，由于，且是的中點(diǎn)，因此，且，由于，因此平面，又平面，因此，由于，且，因此平面，在中，，，則，由于，因此，則，，故三棱錐的體積為.強(qiáng)化訓(xùn)練1．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為_________________.【答案】【解析】連接,則異面直線與所成角為與所成角即.又,.故，故答案為：2．已知正四棱柱中，，E為中點(diǎn)，則異面直線BE與所成角的余弦值為?！敬鸢浮俊窘馕觥科揭瞥扇切斡糜嘞叶ɡ斫?，或建立坐標(biāo)系解，注意線線角不不小于.取DD1中點(diǎn)F，則為所求角,.3、如圖，平面四邊形中，，是，中點(diǎn)，，，，將沿對(duì)角線折起至，使平面，則四周體中，下列結(jié)論不對(duì)的的是（）A．平面B．異面直線與所成的角為C．異面直線與所成的角為D．直線與平面所成的角為答案：C解析：運(yùn)用線面平行的鑒定定理可判斷A；由面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合異面直線所成角可判斷B；由異面直線所成角和勾股定理的逆定理可判斷C；由線面角的求法，可判斷D．【詳解】對(duì)于A：由于，是，中點(diǎn)，因此，即平面，平面，故A對(duì)的；對(duì)于B：由于平面平面，交線為，且，因此平面，即，故異面直線與所成的角為，故B對(duì)的；對(duì)于C：取邊中點(diǎn)，連接，，如圖：則，所覺得異面直線與所成角，又，，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連接，可得，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，連接，可得為與平面所成角，由，則直線與平面所成的角為，故D對(duì)的.故選：C.4、已知六棱錐的底面是正六邊形，平面ABC，.則下列命題中對(duì)的的有（）①平面平面PAE；②；③直線CD與PF所成角的余弦值為；④直線PD與平面ABC所成的角為45°；⑤平面PAE.A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤答案：B解析：①要判斷面面垂直，需先判斷與否有線面垂直，根據(jù)線線，線面的垂直關(guān)系判斷；②由條件可知若，可推出平面，則，判斷與否有矛盾；③異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，即根據(jù)，轉(zhuǎn)化為求；④根據(jù)線面角的定義直接求解；⑤若平面，則，由正六邊形的性質(zhì)判斷與否有矛盾.詳解：∵平面ABC，∴，在正六邊形ABCDEF中，，，∴平面PAE，且面PAB，∴平面平面PAE，故①成立；由條件可知若，平面，則，，可推出平面，則，這與不垂直矛盾，故②不成立；∵，直線CD與PF所成角為，在中，，∴，∴③成立.在中，，∴，故④成立.若平面，平面平面則，這與不平行矛盾，故⑤不成立.因此對(duì)的的是①③④故選：B5、如圖，矩形中，，E為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成（平面）.若M、O分別為線段、的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．與平面垂直的直線必與直線垂直；B．異面直線與所成角是定值；C．一定存在某個(gè)位置，使；D．三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值；答案：C解析：對(duì)A，由面面平行可知對(duì)的；對(duì)B，取的中點(diǎn)為，作出異面直線所成的角，并證明為定值；對(duì)C，運(yùn)用反證法證明，與已知矛盾；對(duì)D，擬定為三棱錐的外接球球心，即可得證.詳解：取中點(diǎn)，連接.為的中點(diǎn)，.又為的中點(diǎn)，且，∴四邊形為平行四邊形，.，∴平面平面平面，∴與平面垂直的直線必與直線垂直，故A對(duì)的.取的中點(diǎn)為，連接，則且，∴四邊形是平行四邊形，，為異面直線與所成的角.設(shè)，則，，，故異面直線與所成的角為定值，故B對(duì)的.連接.為等腰直角三角形且為斜邊中點(diǎn)，.若，則平面，又，.又平面，，與已知矛盾，故C錯(cuò)誤.，為三棱錐的外接球球心，又為定值，故D對(duì)的.故選：C6、如圖，在長方體中，，，，是棱上的一條線段，且，是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則①四周體的體積為定值②直線到平面的距離為定值③點(diǎn)到直線的距離為定值④直線與平面所成的角為定值其中對(duì)的結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④答案：A解析：根據(jù)錐體體積公式闡明高與底面面積均為定值，即可判斷①；根據(jù)定直線與定平面關(guān)系可判斷②；根據(jù)兩平行直線關(guān)系可判斷③；分別計(jì)算在端點(diǎn)時(shí)直線與平面所成的角，即可判斷④.詳解：由于,因此平面即為平面，因此到平面的距離（設(shè)為）等于到平面的距離，即為定值；由于,因此到直線的距離等于直線到直線的距離,為定值；因此③對(duì)的；而，因此面積為定值，因此四周體的體積等于,為定值，即①對(duì)的；由于,因此直線與平面（即平面）平行，從而直線到平面的距離等于定直線與定平面之間距離，為定值，即②對(duì)的；當(dāng)與重疊時(shí)，過作交延長線于,則由長方體性質(zhì)得平面,即得,由于平面,從而平面,因此為直線與平面所成的角，，當(dāng)與重疊時(shí)，由于平面，因此到平面的距離相等，過作，則為點(diǎn)到到平面的距離連,則為直線與平面所成的角，,即④錯(cuò)誤；故選：A（多選）7、如圖，在菱形中，，，將沿對(duì)角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法對(duì)的的是（）A．與平面所成的最大角為B．存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，D．存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為答案：BC解析：對(duì)A，能夠舉出反例；對(duì)B、C通過證明與計(jì)算可得；對(duì)D，可運(yùn)用反證法；詳解：如圖所示：對(duì)A，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，則當(dāng)時(shí)，與平面所成的最大角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，取CD的中點(diǎn)N，可得因此平面PBN，因此，故B對(duì)的；對(duì)C，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，因此，因此，因此，故C對(duì)的；對(duì)D，由于，因此如果到平面的距離為，則平面PCD，則，因此，顯然不可能，故D錯(cuò)誤；故選：BC.（多選）8、如圖，在正方體中，點(diǎn)是棱上的一種動(dòng)點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中對(duì)的的有（）A．與所成的角為45°B．平面C．平面平面D．對(duì)于任意的點(diǎn)，四棱錐的體積均不變答案：BCD解析：由異面直線所成角的定義計(jì)算即可判斷A；根據(jù)平面平面即可判斷B；根據(jù)平面即可判斷C；根據(jù)可判斷D.詳解：連接，∵，∴為與所成角，設(shè)正方體棱長為1，則，∴，故A錯(cuò)誤；∵平面平面，平面，∴平面，故B對(duì)的；連接，則，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面，故C對(duì)的；設(shè)正方體棱長為1，則，故三棱錐的體積均不變，故D對(duì)的；故選：BCD.9、如圖，在矩形中，，為的中點(diǎn)，將沿翻折成（平面），為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中給出下列四個(gè)結(jié)論：①與平面垂直的直線必與直線垂直；②線段的長為；③異面直線與所成角的正切值為；④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積是.其中對(duì)的結(jié)論的序號(hào)是_______.（請(qǐng)寫出全部對(duì)的結(jié)論的序號(hào)）答案：①②④解析：①平面，則可判斷；②通過線段相等，可求出線段的長；②異面直線與所成角為，求出其正切值即可；④找出球心，求出半徑即可判斷其真假.從而得到對(duì)的結(jié)論的序號(hào).詳解：如圖，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，，，則四邊形為平行四邊形，直線平面，因此①對(duì)的；，因此②對(duì)的；由于，異面直線與的所成角為，，因此③錯(cuò)誤；當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面與底面垂直，可計(jì)算出，，，因此，同理，因此三棱錐外接球的球心為，半徑為1，外接球的表面積是，④對(duì)的.故答案為：①②④.10、在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點(diǎn)，.有下列結(jié)論：①三棱錐的三條側(cè)棱長均相等；②的取值范疇是；③若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的體積為；④若，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.其中對(duì)的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C解析：作出三棱錐的圖象，逐個(gè)判斷各命題，即可求解．詳解：作出三棱錐的圖象，如圖所示：．對(duì)于①，根據(jù)題意可知，平面，且，因此，①對(duì)的；對(duì)于②，在中，，而，因此，即的取值范疇是，②對(duì)的；對(duì)于③，由于，因此三棱錐外接球的球心為，半徑為，其體積為，③不對(duì)的；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，因此，將平面沿翻折到平面上，則的最小值為線段的長，在展開后的中，，根據(jù)余弦定理可得，④對(duì)的．故選：C．11、如圖，M，N分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BC？CD的中點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，有下列結(jié)論：①異面直線AC與BD所成的角為定值．②存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直．③存在某個(gè)位置，使得直線MN與平面ABC所成的角為45°．④三棱錐體積的最大值為．以上全部對(duì)的結(jié)論的有()個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4答案：C解析：證得，由此判斷①對(duì)的；證得，由此判斷②錯(cuò)誤；當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求得直線與平面所成的角、三棱錐體積的最大值，由此判斷③④的對(duì)的性.詳解：設(shè)，①，折疊前，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，折疊過程中成立，而，因此平面，因此，因此異面直線與所成角為定值，因此①對(duì)的.②，折疊前，，折疊過程中成立，假設(shè)，而，因此平面，因此.折疊過程中，在三角形中，，因此，這與矛盾，故假設(shè)不成立，因此②錯(cuò)誤.③，在折疊過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，由于平面平面，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，因此是直線與平面所成的角，且.在中，因此三角形是等腰直角三角形，因此.由于分別是的中點(diǎn)，因此是三角形的中位線，因此，因此直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等.因此③對(duì)的.④，在折疊過程中，三棱錐中，三角形的面積為定值，即.因此當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，三棱錐的體積獲得最大值.當(dāng)平面平面時(shí)，到平面的距離最大.此時(shí)，過作交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知平面.由于，因此是等腰直角三角形，因此.因此三棱錐的體積的最大值為.因此④對(duì)的.總而言之，對(duì)的的結(jié)論有個(gè).故選：C12、直角中，，D為BC邊上一點(diǎn)，沿AD將折起，使點(diǎn)C在平面ABD內(nèi)的正投影H正好在AB上，若，則二面角的余弦值是（）A． B． C． D．答案：A解析：由平面ABD，可得，從而可求出的長，過作，則可得，為二面角的平面角，而，然后在和分別求出，即可求得成果.詳解：解：如圖，過作，垂足為，連接，由于平面ABD，因此，，因此平面，因此，因此，為二面角的平面角，由于，若設(shè)，則，在中，，，則，在中，，在中，，在中，由得，，解得，因此，因此,故選：A13、如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，側(cè)面為邊長等于2的正三角形，側(cè)面與底面所成的二面角為．（1）求四棱錐的體積；（2）求面與面所成二面角的正切值．答案：（1）4；（2）.試題分析：（1）過點(diǎn)P作平面，垂足為點(diǎn)O，連接OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E，連接PE，AC，BD，AC交BD于點(diǎn)F，易得和，為面與面ABCD所成二面角的平面角，然后分別求得點(diǎn)P到平面ABCD的距離和菱形ABCD的面積，最后套用棱錐體積公式計(jì)算即可得解；（2）取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連接EG、AG、GF，易得是所求二面角的平面角，先求得，再根據(jù)計(jì)算的值即可.詳解：（1）如圖，過點(diǎn)P作平面，垂足為點(diǎn)O，連接OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E，連接PE，AC，BD，AC交BD于點(diǎn)F，∵，∴，∵，∴，于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，因此，由此知為面與面ABCD所成二面角的平面角，∴，，由已知可求得，∴，即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為，又，由題知，在中可得，因此，，因此；（2）如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連接EG、AG、GF，則，，，∵，∴，，∴是所求二面角的平面角，∵面，∴，又∵，∴，且，在中，，，于是，又，因此.14、在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使AB⊥DC，連接AC，得到三棱錐A﹣BCD.(1)求證：平面ABD⊥平面BCD；(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.答案：(1)證明見解析；(2)60°.試題分析：（1）通過證明AB⊥平面BCD，得面面垂直；（2）取BC中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，連接DE，DF，EF，證明∠DFE為所求二面角，即可計(jì)算求解.【詳解】(1)證明：∵AB=1，AD，且∠BAD=45°，∴BD=1，則AD2=AB2+BD2，即AB⊥BD，又AB⊥DC，BD∩DC=D，且都在平面BCD內(nèi)，∴AB⊥平面BCD，∵AB在平面ABD內(nèi)，∴平面ABD⊥平面BCD；(2)取BC中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，連接DE，DF，EF，∵BD=CD=1，∴DE⊥BC，∵AB⊥平面BCD，DE？平面BCD，∴AB⊥DE，∵AB∩BC=B，且都在平面ABC內(nèi)，∴DE⊥平面ABC，∵AC？平面ABC，∴AC⊥DE，又EF⊥AC，DE∩EF=E，且都在平面DEF內(nèi)，∴AC⊥平面DEF，∴∠DFE為所求二面角，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，，，∴，∴∠DFE=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小為60°.15、已知四棱錐中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,點(diǎn)在棱上且.（1）求證:;（2）求與平面所成角的正弦值;（3）求二面角的大小.答案：（1）答案見解析（2）（3）解析：（1）推導(dǎo)出,從而平面,進(jìn)而,由此能證明平面,即可求得答案;（2）由（1）可得:平面,所覺得與平面所成角,求出長,即可求得答案;（3）連結(jié),交于點(diǎn),,從而平面平面,進(jìn)而平面,過作于點(diǎn),連結(jié),則,則為二面角的平面角,即可求得答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)為,連接,底面是直角梯形,∥,即∥又四邊形是平行四邊形可得,中點(diǎn)為,根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得:為直角三角形,且又平面平面平面（2）由（1）可得:平面為與平面所成角為直角三角形,,又,為等腰直角三角形在中,與平面所成角的正弦值.（3）連結(jié),交于點(diǎn),,如圖:平面,平面平面,平面過作于點(diǎn),連結(jié),則,為二面角的平面角,在中,在中,在中,二面角的大小為.16、如圖1，平面四邊形中，，為的中點(diǎn)，將沿對(duì)角線折起，使，連接，得到如圖2所示的三棱錐（1）證明：平面平面；（2）已知直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．答案：（1）見解析（2）試題分析：（1）證明平面，平面平面即得證；（2）先由題可知即為直線與平面所成的角，再證明為二面角的平面角，再解三角形求解即可.詳解：（1）證明：在三棱錐中，由于，，因此平面，又平面，因此，由于，為中點(diǎn)，因此，又，因此平面，又平面，因此平面平面．（2）由（1）可知即為直線與平面所成的角，因此，故；由（1）知平面，過作于，連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．由，得，即得，因此，故，因此二面角的余弦值為．17、如圖，在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，為的中點(diǎn)，平面平面，二面角的余弦值為，三棱錐的體積為．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．答案：（1）見解析（2）試題分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的鑒定定理能夠證明.（2）根據(jù)棱錐的特性可知，過作于點(diǎn)，連接，則，所覺得二面角的平面角.由三棱錐的體積可求出頂點(diǎn)究竟面的距離，根據(jù)二面角的余弦值可計(jì)算出正弦值，進(jìn)而計(jì)算的長，通過勾股定理可知邊、的長，再通過三角形面積相等計(jì)算和的值，從而通過余弦定理計(jì)算所求.詳解：（1）為等邊三角形，為的中點(diǎn)，因此有，又平面平面，平面平面，，因此平面（面面垂直的性質(zhì)定理），又平面，因此平面平面（線面垂直的鑒定定理），得證.（2）由于，，，因此過作于點(diǎn)，連接，則，所覺得二面角的平面角.即即為所求.設(shè)三棱錐的高為，則有，得.由（1）可知，為二面角的平面角，因此，則，則，因此.由余弦定理可得：，.在中，由余弦定理可知：，則有，因此，同理，又，因此由余弦定理可知.18、在四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，E為線段BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）已知，且二面角A－BD－P的大小為，求AD與平面BDP所成角的正弦值.答案：（1）證明見解析；（2）.試題分析：（1）根據(jù)幾何特性，先證平面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)已知條件，作出輔助線找到線面角，再解三角形即可求得成果.詳解：（1）證明：依題意△ABC為等邊三角形，E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC又PB＝PC，∴PE⊥BC，而平面，∴BC⊥平面PAE，又BC平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC（2）由（1）知BC⊥PA，又PA⊥AB，AB∩BC＝B∴PA⊥平面ABCD，平面，則，連接AC，設(shè)AC∩BD＝M由菱形ABCD知，AC⊥BD，，平面，∴BD⊥平面PAM，∴∠PMA為二面角A—BD—P的平面角，且∠PMA＝∴AM＝PA，不妨設(shè)菱形ABCD邊長為2，∴AM＝PA＝1，AD＝2由BD⊥平面PAM，BD平面PBD知平面PAM⊥平面PBD且交線為PM過A作AN⊥PM，N為垂足，∴AN⊥平面PBD∴∠ADN為直線AD與平面PBD所成角，在Rt△APM中AN，在Rt△ADN中，AD與平面PBD所成角正弦值為.19、矩形中，，，E、F分別為線段、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿翻折成四棱錐，且二面角的大小為.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.答案：（1）證明見解析；（2）.試題分析：（1）連接，根據(jù)四邊形為正方形，可得，，然后根據(jù)線面垂直的鑒定定理可得面，最后可得成果.（2）根據(jù)二面角的大小為，計(jì)算點(diǎn)F到平面的距離，然后根據(jù)，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，同時(shí)計(jì)算，最后計(jì)算即可.詳解：（1）由題旨在矩形中，，，∴四邊形為邊長為2的正方形.連結(jié)，交于點(diǎn)M，如圖則，且.在四棱錐中，，，∴面，又面，∴（2）設(shè)點(diǎn)F到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為由（1）就是二面角的平面角，∴.∵面，∴面面，過F作于H，∵面面，∴面.又∵在中，，∴，，∴，∵，∴.由題意可得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、在平行六面體中，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線AC與平面所成角的大小.答案：（1）證明見解析；（2）試題分析：（1）先證明線面垂直，再運(yùn)用面面垂直的鑒定定理，即可得答案；（2）作出線面角的平面角，再求正弦值，即可得答案；詳解：（1）四邊形為菱形，，又，，，，平面，平面，平面平面；（2）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，則為直線AC與平面所成角，設(shè)，則，，，直線AC與平面所成角的大小為.21、如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？闡明理由.答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.試題分析：（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒有交點(diǎn)，可得與不相交，又與共面，因此，同理可證，得證；（3）作交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三垂線定理，擬定二面角的平面角，若，，由大角對(duì)大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.詳解：（1）由平面平面，平面平面，且，因此平面，又平面，因此；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個(gè)平面沒有交點(diǎn)，則與不相交，又與共面，因此，同理可證，因此四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，由，，，因此平面，則平面，又，根據(jù)三垂線定理，得到，因此是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，因此中，由大角對(duì)大邊知，因此，這與上面相矛盾，因此二面角的大小不能為.22、如圖，在四