垂直于弦的直徑

垂直于弦的直徑如圖，是1400多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋．趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m．你想知道怎么求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？

歸納把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．探究如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？（1）是軸對稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對稱軸．（2）線段：AE=BE弧：原因：由圓的對稱性可知，將圓沿著CD折疊時，A會與B重合，所以相應(yīng)的線段和弧相等．歸納垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．垂徑定理的推理平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．書寫規(guī)范運用垂徑定理時，如何書寫過程呢？∵CD是直徑，CD⊥AB∴AE=BE，類似的，若要運用垂徑定理的推論，你會寫過程了嗎？∵CD是直徑，AE=BE∴CD⊥AB，幾何語言表達垂徑定理①CD是直徑②CD⊥AB③AE=BE垂徑定理的推理①CD是直徑③AE=BE②CD⊥AB知二推三①CD是直徑②CD⊥AB③AE=BE其實垂徑定理可以進一步地推廣，以上五個條件中，只要其中任意兩個成立，就可以得到另外三個結(jié)論．這就是所謂的“知二推三”應(yīng)用條件下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是否是否概念辨析判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直線有無數(shù)條如果弦是直徑會怎樣？概念辨析判斷下列說法的正誤⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧

垂直平分線是直線直徑是線段，能相等嗎？如果弦是直徑會怎樣？例題如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.練習如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=AED.C練習如圖，連接OA，OB，設(shè)AO=BO，求證：AC=BD．提示：作OE⊥ABE練習已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．求證：AC＝BD．提示：作OE⊥ABE練習已知：⊙O中弦AB∥CD．求證：提示：作直徑MN⊥ABMN例題如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．解：作OE⊥AB于點E，連接AO，在Rt△AOE中答：⊙O的半徑為5cm.總結(jié)：

已知半徑，弦長，圓心到弦的距離這三個中的任意兩個，可以求第三個．趙州橋拱半徑問題如圖，用

表示主橋拱，設(shè)

所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點，C是

的中點，CD就是拱高．在圖中，AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2R-7.218.7在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得：R≈27.9（m）∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.歸納對于一個圓中的弦長a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外兩個量，如圖有：（1）d+h=r特別的，若已知h和a，則需要設(shè)未知數(shù)，列方程求解什么是垂徑定理？如何利用垂徑定理計算？垂徑定理已知弦長和弦弧距怎么求半徑？已知弦長和弦弧距求半徑練習如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=________cm．16練習如圖，在圓O中，半徑r=13，弦AB=24，則圓心O到AB的距離為______．5練習如圖，在圓O中，直徑AB⊥弦CD于點M，AM=18，BM=8，則CD的長為??________．24練習如圖，圓O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點，則OM的最小值是??________．3練習如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長．答案：CD=26．練習一圓柱形排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑為1m，水面寬AB為1.6m．由于天氣干燥，水管水面下降，此時排水管水面寬變?yōu)?.2m，求水面下降的高度．答案：0.2米．練習某地有一座圓弧形拱橋圓心為Ｏ，橋下水面寬度為7.2m，過O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經(jīng)過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？答案：半徑是3.9m，MN＞3，能通過.練習1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．練習2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．構(gòu)造垂徑求長度如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，則BD的長為__________．提示：過點C作BD的垂徑總結(jié)：要求弦長，就要想到作垂徑，利用垂徑定理．什么情況下需要構(gòu)造垂徑？怎么構(gòu)造垂徑進行計算？構(gòu)造垂徑的技巧平行弦間的距離已知圓O的半徑是10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，則AB與CD的距離是________________．總結(jié)：看到?jīng)]圖的問題，就要考慮到多解的可能．14cm或2cm怎么求平行弦之間的距離？如果題目沒給圖，應(yīng)該想到什么？與垂徑定理有關(guān)的多解問題總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)會了什么？垂徑定理①CD是直徑②CD⊥AB③AE=BE垂徑定理的推理①