競爭市場環(huán)境下兩個(gè)航空公司兩級(jí)價(jià)格動(dòng)態(tài)定價(jià)模型

競爭市場環(huán)境下兩個(gè)航空公司兩級(jí)價(jià)格動(dòng)態(tài)定價(jià)模型

1問題的提出與研究進(jìn)路作為現(xiàn)代航運(yùn)業(yè)的重要手段，收入管理在國外已經(jīng)創(chuàng)造了一個(gè)奇跡。世界上主要國有公司通過使用收入管理技術(shù)每年增長2-8個(gè)百分點(diǎn)。近年來，隨著中國航運(yùn)業(yè)的快速發(fā)展，收入管理在中國航運(yùn)業(yè)中的應(yīng)用重要性和重要性已達(dá)成共識(shí)。重組后的三種航空公司直接從國外購買了pros收入管理系統(tǒng)，而一些航空公司則與國內(nèi)軟件公司合作。然而，在收入管理方面，由于中國國情的特殊性，國際公司的收入管理方法無法實(shí)現(xiàn)所需的效果。目前,國內(nèi)航空市場競爭越來越激烈.2005年5月,國航在廣州—上海、廣州—北京航線上打出的超低價(jià)策略,最終導(dǎo)致了一場“封殺”事件,其影響之深,在國內(nèi)民航業(yè)還是第一次.這一事件足以說明國內(nèi)航空公司價(jià)格競爭的激烈性.通常,國內(nèi)的大多數(shù)航線上都有多家航空公司提供的多個(gè)航班飛行.在客流量大的航線上,飛行的班次更多,競爭也更加激烈.如在成都—廣州航線上有中國國航西南航空分公司、四川航空公司和中國南方航空公司為主的多家航空公司競爭.中國國際航空公司西南分公司每天在此航線上提供的航班高達(dá)八個(gè)班次,幾乎是每隔兩個(gè)小時(shí)一班次,其它航空公司提供的航班數(shù)也不少.在這種經(jīng)營條件下,航空公司在制定航班價(jià)格策略時(shí),不僅要考慮自身庫存和需求狀況,同時(shí)還要預(yù)見和考慮對(duì)手的反應(yīng),考慮對(duì)手價(jià)格策略對(duì)自身收益的影響.這也是目前我國航空公司所面臨的難題.但是,現(xiàn)有收益管理系統(tǒng)所使用的主要優(yōu)化模型,其多適用于壟斷和市場集中度較高的市場環(huán)境中,都是針對(duì)自己公司的航班,采集自己的歷史數(shù)據(jù),通過收益管理模型實(shí)現(xiàn)對(duì)航班艙位的決策,而對(duì)競爭市場環(huán)境下,如何進(jìn)行艙位與價(jià)格調(diào)整考慮不足.在國外航空市場機(jī)制下,航空公司很難知道對(duì)手實(shí)時(shí)的庫存水平和價(jià)格信息,這大大限制操作層面上的競爭策略的研究和應(yīng)用.而在國內(nèi),航空公司可以以較小的代價(jià)實(shí)時(shí)地獲取整個(gè)市場上的庫存和價(jià)格信息,這為建立完全信息的博弈模型提供了依據(jù).基于此,本文擬從我國航空客運(yùn)市場的實(shí)際情況出發(fā),在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)之上,對(duì)問題進(jìn)行抽象和適當(dāng)簡化,探討兩家航空公司在同一條航線上提供競爭的兩個(gè)航班,其分別只提供兩個(gè)價(jià)格等級(jí)時(shí)各自的出價(jià)策略及其相關(guān)規(guī)律.本文的研究不僅彌補(bǔ)了收益管理動(dòng)態(tài)定價(jià)競爭策略研究的不足,同時(shí),對(duì)于指導(dǎo)我國民航客運(yùn)實(shí)際管理具有重要的指導(dǎo)意義.2收益管理競爭策略動(dòng)態(tài)定價(jià)是收益管理的核心內(nèi)容之一.隨著收益管理研究的深入,有關(guān)這方面的研究已經(jīng)比較豐富,有興趣的讀者可以閱讀Elmaghraby和Keskinocak(2003),Bitran和Caldentey(2003),McGill和vanRyzin(1999),Weatherford和Bodily(1992),羅利和蕭柏春(2004)等綜述文獻(xiàn).目前,大量的動(dòng)態(tài)定價(jià)研究主要假設(shè)在壟斷市場情況下,如Gallego和vanRyzin(1994,1997),Chatwin(2000),Lin(2004),Feng和Xiao(2000),以及Zhao和Zheng(2000)等.在這些研究框架下,擁有壟斷權(quán)力的公司利用價(jià)格作為引導(dǎo)需求的一種手段,以期在銷售結(jié)束時(shí),獲得最大的期望收入.由于最優(yōu)策略往往是難以分析的,在許多情況下,學(xué)者們都是首先建立或假設(shè)最佳策略的結(jié)構(gòu),然后再構(gòu)建一個(gè)算法求解或近似計(jì)算之.而針對(duì)競爭環(huán)境下的動(dòng)態(tài)定價(jià)問題研究很少.幾乎所有討論收益管理競爭策略的模型都局限于存量控制,而假定價(jià)格是給定不變的.這些模型和針對(duì)一般產(chǎn)品的庫存競爭問題有相似之處.庫存競爭模型考慮在顧客可選擇供應(yīng)商的前提下,供方如何控制庫存水平.Parlar(1988)是第一篇用博弈理論分析可替代產(chǎn)品庫存管理的文獻(xiàn),該文獻(xiàn)假設(shè)每個(gè)零售商知道產(chǎn)品的替代率和需求密度,問題是如何同時(shí)作出訂貨決策,在此基礎(chǔ)上探討了兩個(gè)零售商之間的競爭策略.Belobaba和Wilson(1997)用模擬的方法分析了只有兩家航空公司在單航段市場競爭的情況,結(jié)論表明:在競爭市場下,一家航空公司使用收益管理,而另一家不使用,則使用收益管理的航空公司有先動(dòng)優(yōu)勢;如果兩家都使用收益管理,則他們的收入都會(huì)增加.Lippman和Mccardle(1997)構(gòu)建了多個(gè)參與者的競爭模型,證明了純策略納什均衡解的存在.他們指出,如果最初市場需求的分配原則是確定的,且每一參與者以后分到的需求是整個(gè)市場需求的增函數(shù),則納什均衡解是唯一的.此外,該模型還發(fā)現(xiàn)競爭會(huì)使庫存量增加.Mahajan和VanRyzin(2001)探討了類似的問題并同樣得出競爭導(dǎo)致庫存量增加的結(jié)論.他們假設(shè)需求是以效用最大化為目標(biāo)的隨機(jī)顧客序列.對(duì)于多個(gè)參與者,他們證明了均衡解的存在,并指出對(duì)于完全信息博弈,均衡解是唯一的.Netessine和Rudi(2003)假定顧客對(duì)產(chǎn)品需求的替換性,比較集中庫存和競爭庫存問題的解.除了證實(shí)競爭和庫存量的關(guān)系外,他們還發(fā)現(xiàn),如果需求服從多元正態(tài)分布,集中庫存系統(tǒng)的利潤隨著替代產(chǎn)品間的相關(guān)程度下降.Li和Oum(1998)就競爭環(huán)境下兩家航空公司的艙位控制策略進(jìn)行了研究,但模型假設(shè)事先知道需求如何在航空之間進(jìn)行分配,因而可求出完全信息下的對(duì)稱均衡解.Zhao和Atkins(2000)構(gòu)建了競爭環(huán)境下僅具有一個(gè)艙位等級(jí)的兩家航空公司的艙位控制策略模型.Netessin和Shumsky(2001)考慮航空公司之間的橫向競爭(不同航空公司飛行同一航段)和縱向競爭(不同航空公司承擔(dān)同一航線的不同航段)的艙位控制策略.他們證明在一定條件下純策略納什均衡點(diǎn)的存在性.他們的分析結(jié)果表明,與壟斷相比,橫向競爭使航空公司更傾向于保護(hù)高價(jià)票,而縱向競爭卻未必得出同樣的結(jié)論.需要指出的是,目前在收益管理文獻(xiàn)中出現(xiàn)的競爭策略模型很少把價(jià)格作為決策變量,也很少把競爭和均衡策略看成一個(gè)隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)過程.只有Lin(2004)利用MNL(MultinomialLogitModel)模型刻畫顧客的選擇,構(gòu)建了一個(gè)動(dòng)態(tài)定價(jià)博弈模型,證明了均衡解的存在.但是,他的模型假設(shè)時(shí)間是離散的.由上述可見,傳統(tǒng)收益管理動(dòng)態(tài)定價(jià)研究關(guān)注的主要問題是研究擁有壟斷權(quán)力的公司如何利用價(jià)格作為引導(dǎo)需求的一種手段,獲得最大的期望收入,而對(duì)競爭的問題研究不足.本文的研究是將競爭因素引入收益管理的一種嘗試,是對(duì)收益管理動(dòng)態(tài)定價(jià)理論研究的一個(gè)擴(kuò)展.3最優(yōu)價(jià)格pk本文考慮同一條航線上的兩個(gè)航班由兩家航空公司提供;兩個(gè)航班的起飛時(shí)刻相近;雙方在時(shí)段[0,T]內(nèi)同時(shí)銷售機(jī)票.在銷售起始時(shí)刻t=0時(shí),兩航班的初始座位數(shù)分別為N1、N2,到銷售期末t=T時(shí)(即飛機(jī)起飛時(shí)刻),未售出的座位收益為0.為了簡化問題,這里不考慮退票,NO-SHOW和超訂等情況,并假設(shè)每個(gè)航班分別只提供高、低兩種價(jià)格,對(duì)應(yīng)于航班的全價(jià)票和折扣票.pk1、pk2分別表示第k(k=1,2)個(gè)航班的高、低價(jià)格,且pk1>pk2.顧客在銷售期[0,T]內(nèi)依泊松過程到達(dá),每個(gè)旅客每次交易只預(yù)訂一張機(jī)票.當(dāng)?shù)谝粋€(gè)航班的價(jià)格為p1i(i=1,2),第二個(gè)航班的價(jià)格為p2j(j=1,2)時(shí),第k個(gè)航班的需求密度為λki,j(k=1,2),其含義是航班k在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的旅客數(shù).假設(shè)航空公司之間的競爭是完全信息的,各航空公司互相知道對(duì)方當(dāng)前的價(jià)格和剩余座位數(shù).顯然,航班需求受對(duì)手和自身價(jià)格的影響,當(dāng)對(duì)手降價(jià)時(shí),在己方價(jià)格不變的情況下,部分旅客流向降價(jià)方,己方需求降低,即λ1i,1(t)>λ1i,2(t)(i=1,2)λ21,j(t)>λ22,j(t)(j=1,2)(1)與單航班的情況類似,需求與價(jià)格應(yīng)滿足如下關(guān)系,航空公司才會(huì)有降價(jià)的動(dòng)力,否則,低價(jià)永遠(yuǎn)不會(huì)被采用.因此,下面的假設(shè)成立.假設(shè)1收入是價(jià)格的遞減函數(shù),即λ11,jp11<λ12,jp12(j=1,2)λ2i,1p21<λ2i,2p22(i=1,2)(2)這個(gè)假設(shè)也是收益管理研究領(lǐng)域內(nèi)一個(gè)基本假設(shè),參見文獻(xiàn).在銷售期間[0,T]內(nèi)的任一時(shí)刻t,當(dāng)雙方剩余座位數(shù)為(n1,n2)時(shí),航空公司k(k=1,2)所面臨的決策是確定剩余銷售期[t,T]內(nèi)任一時(shí)刻s應(yīng)當(dāng)采用的價(jià)格pk(s,n1,n2),使得自己航班的期望收入最大.pk(s,n1,n2)={pk1s時(shí)刻航班k采用高價(jià)pk2s時(shí)刻航班k采用低價(jià)s∈[t,Τ](3)航空公司在確定航班價(jià)格時(shí)要考慮剩余銷售時(shí)間、剩余座位數(shù)以及競爭對(duì)手的價(jià)格.航班的最優(yōu)價(jià)格變化較壟斷時(shí)復(fù)雜,但當(dāng)兩個(gè)航班的剩余座位數(shù)(n1,n2)都不變時(shí),航班各自的價(jià)格pk(s,n1,n2)隨銷售時(shí)間s遞減.假設(shè)2當(dāng)兩個(gè)航班的剩余座位數(shù)(n1,n2)都不變時(shí),各航班的最優(yōu)價(jià)格pk隨時(shí)間s遞減,即?s∈[0?Τ]?s′∈[0?Τ],當(dāng)s≤s′,nk(s)=nk(s)=n時(shí)?有pk(s,n1,n2)≥pk(s′,n1,n2)(k=1,2)這個(gè)假設(shè)在其他收益管理文獻(xiàn)中已有說明.Lin(2004)在文章中指出“當(dāng)庫存水平一定時(shí),如果剩余的銷售時(shí)間越多,廠商就會(huì)采用更高的價(jià)格1”.Feng和Xiao(2004)也詳細(xì)闡述了這一假設(shè).考慮銷售期[0,T]內(nèi)的任一時(shí)刻t,雙方剩余座位數(shù)分別為n1和n2時(shí),在下一位旅客到來之前,市場上沒有交易發(fā)生.航空公司各自確定自己的高、低價(jià)格的切換時(shí)間分別為z1n1,n2和z2n1,n2,即航班k(k=1,2)在zkn1,n2之前使用高價(jià),zkn1,n2之后使用低價(jià),(3)式可明確表示為:pk(s,n1,n2)={pk1t≤s≤zkn1,n2pk2zkn1,n2<s≤Τ(k=1,2)(4)航空公司一直維持這種策略,直到s時(shí)刻,下一個(gè)旅客到達(dá)時(shí),某航班賣出一個(gè)座位之后,雙方才根據(jù)從交易中獲得的新的市場信息調(diào)整和更新策略,進(jìn)入下一輪博弈.如圖1:如果s時(shí)刻的交易發(fā)生在航班1,則轉(zhuǎn)入庫存狀態(tài)為(n1-1,n2),在剩余時(shí)段[t,T]內(nèi)的博弈,如圖1中箭頭A所示;如果s時(shí)刻的交易發(fā)生在航班2,則雙方轉(zhuǎn)入庫存狀態(tài)為(n1,n2-1),在時(shí)段[s,T]內(nèi)的博弈,如圖1中箭頭B所示.如此延續(xù)下去,直到兩個(gè)航班的庫存全部售完(n1=0,n2=0)或銷售時(shí)間t=T時(shí)結(jié)束.由于需求的隨機(jī)性,旅客到達(dá)時(shí)刻s是隨機(jī)的,整個(gè)銷售過程可用一個(gè)隨機(jī)控制過程來描述.引理1顧客到達(dá)過程服從參數(shù)為λ的泊松分布,則相鄰時(shí)兩個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.設(shè)在時(shí)段[t,z]內(nèi)的顧客到達(dá)率為λ1,時(shí)段[z,T]內(nèi)的顧客到達(dá)率為λ2,如下圖所示:則從t時(shí)刻算起,下一位顧客到達(dá)的時(shí)刻s服從概率密度函數(shù)如下的指數(shù)分布:f(s)={λ1e-λ1(s-t)t≤s≤zλ2e-λ2(s-z)e-λ1(z-t)z<s≤Τ(5)應(yīng)用上述引理,可建立隨機(jī)事件“s時(shí)刻航班k賣出一個(gè)座位,雙方因航班k的庫存改變而轉(zhuǎn)入下一輪博弈”的概率密度函數(shù)為:fk(s)={λk1,1e-(λ11,1+λ21,1)(s-t)t≤s≤z1n1,n2λk2?1e-(λ12,1+λ22,1)(s-z1n1,n2)?e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-t)z1n1,n2<s<z2n1,n2λk2,2e-(λ12,2+λ22,2)(s-z2n1,n2)?e-(λ12,1+λ22,1)(z2n1,n2-z1n1,n2)?e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-t)z2n1,n2≤s≤Τ(6)由于問題的對(duì)稱性,建模時(shí)假設(shè)z1n1,n2≤z2n1,n2.用Vk(t,n1,n2)表示航班k(k=1,2)在給定狀態(tài)(t,n1,n2)下的期望收益函數(shù).若s時(shí)刻航班1以p1(s,n1,n2)的價(jià)格賣出一個(gè)座位,則航班1獲得p1(s,n1,n2)的收入,同時(shí)還剩下n1-1個(gè)座位,因而,此時(shí)航班1的期望收益為:p1(s,n1,n2)+V1(s,n1-1,n2),航班2的期望收益變?yōu)閂2(s,n1-1,n2);同理,若s時(shí)刻航班2以p2(s,n1,n2)的價(jià)格賣出一個(gè)產(chǎn)品時(shí),兩個(gè)航班的期望收益分別為:p2(s,n1,n2)+V2(s,n1,n2-1)和V1(s,n1,n2-1).由(4)及(6)式,可給出t時(shí)刻雙方剩余座位數(shù)為n1和n2,切換時(shí)間分別為z1n1,n2和z2n1,n2時(shí),各自的期望收益函數(shù).其中,航班1的期望收益函數(shù)為:V1(t,n1,n2)=z1n1,n2∫t{[V1(s,n1-1,n2)+p11]λ11,1+V1(s,n1,n2-1)λ21,1}?e-(λ11,1+λ21,1)(s-t)ds+z2n1,n2∫z1n1,n2{[V1(s,n1-1,n2)+p12]λ12,1+V1(s,n1,n2-1)λ22,1}?e-(λ22,1+λ22,1)(s-z1n1,n2)e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-1)ds+Τ∫z2n1,n2{[V1(s,n1-1,n2)+p12]λ12,2+V1(s,n1,n2-1)λ22,2}?e-(λ12,2+λ22,2)(s-z2n1,n2)e-(λ12,1+λ22,1)(z2n1,n2-z1n1,n2)e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-t)ds(7)航班2的期望收益函數(shù)為:V2(t,n1,n2)=z1n1n2∫t{[V2(s,n1,n2-1)+p21]λ21,1+V2(s,n1-1,n2)λ11,1}?e-(λ11,1+λ21,1)(s-t)ds+z2n1n2∫z1n1,n2{[V2(s,n1,n2-1)+p21]λ22,1+V2(s,n1-1,n2)λ12,1}?e-(λ12,1+λ22,1)(s-z1n1,n2)e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-t)ds+Τ∫z2n1,n2{[V2(s,n1,n2-1)+p22]λ22,2+V2(s,n1-1,n2)λ12,2}?e-(λ12,2+λ22,2)(s-z2n1,n2)e-(λ12,1+λ22,1)(z2n1,n2-z1n1,n2)e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-t)ds(8)由此,可以得到使兩個(gè)航班的期望收益最大化的均衡策略.4zn,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3由(7)及(8)式可以看出,航班1的期望收益V1(t,n1,n2)不僅與自身策略z1n1,n2有關(guān),也與對(duì)手策略z2n1,n2有關(guān),而航班2的期望收益V2(t,n1,n2)也取決于雙方的策略z1n1,n2,z2n1,n2,航班都希望通過調(diào)整自身策略zkn1,n2(k=1,2),以獲得最大收益.給定對(duì)手策略為z2n1,n2時(shí),V1(t,n1,n2)對(duì)自身價(jià)格切換點(diǎn)z1n1,n2求偏導(dǎo)整理后得:?V1(t,n1,n2)?z1n1,n2={p11λ11,1-p12λ12,1+[V1(z1n1,n2,n1,n2)-V1(z1n1,n2,n1-1,n2)](λ12,1-λ11,1)+[V1(z1n1,n2,n1,n2-1)-V1(z1n1,n2,n1,n2)](λ21,1-λ22,1)}?e-(λ11,1+λ21,1)(z1n1,n2-t)(9)同理,給定航班的策略為zn1,n21時(shí),V2(t,n1,n2)對(duì)自身價(jià)格切換點(diǎn)zn1,n22求偏導(dǎo)整理后得:?V2(t,n1,n2)?zn1,n22={p12λ2,12-p22λ2,22+[V2(zn1,n22,n1,n2)-V2(zn1,n22,n1,n2-1)](λ2,22-λ2,12)+[V2(zn1,n22,n1-1,n2)-V2(zn1,n22,n1,n2)](λ2,11-λ2,21)}?e-(λ2,11+λ2,12)(zn1,n22-zn1,n21)?e-(λ1,11+λ1,12)(zn1,n21-t)(10)要取得極值,令偏導(dǎo)數(shù)等于0聯(lián)立可得:{?V1(t,n1,n2)?zn1,n21=0?V2(t,n1,n2)?zn1,n22=0(11)當(dāng)兩航班的價(jià)格切換點(diǎn)策略互為給定對(duì)手策略下的最優(yōu)策略,即雙方策略互為對(duì)手策略的最佳反應(yīng)時(shí),雙方策略達(dá)到納什均衡.均衡策略必定是對(duì)手策略一定的情況下使己方期望收益達(dá)到最大時(shí)的極值點(diǎn).由于是在閉區(qū)間[t,T]上討論問題,最大值也可能在區(qū)間端點(diǎn)取到.因此,雙方的均衡策略(zn1,n21*?zn1,n22*)要么是滿足方程組(11)時(shí)的極值點(diǎn),要么是區(qū)間的端點(diǎn).性質(zhì)1決策時(shí)間t不影響均衡策略的位置,即?t∈[0,T],t′∈[0,T],若(zn1,n21*?zn1,n22*)是t時(shí)刻的均衡策略,使得雙方在剩余銷售時(shí)段[t,T]內(nèi)的期望收益達(dá)到均衡,則在t′時(shí)刻(zn1,n21*?zn1,n22*)依然是使雙方在剩余時(shí)段[t′,T]內(nèi)雙方追求期望收入最大的均衡策略.證明在偏導(dǎo)方程(9)及(10)式中,變量t只出現(xiàn)在指數(shù)位置上,而ef(t)恒大于0,因而時(shí)間t不影響導(dǎo)數(shù)符號(hào).若在t時(shí)刻(zn1,n21*?zn1,n22*)滿足均衡條件(11),則在t′時(shí)刻,(zn1,n21*?zn1,n22*)依然滿足均衡條件(11),證畢.性質(zhì)2在策略(zn1,n21?zn1,n22)一定的情況下,各航班的期望收益隨時(shí)間t遞減.證明設(shè)在t時(shí)刻航班的最優(yōu)價(jià)格分別為pi1(i=1或2)、pj2(j=1或2),對(duì)一個(gè)任意小的正數(shù)Δt>0,可以認(rèn)為t-Δt時(shí)刻的最優(yōu)價(jià)格依然是pi1、pj2,航班1在t-Δt時(shí)刻的期望收益可表示為:V1(t-Δt,n1,n2)=∫t-Δtt{[V1(s,n1-1,n2)+pj2]λi,j1+V1(s,n1,n2-1)λi,j2}e-(λi,j1+λi,j2)(s-t+Δt)ds+V1(t,n1,n2)e-(λi,j1+λi,j2)Δt(12)上式中積分項(xiàng)表示在時(shí)段[t-Δt,t]內(nèi)有一位顧客到達(dá),某航班賣出一張票而轉(zhuǎn)入下一輪博弈時(shí)航班1的期望收益;后一項(xiàng)表示在時(shí)段[t-Δt,t]內(nèi)沒有顧客到達(dá),這種情況下航班1在t-Δt時(shí)刻的期望收益與t時(shí)刻時(shí)的期望收益相同.當(dāng)Δt→0時(shí),上式可近似計(jì)算如下:同理可證V2(t-Δt,n1,n2)≥V2(t,n1,n2):證畢.上述模型還具有以下邊界條件:①航班座位具有易逝性,起飛時(shí)刻未能售出的座位不會(huì)給航空公司帶來任何收益,其期望收益為0,即Vk(Τ,n1,n2)=0(k=1?2)②當(dāng)某航班座位售完時(shí),市場轉(zhuǎn)入壟斷情況,沒有庫存的航班對(duì)未來的期望收益為0,另一個(gè)航班的期望收益與壟斷時(shí)相同.即V1(t,0,n2)=0?V2(t,n1,0)=0和V1(t,n1,0)=V1(t,n1),V2(t,0,n2)=V2(t,n2).以上各式中t∈[0,T],V1(t,n1)表示航班1在壟斷情況下庫存數(shù)為n1時(shí)的期望收益;V2(t,n2)表示航班2在壟斷情況下庫存數(shù)為n2時(shí)的期望收益.期望收益函數(shù)(7)式和(8)式是遞歸構(gòu)建的,模型可以有從n1=1,n2=1的邊界條件開始遞歸求解.當(dāng)n1=1,n2=1時(shí),由邊界條件②,庫存為(1,0)時(shí)表示只有航班1有一張票的情況,庫存為(0,1)時(shí)表示只有航班2有一張票的情況,這兩者都屬于壟斷情況,可由壟斷情況的方法求解.接下來便可以由庫存為(1,0)和庫存為(0,1)的情況由公式(11)、(7)和(8)求出雙方各有一張票,即庫存為(1,1)時(shí)的策略和收益函數(shù).當(dāng)n1≥1,n2≥1,給定策略(zn1,n21?zn1,n22),各航班的收益函數(shù)V1(t,n1,n2)、V2(t,n1,n2)便可根據(jù)(7)式和(8)式,根據(jù)庫存狀態(tài)為(n1-1,n2),均衡時(shí)的期望收益函數(shù)V1(s,n1-1,n2)、V2(s,n1-1,n2)以及庫存狀態(tài)為(n1,n2-1),均衡時(shí)的期望收益函數(shù)V1(s,n1,n2-1)、V2(s,n1,n2-1)求出.如此遞推下去,最終可由庫存為(N1-1,N2)和庫存為(N1,N2-1)時(shí)的情況求得庫存為(N1,N2)時(shí)的均衡策略和期望收益.5模型求解與驗(yàn)證設(shè)某航線上的兩個(gè)航班由兩家航空公司提供,初始時(shí)兩航班的座位總數(shù)都是10,即N1=10,N2=10.雙方都從t=0時(shí)開始銷售機(jī)票,到起飛時(shí)刻T=1時(shí)停止售票.兩航班的高價(jià)票價(jià)格都是1200元,低價(jià)票價(jià)格都是800元,即P11=P12=1200元,P21=P22=800元.各航班的需求密度如表1,其中,λ1,?1,λ2,?1,λ??12,λ??22分別表示航班壟斷時(shí)的需求密度.經(jīng)檢驗(yàn)表1中給出的需求密度滿足收入遞減假設(shè)1,利用上面的模型求解方法,編寫Matlab程序可得如下結(jié)果.可將上述結(jié)果用圖表示如下:從圖3和圖4可以看出:①兩個(gè)航班的價(jià)格切換點(diǎn)zn1,n21、zn1,n22隨兩航班的庫存n1、n2遞減,即剩余座位數(shù)越多時(shí),航班應(yīng)該越早降價(jià);②每個(gè)航班價(jià)格切換點(diǎn)隨自身的庫存變化的斜率大于隨對(duì)手庫存變化的斜率,即自身庫存對(duì)自身策略的影響大于對(duì)手庫存對(duì)自身策略的影響.定義Δzn1,n2=zn1,n21-zn1,n22,則將兩個(gè)航班價(jià)格切換點(diǎn)差值與庫存關(guān)系用圖5表示.從圖5可以看出:當(dāng)兩家航班庫存相差較多時(shí),他們的價(jià)格切換時(shí)間點(diǎn)相差較大;當(dāng)雙方庫存相近時(shí),雙方的價(jià)格切換點(diǎn)幾乎重疊,此時(shí)的策略變成一種“跟隨策略”:一方降價(jià)時(shí),另一方馬上跟進(jìn).航班期望收益函數(shù)表示如圖6,7.從圖6中可以看到航班1的期望收益V1隨時(shí)間銷售時(shí)間t遞減,隨自身庫存n1的增大而增大.同時(shí)圖中的虛線(n2=5)都在相鄰實(shí)線(n2=7)的上方,可見,當(dāng)一方(航班2)的庫存降低(由n2=7降至n2=5)時(shí),另一方(航班1)的期望收益增加.類似地,由圖7知航班2的期望收益也有同樣的性質(zhì).因此,從圖6和圖7可以看出以下規(guī)律:①航班的期望收益V1、V2都隨時(shí)間t遞減;②V1隨n1遞增,V2隨n2遞增,即航班的期望收益隨自身庫存遞增;③在圖6和圖7中,虛線總在實(shí)線之上,當(dāng)一方庫存減少:由7降至5時(shí),另一方的期望收益增加:V1(t,n1,7)≤V1(t,n1,5),V2(t,7,n2)≤V2(t,5,n2),即己方收益隨對(duì)手庫存數(shù)遞減;從圖8和圖9中ΔV1≥0、ΔV2≥0,也驗(yàn)證了規(guī)律②,同時(shí)還可以看出:④航班座位的邊際收益ΔV1、ΔV2隨銷售時(shí)間t遞減;⑤航班座位的邊際收益ΔV1、ΔV2分別隨銷售自身座位數(shù)n1、n2遞減;從圖10和圖11中ΔV′1≥0、ΔV′2≥0,驗(yàn)證了規(guī)律③.為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的最優(yōu)性,將所得的均衡策略與其他兩種可選策略進(jìn)行比較,可選策略為:①跟進(jìn)策略這里的“跟進(jìn)策略”,是一種己方價(jià)格緊跟對(duì)手價(jià)格變化的策略.即:當(dāng)對(duì)方使用高價(jià)策略時(shí),自己也使用高價(jià)策略;當(dāng)對(duì)手降到低價(jià)時(shí),自己也隨之降價(jià)的策略.這種策略是航班銷售過程中常見的一種應(yīng)對(duì)競爭對(duì)手價(jià)格變化的簡單策略.②壟斷策略“壟斷策略”是指在競爭市場中,航空公司不顧競爭對(duì)手的存在,采用壟斷模型確定的價(jià)格策略.考慮由兩家航空公司分別提供的兩個(gè)競爭航班,除了航班1的座位數(shù)變動(dòng)外,其他參數(shù)設(shè)置前面算例相同.即兩個(gè)競爭航班同時(shí)在時(shí)段[0,T]內(nèi)銷售機(jī)票,兩個(gè)航班