常微分方程錄播3_第1頁
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文檔簡介

恰當(dāng)方程把一階顯式方程改寫為如果方程的左邊可以寫成一個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)則稱為恰當(dāng)方程或全微分方程(1)第一頁第二頁，共19頁。例如：xdx+ydy=0對于恰當(dāng)方程來說，由于方程可以變?yōu)閐u(x,y)=0通解就為：u(x,y)=c問題：1.怎樣判定一個(gè)方程是恰當(dāng)方程2.如果是，怎樣求全微分u(x,y)第二頁第三頁，共19頁。定理：設(shè)M(x,y)和N(x,y)都是連續(xù)可微，則方程(1)是恰當(dāng)方程的充要條件為

證明：“必要性”設(shè)(1)為恰當(dāng)方程，則有第三頁第四頁，共19頁。充分性：設(shè),說明存在一個(gè)u,使得：把第一個(gè)式子兩邊關(guān)于x積分，得在代入第2個(gè)式子得第四頁第五頁，共19頁?，F(xiàn)在的問題是：表達(dá)式是否僅僅是y的函數(shù)，如果不是，則上式不可能成立；如果是，則可以求出第五頁第六頁，共19頁。故僅僅是y的函數(shù)第六頁第七頁，共19頁。充分性的論證也給出了u(x,y)的求法例：解：第七頁第八頁，共19頁。代入得第八頁第九頁，共19頁。其它解法如果(1)是恰當(dāng)方程，也就是：考慮曲線積分則積分與路徑無關(guān)第九頁第十頁，共19頁。記則有考慮上面的例子把積分路徑按圖選取第十頁第十一頁，共19頁。通解第十一頁第十二頁，共19頁。分組“湊微分”改寫為：第十二頁第十三頁，共19頁。需要熟悉的公式第十三頁第十四頁，共19頁。積分因子有許多方程不是恰當(dāng)方程，如但是，乘以后，有第十四頁第十五頁，共19頁。積分因子：如果一個(gè)非零函數(shù)，乘以方程：

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0成為恰當(dāng)方程問題：怎樣找一個(gè)方程的積分因子是(1)的積分因子的充要條件為：第十五頁第十六頁，共19頁。在一般情況下難以求解，我們將局限于下面兩種情形找僅與x有關(guān)的積分因子找僅與y有關(guān)的積分因子第十六頁第十七頁，共19頁。當(dāng)積分因子僅僅是x的函數(shù)時(shí)，上式變

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