一種多輸入多輸出非線性不確定系統(tǒng)的軌跡線性化控制方法

一種多輸入多輸出非線性不確定系統(tǒng)的軌跡線性化控制方法

0基于fdo的非線性不確定系統(tǒng)考慮到空間在未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)中的重要地位和作用，空天安全已成為國(guó)家安全的一個(gè)極其重要方面。主要發(fā)展先進(jìn)的航空航天飛機(jī)，如asv）就是這個(gè)典型的體現(xiàn)。ASV的多飛行模式、多工作方式對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度提出了更高的要求。形成于上個(gè)世紀(jì)九十年代末的軌跡線性化控制(TrajectoryLinearizationControl,TLC)以其有效的非線性跟蹤和解耦控制能力備受關(guān)注,目前該方法已成功運(yùn)用于機(jī)器人、X33和導(dǎo)彈等控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。特別是在2002年的X33飛行控制系統(tǒng)測(cè)試中,測(cè)試結(jié)果優(yōu)于滑?？刂坪蛣?dòng)態(tài)逆控制。模糊干擾觀測(cè)器(FuzzyDisturbanceObserver,FDO)已被嚴(yán)格證明具有逼近系統(tǒng)中存在的未知干擾和不確定因素的能力,可以用于提高控制器的干擾衰減能力和魯棒特性,但文獻(xiàn)僅針對(duì)單輸入單輸出非線性不確定系統(tǒng)給出了穩(wěn)定性證明。本文將FDO技術(shù)推廣至更為一般的多輸入多輸出非線性不確定系統(tǒng),并在此基礎(chǔ)上提出基于FDO的自適應(yīng)TLC方法。最后利用該控制方案為ASV設(shè)計(jì)了內(nèi)外回路的飛行控制系統(tǒng),并在高超聲速飛行條件下進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明,與普通的TLC方法相比,本文提出的方案具有更好的性能和魯棒性。1確定動(dòng)態(tài)特性本文考慮如下非線性MIMO系統(tǒng)˙ξ=f(ξ)+g1(ξ)μ+g2(ξ)dη=h(ξ)(1)其中ξ∈Rn,μ∈Rm,η∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出,f(ξ)∈Rn,g1(ξ),g2(ξ)∈Rn×m光滑有界,且g1(ξ)=[g11(ξ),…,g1m(ξ)],h(ξ)=[h1(ξ),…,hm(ξ)]T,d∈Rm表示系統(tǒng)的未知干擾和不確定。假設(shè)1g1(ξ),g2(ξ)滿足匹配條件,即存在可逆的非線性函數(shù)矩陣g0(ξ)∈Rm×m使得下式成立g1(ξ)g0(ξ)=g2(ξ)(2)根據(jù)TLC方法的設(shè)計(jì)思想,系統(tǒng)的標(biāo)稱狀態(tài)ˉξ、標(biāo)稱輸入ˉμ和標(biāo)稱輸出ˉη將滿足˙ˉξ=f(ˉξ)+g1(ˉξ)ˉμˉη=h(ˉξ)(3)定義跟蹤誤差為e=ξ-ˉξ,若d=0,取控制律為μ=ˉμ+ulc,則跟蹤誤差動(dòng)態(tài)特性為˙e=f(ξ)+g1(ξ)μ-f(ˉξ)-g1(ˉξ)ˉμ(4)式(4)沿標(biāo)稱軌跡線性化可得˙e=A(t)e+B(t)ulc+o(?)(5)其中A(t)=(?f?ξ+?g1?ξμ)|ˉξ,ˉμ?B(t)=g1(ξ)|ˉξ,ˉμo(·)為Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)的高階項(xiàng),滿足∥o(?)∥≤L∥e∥2,?∥e∥<r0(6)根據(jù)文獻(xiàn)定理4.13可知,通過(guò)設(shè)計(jì)控制律μ使得系統(tǒng)˙e=A(t)e+B(t)ulc在原點(diǎn)指數(shù)穩(wěn)定即能滿足原非線性系統(tǒng)(4)的控制要求。若d≠0,則式(5)改寫為˙e=A(t)e+B(t)ulc+o(?)+g2(ξ)d(7)根據(jù)擾動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,TLC方法對(duì)正則干擾和奇異干擾都具有本質(zhì)上的魯棒性。然而對(duì)于ASV等難以建模且運(yùn)行環(huán)境惡劣的實(shí)際系統(tǒng),d的大小難于估算,并且隨著d的增大系統(tǒng)的性能將不斷降低、甚至失效。為了克服未知干擾及不確定對(duì)系統(tǒng)性能的影響,提高系統(tǒng)的干擾衰減能力和魯棒特性,必須引入新的控制策略,具體方案如圖1所示。此時(shí)μ=ˉμ+ulc-uf-ur(8)其中ˉμ為標(biāo)稱控制項(xiàng),ulc為線性時(shí)變狀態(tài)反饋控制項(xiàng),uf為FDO的輸出,ur為魯棒控制項(xiàng),具體設(shè)計(jì)方法后面給出。則式(4)轉(zhuǎn)化為˙e=f(ξ)+g1(ξ)(ˉμ+ulc)-f(ˉξ)-g1(ˉξ)ˉμ+g2(ξ)d-g1(ξ)(uf+ur)(9)根據(jù)假設(shè)1,可令uf=g0(ξ)?d?ur=g0(ξ)vr則式(9)變?yōu)楱Be=A(t)e+B(t)ulc+g2(ξ)(d-?d-vr)+o(?)(10)整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程包括:①在d=0的條件下分別基于動(dòng)態(tài)逆方法和PD譜理論設(shè)計(jì)標(biāo)稱控制ˉμ和線性時(shí)變狀態(tài)反饋控制律ulc使得標(biāo)稱系統(tǒng)穩(wěn)定;②設(shè)計(jì)FDO的輸出?d逼近未知干擾和不確定d,并通過(guò)魯棒控制律vr提高系統(tǒng)的性能,保證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)穩(wěn)定有界。2魯棒控制項(xiàng)設(shè)系統(tǒng)(3)在ˉξ0點(diǎn)具有相對(duì)階向量(r1,…,rm),定義如下的m×m矩陣Z(ˉξ)Ζ(ˉξ)=[Lg11Lr1-1fh1?Lg1mLr1-1fh1???Lg11Lrm-1fhm?Lg1mLrm-1fhm](11)則Z(ˉξ0)可逆,因此存在ˉξ0的鄰域U使得Z(ˉξ)可逆且在U中范數(shù)有界。因此可得標(biāo)稱控制ˉμ為ˉμ=-Ζ-1(ˉξ)[Lr1fh1?Lrmfhm]+Ζ-1(ˉξ)[ˉη(r1)1?ˉη(rm)m](12)根據(jù)線性時(shí)變PD譜理論,設(shè)系統(tǒng)期望的閉環(huán)誤差動(dòng)態(tài)特性為AC(t),則由AC(t)=A(t)+B(t)Κ(t)(13)可以解得K(t)的具體表達(dá)式,從而可以得到線性時(shí)變狀態(tài)反饋控制ulc為ulc=Κ(t)e(14)根據(jù)萬(wàn)能逼近定理,可設(shè)計(jì)FDO的輸出?d(ξ,?θ)來(lái)逼近未知干擾和不確定d,其中?θ為可調(diào)權(quán)值矩陣。令?di(ξ,?θi)為?d(ξ,?θ)的第i個(gè)元素,這里采用參數(shù)線性化的模糊系統(tǒng)模型,?di(ξ,?θi)可表示為?di(ξ,?θi)=?θΤiφi(ξ)(15)其中i=1,2,…,m,?θi=[?θ1i,?θ2i,?,?θlii]Τ∈Rli,φi(ξ)=[φ1i(ξ),φ2i(ξ),…,φl(shuí)ii(ξ)]T∈Rli,φki(ξ)定義為φki(ξ)=n∏j=1μAkj(ξj)li∑k=1(n∏j=1μAkj(ξj))(16)其中k=1,2,…,li,j=1,2,…,n。因此?d(ξ,?θ)可表示為?d(ξ,?θ)=?θΤφ(ξ)(17)其中?θ=diag{?θΤ1,?θΤ2,?,?θΤm}Τ∈Rl×m,l=l1+l2+?+lm,φ(ξ)=[φΤ1(ξ),φΤ2(ξ),?,φΤm(ξ)]Τ∈Rl為模糊基函數(shù)向量。l為模糊規(guī)則數(shù),n為模糊變量的輸入個(gè)數(shù)。為了克服FDO逼近誤差的影響,有必要引入魯棒控制項(xiàng)來(lái)提高整個(gè)系統(tǒng)的性能。受文獻(xiàn)的啟發(fā),魯棒控制項(xiàng)取如下形式vr=g2Τ(ξ)r/γ(18)其中r=P(t)e,γ的具體含義下文給出,P(t)為L(zhǎng)yapunov方程ACΤ(t)Ρ(t)+Ρ˙(t)+Ρ(t)AC(t)+Q(t)=0(19)的正定對(duì)稱解,Q(t)正定對(duì)稱時(shí)變矩陣。由文獻(xiàn)結(jié)論5.28可知,對(duì)任意的t≥t0,若Ο<β1Ι≤Q(t)≤β2Ι(20)則方程(19)的正定對(duì)稱解P(t)滿足Ο<α1Ι≤Ρ(t)≤α2Ι(21)其中α1,α2>0,β1,β2>0。3權(quán)值調(diào)節(jié)律設(shè)計(jì)假設(shè)2對(duì)于任意的ξ∈Mξ,其中Mξ為一緊集,則模糊系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值定義為θ*=argminθ^∈Μθ[supξ∈Μξ∥d-d^(ξ,θ^)∥](22)并且最優(yōu)權(quán)值θ*在凸區(qū)域Μθ={θ|∥θ∥≤m0}上,其中m0為設(shè)計(jì)參數(shù)。定理1定義如下形式的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)z˙=-ρz+p(ξ,θ^)(23)其中p(ξ,θ^)=ρξ+f(ξ)+g1(ξ)μ+g2(ξ)d^(ξ,θ^)。定義干擾觀測(cè)誤差為ζ=ξ-z(24)若FDO的權(quán)值自適應(yīng)律選為θ^˙=γφ(ξ)ζΤg2(ξ)(25)并且θ^有界,則干擾觀測(cè)誤差ζ一致最終有界,其中γ>0為FDO的學(xué)習(xí)率,ρ>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。證明:由式(23)和p(ξ,θ^)的表達(dá)式可得z˙=ρ(ξ-z)+f(ξ)+g1(ξ)μ+g2(ξ)d^(ξ,θ^)(26)式(24)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得ζ˙=ξ˙-z˙=-ρζ+g2(ξ)(d-d^(ξ,θ^))(27)由假設(shè)2及模糊系統(tǒng)的無(wú)限逼近性,定義d=d^(ξ,θ*)+ε,∥ε∥≤εˉ(28)其中ε為模糊系統(tǒng)的逼近誤差,εˉ為逼近誤差的上界。將式(28)代入(27)得ζ˙=-ρζ+g2(ξ)(d^(ξ,θ*)+ε-d^(ξ,θ^))(29)定義權(quán)值誤差θ?=θ*-θ^,則式(29)變?yōu)棣屁B=-ρζ+g2(ξ)(θ?Τφ(ξ)+ε)(30)構(gòu)造如下形式的Lyapunov函數(shù)V=12ζΤζ+12γtr(θ?Τθ?)(31)對(duì)上式求導(dǎo)并將式(25)(30)代入整理得V˙=-ρζΤζ+ζΤg2(ξ)ε(32)令g2(ξ)ε=ε1,則有V˙=-ρ∥ζ∥2+ζΤε1+(ρ2∥ζ∥2+12ρ∥ε1∥2)-(ρ2∥ζ∥2+12ρ∥ε1∥2)≤-12ρ∥ζ∥2+12ρ∥ε1∥2-(ρ2∥ζ∥-12ρ∥ε1∥)2≤-12ρ∥ζ∥2+12ρ∥ε1∥2(33)當(dāng)‖ζ‖>‖ε1‖/ρ時(shí),V˙<0。那么,在θ^有界(等價(jià)于θ?有界)的條件下,ζ一致最終有界。注1由定理1可知FDO在權(quán)值調(diào)節(jié)律(25)的作用下具有檢測(cè)和逼近未知干擾和不確定性的能力,但沒(méi)有考慮系統(tǒng)本身的穩(wěn)定性。因此必須在式(25)的基礎(chǔ)上重新設(shè)計(jì)權(quán)值調(diào)節(jié)律以保證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定理2考慮式(23)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),干擾觀測(cè)誤差的定義同式(24),FDO的權(quán)值自適應(yīng)律為θ^˙=γφ(ξ)rΤg2(ξ)+γφ(ξ)ζΤg2(ξ)(34)并且θ^有界,若選取β1>2Lνα2,則對(duì)任意的初始跟蹤誤差‖e(t0)‖<ν,系統(tǒng)(1)在控制律(8)的作用下跟蹤誤差e和干擾觀測(cè)誤差ζ一致最終有界,其中ν<min{r0,β1/(2Lα2)}。證明:構(gòu)造如下形式的Lypaunov函數(shù)V=12eΤΡ(t)e+12γtr(θ?Τθ?)+12ζΤζ(35)上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)并將式(10)(19)(30)(34)代入得V˙=-12eΤQ(t)e+eΤΡ(t)g2(ξ)(d-d^-vr)+eΤΡ(t)o(?)-rΤg2(ξ)θ?Τφ(ξ)-ρζΤζ+ζΤε1(36)考慮到式(6)(20)(21),上式進(jìn)一步整理可得V˙=-12eΤQ(t)e+eΤΡ(t)o(?)+rΤε1-rΤg2(ξ)g2Τ(ξ)r/γ-ρζΤζ+ζΤε1≤-12β1∥e∥2+Lα2∥e∥3+rΤε1-ρζΤζ+ζΤε1(37)則對(duì)任意的‖e‖<ν有V˙≤-12(β1-2Lνα2)∥e∥2+rΤε1-ρζΤζ+ζΤε1(38)由式(33)可知-ρζΤζ+ζΤε1≤-12ρ∥ζ∥2+12ρ∥ε1∥2(39)類似文的推導(dǎo),可以得到-12(β1-2Lνα2)∥e∥2+rΤε1≤-14(β1-2Lνα2)∥e∥2+α22β1-2Lνα2∥ε1∥2(40)將式(39)(40)代入式(38)并整理得V˙≤-14(β1-2Lνα2)∥e∥2-12ρ∥ζ∥2+α22β1-2Lνα2∥ε1∥2+12ρ∥ε1∥2(41)令c1=min{14(β1-2Lνα2),12ρ},c2=α22β1-2Lνα2?∥ε1∥2+12ρ∥ε1∥2?E=[eΤ,ζΤ]Τ。式(41)可寫為V˙≤-c1∥E∥2+c2(42)因此對(duì)任意的初始跟蹤誤差‖e(t0)‖<ν,當(dāng)∥E∥>c2/c1時(shí)有V˙<0。故系統(tǒng)(1)在所設(shè)計(jì)控制律(8)的作用下跟蹤誤差e和干擾觀測(cè)誤差ζ一致最終有界。4asv動(dòng)態(tài)響應(yīng)面的fdo設(shè)計(jì)設(shè)ASV的飛行控制系統(tǒng)可由如下方程組描述Ω˙=fs+gs1ω+d1(43)ω˙=ff+gfΜC+d2(44)其中Ω=[α,β,σ]T為姿態(tài)角向量,ω=[p,q,r]T為姿態(tài)角速度向量,MC=[Lctrl,Mctrl,Nctrl]T為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航方向上的控制力矩,由氣動(dòng)舵面和推力矢量共同產(chǎn)生。d1=Δfs+Δgs1ω+gs2δC,d2=Δff+ΔgfMC,Δfs,Δgs1,Δff,Δgf分別表示快慢回路中的氣動(dòng)參數(shù)變化而引起的系統(tǒng)內(nèi)部不確定。式(43)(44)各參數(shù)的具體含義見(jiàn)文獻(xiàn)。本文的設(shè)計(jì)任務(wù)為設(shè)計(jì)MC,并根據(jù)一定的分配算法映射成發(fā)動(dòng)機(jī)推力指令TC和舵面偏角指令δC使得ASV姿態(tài)角Ω在不確定和干擾的條件下,跟蹤期望的制導(dǎo)指令ΩC。ASV內(nèi)外回路的標(biāo)稱控制、線性時(shí)變狀態(tài)反饋控制以及閉環(huán)系統(tǒng)PD譜設(shè)計(jì)同文獻(xiàn),這里不再贅述。此處僅給出FDO的設(shè)計(jì)步驟。為了減小未知干擾及不確定對(duì)系統(tǒng)性能的影響,按照本文的方法設(shè)計(jì)FDO。定義ξ1=[∫αdt,∫βdt,∫σdt,α,β,σ]T,ξ2=[∫pdt,∫qdt,∫rdt,p,q,r]T。設(shè)ξij(i=1,2,j=1,…,6)的7個(gè)模糊集分別標(biāo)記為Aij1(NB),Aij2(NM),Aij3(NS),Aij4(ZE),Aij5(PS),Aij6(PM),Aij7(PB),對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)為μAijs(ξij)=exp{-[ξij+0.1(4-s)]2}(45)其中s=1,…,7,ξij為ξi的第j個(gè)元素。這里分別使用49個(gè)規(guī)則的模糊系統(tǒng)來(lái)逼近dim,其中dim(m=1,2,3)為di的第m個(gè)元素,規(guī)則如下Rstl:如果ξim是Aims且ξi,m+3是Aimt,則dim是Bimlm=1,2,3,s,t=1,…,7,l=1,…,49模糊基函數(shù)為φi(ξi)=[φi1Τ(ξi),φi2Τ(ξi),φi3Τ(ξi)]T,其中φim(ξi)=[φim1(ξi),…,φim49(ξi)]T,式中各分量分別為φim1(ξi)=μAim1(ξim)μAi,m+31(ξi,m+3)/Ζim?φim49(ξi)=μAim7(ξim)μAi,m+37(ξi,m+3)/Ζim其中Ζim=∑s,t=17μAims(ξim)μAi,m+3t(ξi,m+3)。因此,內(nèi)外回路總的控制輸入分別為ωc=ωˉ+Κ1(t)e1-G10(θ^1Τφ1(ξ1)+vr1)(46)ΜC=Μˉ+Κ2(t)e2-G20(θ^2Τφ2(ξ2)+vr2)(47)其中G10=gs1-1,G20=gf-1。5氣動(dòng)參數(shù)不確定時(shí),tlc方法的仿真曲線為本文假設(shè)ASV做高超聲速巡航飛行,飛行速度為15Mach,飛行高度為33.5Km,質(zhì)量為136000Kg,推力為208KN。ASV作動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性的傳遞函數(shù)形式為50/(s+5