【解析】浙江省寧波市余姚中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

余姚中學(xué)2019學(xué)年第二學(xué)期期中考高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題在上取最大值時(shí)，的值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令得，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得最大值的的值為，故選B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.【點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般從極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處取得，解答的基本思路是先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，看能否找到所需要的最值點(diǎn)，否則求出極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，來(lái)找到所需要的最值點(diǎn)和最值,本題中只需要研究在上的單調(diào)性，就能找到極大值點(diǎn)也就是最大值點(diǎn).的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題中，要注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是（）．A.假設(shè)，證明命題成立B.假設(shè)（是正奇數(shù)），證明命題成立C.假設(shè)，證明命題成立D.假設(shè)（是正奇數(shù)），證明命題成立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是正奇數(shù)的條件，依次判斷選項(xiàng)中的假設(shè)是否滿足正奇數(shù)，由此得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，表示除以外的所有正整數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)（是正奇數(shù)）時(shí)，表示正偶數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不包含，且表示正偶數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)（是正奇數(shù)）時(shí)，表示下一個(gè)正奇數(shù)，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.被9除的余數(shù)為（）A. B.1 C.8 D.【答案】C【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，利用二項(xiàng)式定理，即可得解.【詳解】可以被9整除，所以被9除的余數(shù)為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理解決余數(shù)問(wèn)題，將原式變形為是本題的解題關(guān)鍵，屬于中檔題.5.6名同學(xué)合影留念，站成兩排三列，則其中甲乙兩人不在同一排也不在同一列的站隊(duì)種數(shù)為（）A.288 B.144 C.360 D.180【答案】A【解析】【分析】由題意可知，分三步完成：第一步先排甲，第二步在與甲所選位置不在同一排也不在同一列的位置中，任選一個(gè)安排乙，第三步將剩下4人安排其余的位置上，再由分步原理可求得結(jié)果.【詳解】解：由題意知分三步：第一步，先安排甲，在6個(gè)位置中任選一個(gè)即，有種選法；第二步，在與甲所選位置不在同一排也不在同一列的位置中，任選一個(gè)安排乙，有種選法；第三步，將剩下4人安排其余的位置上，有種安排方法由分步原理可知，甲乙兩人不在同一排也不在同一列的站隊(duì)種數(shù)為種故選：A【點(diǎn)睛】此題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意要優(yōu)先分析受限制的元素，屬于基礎(chǔ)題.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，故可通過(guò)求展開(kāi)式中的的系數(shù)來(lái)求常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，又的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選A.【點(diǎn)睛】三項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)的系數(shù)，可以利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法求出指定項(xiàng)的系數(shù)，也可以把三項(xiàng)代數(shù)式變形為兩項(xiàng)代數(shù)式，再利用二項(xiàng)式定理求出指定項(xiàng)的系數(shù).，則、、與1的大小關(guān)系為（）A.沒(méi)有一個(gè)小于1 B.至多有一個(gè)不小于1C.都不小于1 D.至少有一個(gè)不小于1【答案】D【解析】【分析】通過(guò)反例可排除；采用反證法，利用和，結(jié)合不等式的性質(zhì)可證得，由此知正確.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，則，，，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，，，可知錯(cuò)誤；假設(shè)，，，由得：，即…①，由得：，即…②，由①得：…③，由②③得：，，由③得：…④，由②④得：，，，，與矛盾，可知至少有一個(gè)不小于，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式的性質(zhì)判斷大小關(guān)系的問(wèn)題；解決此類問(wèn)題比較快捷的方法是采用排除法得到正確結(jié)果；解題關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用絕對(duì)值不等式的解法和不等式的性質(zhì)，采用反證法的方式確定正確結(jié)論.8.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)的概率為A. B. C. D.【答案】B【解析】質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過(guò)程中向右移動(dòng)2次向上移動(dòng)3次，因此質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)的概率為．是定義在上奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，有的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合可確定在上的解集；根據(jù)奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，在上的解集為，即在上解集為；又為上的奇函數(shù)，，為上的偶函數(shù)，在上的解集為，即在上的解集為；當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)確定不等式的解集.與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，則切線方程；設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，則切線方程為，所以有∵，∴．又，令，∴．設(shè)，則，∴在(0，2)上為減函數(shù)，則，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力，運(yùn)算能力，創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程，分類與整合，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題，由切線方程可得，分離參數(shù)，得到關(guān)于的函數(shù)，求出的取值范圍即可，因此正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.二、填空題11.如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．【答案】2；2【解析】；．的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____；各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】(1).(2).0【解析】【分析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，可得含項(xiàng)的系數(shù)，令可得各項(xiàng)系數(shù)之和.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為所以含項(xiàng)的系數(shù)為設(shè)令得所以各項(xiàng)系數(shù)之和為0故答案為：(1).(2).0【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的指定項(xiàng)的系數(shù)和所有項(xiàng)的系數(shù)之和，屬于基礎(chǔ)題.13.某同學(xué)從家中騎自行車去學(xué)校，途中共經(jīng)過(guò)5個(gè)紅綠燈路口．如果他恰好遇見(jiàn)2次紅燈，則這2次紅燈的不同的分布情形共有______種；如果他在每個(gè)路口遇見(jiàn)紅燈的概率均為，用示他遇到紅燈的次數(shù)，則______.（用數(shù)字作答）【答案】(1).10(2).【解析】【分析】先用組合數(shù)表示出所有的分布情況，計(jì)算出結(jié)果即可；隨機(jī)變量，再利用二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望的方法求解即可.【詳解】解：經(jīng)過(guò)5個(gè)紅綠燈路口，恰好遇見(jiàn)2次紅燈的分布情形有種；因?yàn)殡S機(jī)變量，所以故答案為：10；【點(diǎn)睛】此題考查了組合數(shù)的應(yīng)用和二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.，則______；______．（用數(shù)字作答）【答案】(1).16(2).81【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，再利用二項(xiàng)式定理，即可求得；將已知等式兩邊分別求導(dǎo)，令，即可求出的值.【詳解】，展開(kāi)后含有的項(xiàng)為，所以；，等號(hào)兩邊分別求導(dǎo)，得，令，得，即.故答案為：16；81.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中涉及到導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.“賦值法”是一種處理二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和的常用方法，根據(jù)題意給變量合理賦值是本題的解題關(guān)鍵.15.北京《財(cái)富》全球論壇期間，某高校有8名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必須值一班且只值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為_(kāi)_____.【答案】2940【解析】【分析】根據(jù)題意，有兩類分配方案，第一類：2，2，4三組，第二類：2，3，3三組，分別求得排班種數(shù)，再利用分類計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】由8名志愿者，根據(jù)早、中、晚三班，且每班至少2人，分為3組.第一類：2，2，4三組，共有種，第二類：2，3，3三組，共有種，所以每人每天必須值一班且只值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù).故答案為：2940【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合中的分組分配問(wèn)題，還考查了分析求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.16.某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有______種.（用數(shù)字作答）【答案】120【解析】【分析】由題意，6個(gè)部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，從同顏色的花入手分類來(lái)求，最后利用分類加法計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】由題意，6個(gè)部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，若2、5同色，則3、6同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；若2、4同色，則3、6同色，所以共有種栽種方法；若3、5同色，則2、4同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；所以共有種栽種方法.故答案為：120【點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析能力和分類討論的思想，屬于中檔題.，函數(shù)，若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的實(shí)根，即令在當(dāng)時(shí)，所以要有兩個(gè)交點(diǎn)則故答案為點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)，參數(shù)分離是常用的處理方法,屬于中檔題.三．解答題滿足，，（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【答案】（1），，，猜想；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式即可得，，的值，根據(jù)，，的值可猜想的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.【詳解】解:（1）由題可得；，，，猜想．（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，猜想成立；②假設(shè)時(shí)，等式也成立，即．則時(shí)．即時(shí)也猜想成立.由①②知等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題.a是實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）若，求a的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，計(jì)算可得和，根據(jù)點(diǎn)斜式即得在點(diǎn)處的切線方程；（2）由導(dǎo)數(shù)，令，可得，，討論的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】（1）.因?yàn)?，所?又當(dāng)時(shí)，，，則切點(diǎn)坐標(biāo)，斜率為3，所以曲線在處的切線方程為化簡(jiǎn)得.（2），令，解得，.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，從而.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而.當(dāng)，即，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，以及研究含參數(shù)的函數(shù)的最大值，屬于中檔題.20.由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字．（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（3）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)？（4）組成無(wú)重復(fù)數(shù)字四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)？【答案】解：（1）；(2)；(3)；(4)【解析】（1）由題意知，因?yàn)閿?shù)字中有0，0不能放在首位，先安排首位的數(shù)字，從五個(gè)非0數(shù)字中選一個(gè)，共有種結(jié)果，余下的五個(gè)數(shù)字在五個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有種結(jié)果，根據(jù)乘法原理得到結(jié)果．（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù),只要末尾是偶數(shù)，首位不能為零，對(duì)于特殊位置優(yōu)先安排可得（3）被25整除的數(shù)字包括兩種情況，一是最后兩位是25，需要先從余下的非0數(shù)字中選一個(gè)做首位，剩下的三個(gè)數(shù)字選一個(gè)放在第二位，二是最后兩位數(shù)字是50，共有種結(jié)果，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．（4）當(dāng)首位是5時(shí)，其他幾個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置上排列，當(dāng)首位是4時(shí)，第二位從1，2，3，5四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，后兩位沒(méi)有限制，當(dāng)前兩位是40時(shí)，當(dāng)前三位是403時(shí)，分別寫出結(jié)果數(shù)，相加得到結(jié)果．解：（1）………………3分(2)……………………6分(3)……………9分(4)…………………12分21.某學(xué)生參加某高校的自主招生考試，須依次參加A、B、C、D、E五項(xiàng)考試，如果前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)不合格或第五項(xiàng)不合格，則該考生就被淘汰，考試即結(jié)束；考生未被淘汰時(shí)，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項(xiàng)測(cè)試都是相互獨(dú)立的，該生參加A、B、C、D四項(xiàng)考試不合格的概率均為，參加第五項(xiàng)不合格的概率為（1）求該生被錄取的概率；（2）記該生參加考試的項(xiàng)數(shù)為，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】（1）若該生被錄取，則前四項(xiàng)最多有一項(xiàng)不合格，并且第五項(xiàng)必須合格記A={前四項(xiàng)均合格}，B={前四項(xiàng)中僅有一項(xiàng)不合格}則又A、B互斥，故所求概率為，所以該生被錄取的概率是；（2）該生參加考試的項(xiàng)數(shù)可以是2，3，4，5.，，2345考點(diǎn)：本題考查了隨機(jī)變量的概率與期望點(diǎn)評(píng)：本題考查了隨機(jī)事件的概率及隨機(jī)變量的分布列、期望的綜合運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，掌握求分布列的步驟及期望公式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）0.【解析】分析】（1）根據(jù)建立關(guān)于的方程求出的值.（2）本小題實(shí)質(zhì)是在區(qū)間上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立,然后再討論和兩種情況研究.（3）時(shí)，方程可化為,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間極值最值，從而求出值域，問(wèn)題得解.【詳解】解：（1）因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn)，所以，即，解得.又當(dāng)時(shí)