2023-2024學年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學校九年級（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學校九年級（上）開學數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.對角線互相垂直平分的四邊形是(

)A.平行四邊形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形2.如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是(

)

A.30° B.60° C.90° D.120°3.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AB=6，∠AOD=120°，則AC的長為(

)

A.6 B.9 C.12 D.64.要使分式4xx?5有意義，則x的取值范圍是(

)A.x≠0 B.x≠?5 C.x≠5 D.x>55.如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，正方形ABCD中的頂點B，D的坐標分別是(0,0)，(2,0)，且A，C兩點關(guān)于x軸對稱，則C點對應(yīng)的坐標是(

)

A.(1,1) B.(1,?1) C.(1,?2) D.(2,?2)6.已知菱形的面積為120cm2，一條對角線長為10cm，則這個菱形的周長為cm．(

)A.13 B.24 C.52 D.607.下列命題中，真命題是(

)A.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線相等的四邊形是矩形8.如圖，平行四邊形ABCD，從下列四個條件①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，不能確定平行四邊形ABCD為正方形的是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.②④9.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊中點，則以下說法錯誤的是(

)A.△BDE和△DCF的面積相等

B.四邊形AEDF是平行四邊形

C.若AB=BC，則四邊形AEDF是菱形

D.若∠A=90°，則四邊形AEDF是矩形

10.如圖，在矩形AOBC中，O為坐標原點，OA、OB分別在x軸、y軸上，點B的坐標為(0,33)，∠ABO=30°，將△ABC沿AB所在直線對折后，點C落在點D處，則點D的坐標為(

)A.(32,323)

二、填空題（本大題共6小題，共24分）11.因式分解：a3?a=

．12.若一個正方形的對角線的長為6cm，則這個正方形的面積是______cm2．13.菱形的周長為20?cm，兩鄰角的比為2：1，則較短的對角線的長為______cm．14.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E為BC中點，則與OE相等的線段有______．

15.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC，則∠BCE的度數(shù)是______．

16.如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AD=23，∠COB=60°，BF⊥AC，交AC于點M，交CD于點F，延長FO交AB于點E，則下列結(jié)論：①FO=FC；②四邊形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB=3.其中結(jié)論正確的是______．三、解答題（本大題共8小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題6.0分)

解不等式組：2x?1<x+1x?43≤x并把它的解集表示在數(shù)軸上．

18.(本小題6.0分)

先化簡，再求值：[(x+2y)2?(3x+y)(3x?y)?5y2]÷(2x)19.(本小題6.0分)

已知：如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上的一點，F(xiàn)為BC的延長線上一點，且CE=CF.△BCE與△DCF全等嗎？請說明理由．20.(本小題8.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE=AB，連接BE．

(1)尺規(guī)作圖：作∠A的平分線AF交BC于F，交BE于G(不需要寫作圖過程，保留作圖痕跡)；

(2)若BE=8，AB=5，求AF的長．21.(本小題8.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，兩條對角線相交于點O，EF經(jīng)過O且垂直于AC，分別與邊AD、BC交于點F、E．

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=45°，求平行四邊形的面積；

(3)在(2)的條件下求菱形AECF的周長．22.(本小題8.0分)

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于O點，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．

(1)求證：OE=OF；

(2)若BC=23，求AB23.(本小題14.0分)

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN//AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

(1)求證：CE=AD；

(2)當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．

24.(本小題14.0分)

已知正方形ABCD的邊長為4..

(1)如圖1，點P在直線AD上運動，連接PC，將線段PC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE．

①若點P與A重合，則BE=______．

②若BE=9，求AP的長．

(2)如圖2，點P在邊AD上(P不與A，D重合)運動，且PA>PD，連接PB、PC.將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PM，將線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PN，設(shè)PD=x，MN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，正方形的對角線互相垂直平分性質(zhì)進行分析從而得到正確答案．

本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【解答】

解：A、不正確，平行四邊形的對角線不一定互相垂直；

B、不正確，矩形的對角線不一定互相垂直；

C、不正確，矩形的對角線不一定互相垂直；

D、正確，兩者的對角線均具有此性質(zhì)；

故選D．2.【答案】C

解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，

所以，∠1+∠2=90°．

故選：C．

根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答．

本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.【答案】C

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO．

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=60°．

∴△AOB是等邊三角形．

∴AO=AB=6，

∴AC=2AO=12，

故選：C．

依據(jù)矩形的性質(zhì)可知△AOB是等邊三角形，所以AO=AB=6，則AC=2AO=12．

本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形中對角線相等且互相平分，進而得到等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．4.【答案】C

解：∵x?5≠0，

∴x≠5．

故選：C．

根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0即可得出答案．

本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不等于0是解題的關(guān)鍵．5.【答案】B

解：∵A，C兩點關(guān)于x軸對稱

∴AC和BD互相垂直平分

∴BD=2

∴AC=2

∵點C在第四象限

∴點C的坐標為：(1,?1)

故選B．

因為正方形ABCD，所以AC和BD互相垂直平分，易知BD=2，則AC=2，而點C在第四象限，所以點C的坐標為：(1,?1)．

本題考查了對角線的性質(zhì)：正方形的對角線相等且互相垂直平分，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．6.【答案】C

解：∵菱形的一條對角線長為10cm，面積為120cm2，

∴另一對角線長為120×210=24(cm)，

根據(jù)勾股定理，菱形的邊長為122+52=13(cm)，則菱形的周長7.【答案】A

解：A、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是正確的，符合題意；

B、兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形，錯誤，不符合題意；

C、兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形，錯誤，不符合題意；

D、兩條對角線相等的四邊形是矩形，錯誤，不符合題意．

故選：A．

分別根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可．

此題考查的是命題與定理，正確把握矩形、菱形、正方形以及平行四邊形的區(qū)別是解題關(guān)鍵．8.【答案】B

解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，

當②∠ABC=90°時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；

B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，

當AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項錯誤，符合題意；

C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，

當③AC=BD時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；

D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，

當④AC⊥BD時，矩形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意．

故選：B．

利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別，結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出即可．

此題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．9.【答案】C

解：A.連接EF，

∵D、E、F分別是△ABC各邊中點，

∴EF/?/BC，BD=CD，

設(shè)EF和BC間的距離為?，

∴S△BDE=12BD??，S△DCE=12CD??，

∴S△BDE=S△DCF，

故本選項不符合題意；

B.∵D、E、F分別是△ABC各邊中點，

∴DE/?/AC，DF/?/AB，

∴DE/?/AF，DF/?/AE，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

故本選項不符合題意；

C.∵D、E、F分別是△ABC各邊中點，

∴DE=12AC，DF=12AB，EF=12BC

若AB=BC，則DF=EF，無法判斷DE與DF是否相等，

∴10.【答案】A

解：∵四邊形AOBC是矩形，∠ABO=30°，點B的坐標為(0,33)，

∴AC=OB=33，∠CAB=30°，

∴BC=AC?tan30°=33×33=3，

∵將△ABC沿AB所在直線對折后，點C落在點D處，

∴∠BAD=30°，AD=33，

過點D作DM⊥x軸于點M，

∵∠CAB=∠BAD=30°，

∴∠DAM=30°，

∴DM=12AD=332，

11.【答案】a(a+1)(a?1)

【解析】【分析】

此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．

原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】

解：原式=a(a2?1)=a(a+1)(a?1)，

12.【答案】18

解：∵正方形的對角線長為6cm，

∴正方形面積為12×6×6=18cm2，

故答案為：18．13.【答案】5

解：因為兩鄰角的比為2：1，得到菱形的較小的角為60°，可得較短的對角線與菱形的兩鄰邊組成等邊三角形．則較短的對角線的長為等于菱形的邊長20÷4=5cm．

故答案為5

根據(jù)已知可求得較小的內(nèi)角為60°，從而可得到較短的對角線與菱形的一組邊組成一個等邊三角形，則較短的對角線的長等于菱形的邊長．

此題主要考查的知識點：(1)菱形的兩個鄰角互補；(2)菱形的四邊相等；(3)等邊三角形的判定：有一角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．14.【答案】EC、EB

解：∵菱形對角線垂直平分

∴△OCD為直角三角形，

∵E為CD的中點，

∴OE=12CD=EC=EB．

故答案為EC、EB．

根據(jù)菱形對角線垂直平分的性質(zhì)，可以得△OCD為直角三角形，又由E為CD的中點，可得OE=15.【答案】22.5°

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CAE=45°=∠ACB．

∵AE=AC，

∴∠ACE=(180°?45°)÷2=67.5°．

∴∠BCE=∠ACE?∠ACB=67.5°?45°=22.5°．

故答案為22.5°．

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CAE=∠ACB=45°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠ACE度數(shù)，最后用∠BCE=∠ACE?45°即可．

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決正方形的角度問題一般會涉及對角線平分對角得到45°．16.【答案】①②③④

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∴OA=OC=OD=OB，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

∵BF⊥AC，

∴OM=MC，

∴FM是OC的垂直平分線，

∴FO=FC，故①正確；

∵OB=CB，F(xiàn)O=FC，F(xiàn)B=FB，

∴△OBF≌△CBF(SSS)，

∴∠FOB=∠FCB=90°，

∵∠OBC=60°，

∴∠ABO=30°，

∴∠OBM=∠CBM=30°，

∴∠ABO=∠OBF，

∵AB/?/CD，

∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，∠AOE=∠FOC，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF，

∵OB⊥EF，

∴四邊形EBFD是菱形，故②正確；

∵△OBE≌△OBF≌△CBF，

∴③正確；

∵BC=AD=23，F(xiàn)M⊥OC，∠CBM=30°，

∴BM=3，故④正確；

故答案為：①②③④．

根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出△OBC是等邊三角形，進而判斷①正確；根據(jù)ASA證明△AOE與△COF全等，進而判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可．17.【答案】解：2x?1<x+1①x?43≤x②，

解不等式①得：x<2，

解不等式②得：x≥?2，

∴原不等式組的解集為：?2≤x<2，

該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【解析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答．

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2?9x2+y2?5y2)÷2x

=(?8x2+4xy)÷2x【解析】先計算括號內(nèi)的乘方和乘法，再合并括號內(nèi)的同類項，最后計算除法即可得．

本題主要考查整式的化簡求值能力，熟練掌握整式的混合運算順序及運算法則是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：△BCE≌△DCF，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=90°，

則：∠BCE=∠DCF=90°

在△BCE與△DCF中，

BC=DC∠BCD=∠DCFCE=CF，

∴△BCE≌△DCF(SAS)【解析】利用正方形的性質(zhì)即可得到△BCE與△DCF全等的條件，在利用SAS可證其全等．

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握并靈活運用正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20.【答案】解：(1)射線AF如圖所示．

(2)∵AE=AB，AF平分∠BAE，

∴AG⊥BE，

∴EG=BG=4，

在Rt△AGB中，∵AB=5，BG=4，

∴AG=52?42=3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD/?/BC，

∴∠EAG=∠AFB，

∵AF平分∠BAE，

∴∠EAF=∠BAF，

∴∠EAF=∠BAG=∠AFB，

∴BA=BF，

∵BG⊥AF，

【解析】本題考查作圖?基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

(1)利用尺規(guī)作出∠BAD的角平分線即可．

(2)利用勾股定理求出AG，證明BA=BF，AG=GF即可解決問題．21.【答案】(1)證明：∵EF是對角線AC的垂直平分線，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD/?/BC，

∴∠EAC=∠FCA，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴AF=CE，

∵AF=CF，AE=CE，

∴AE=EC=CF=AF，

∴四邊形AECF為菱形；

(2)解：過C作CH⊥AD于H，

則∠CHD=∠CHF=90°，

∵∠ADC=45°，

∴△CDH是等腰直角三角形，

∴CH=DH=22CD=1，

∴平行四邊形ABCD是面積=AD×CH=3×1=3；

(3)解：∵AD=3，DH=1，

∴AH=2，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AF=CF，

設(shè)AF=CF=x，則FH=2?x，

在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，

即x2=(2?x)【解析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=CF，AE=CE，再證△AOF≌△COE，得AF=CE，則AE=EC=CF=AF，即可得出結(jié)論；

(2)證△CDH是等腰直角三角形，得CH=DH=1，由平行四邊形的面積可求解；

(3)先求AH=2，由菱形的性質(zhì)得AF=CF，設(shè)AF=CF=x，則FH=2?x，在Rt△CHF中，由勾股定理得出方程，解方程，進而求解即可．

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．22.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB/?/CD，

∴∠BAC=∠FCO．

在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠COF，AE=CF，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE=OF．

(2)解：如圖，連接OB．

∵BE=BF，OE=OF，

∴BO⊥EF，

在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°．

∵△AOE≌△COF，

∴OA=OC．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°

∴OA=OB=OC，

∴∠BAC=∠ABO．

∵∠BEF=2∠BAC，∠BEF+∠ABO=90°，

∴2∠BAC+∠BAC=90°，

∴∠BAC=30°．

∵BC=23，

∴AC=2BC=43，

【解析】(1)仔細審題，根據(jù)矩形的對邊平行可得AB/?/CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，即可證明OE=OF；

(2)連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到直角三角形，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知即可得到∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，接下來運用勾股定理即可求出AB的長．

此題考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．23.【答案】(1)證明：∵DE⊥BC．

∴∠DFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC/?/DE，

∵MN/?/AB，即CE/?/AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD．

(2)解：四邊形BECD是菱形．

理由是：∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE．

∵BD/?/CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形．

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴平行四邊形BECD是菱形．

(3)解：當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC．

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

【解析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

(1)先證出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

(2)先證明四邊形BECD是平行四邊形，再證明CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；

(3)證出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．24.【答案】4解：(1)①當點P與點A重合時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=EC，∠ACE=90°，

過點E作BC的垂線交BC的延長線于F，則∠AFE=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為4，

∴∠BCA=∠DCA=45°，∠ABC=∠D=90°，AB=BC=CD=4，

∴∠DCE=∠ACE?∠DCA=45°，

∴∠ECF=∠DCF?∠DCE=45°，

∴∠ECF=∠ACB=45°，

在△ABC和△ECF中，

∠ECF=∠ACB=45°∠F=∠ABC=90°AC=EC，

∴△ABC≌△ECF(AAS)，

∴CF=BC=4，EF=AB=4，

∴BF=BC+CF=8，

在Rt△BEF中，BF=8，EF=4，

由勾股定理得：BE=BF2+EF2=45．

②∵點P在直線AD上運動，

∴有以下兩種情況：

(i)當點P在DA的延長線上時，設(shè)AP=a，

過點E作BC的垂線交BC的延長線于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：EC=CP，∠PCE=90°，

∴∠F=∠D=90°，EF//CD，

∴∠P+∠PCD=90°，∠PCD+∠DCE=90°，∠CEF=∠DCE，

∴∠P=∠CEF，

在△CEF和△CPD中，

∠P=∠CEF∠F=∠D=90°EC=CP，

∴△CEF≌△CPD(AAS)，

∴EF=DP=4+a，CF=CD=4，

∴BF=BC+CF=8，

在Rt△BEF中，EF=a+4，BF=8，BE=9，

由勾股定理得：EF2=BE2?BF2，

即：(a+4)2=92?82=17，

∴a+4=±17，

∴a=17?4或a=?17?4<0(不合題意，舍去)，

∴AP=a=17?4．

(ii)當點P在AD的延長線上時，

過點E作BC的垂線交BC的延長線于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：EC=CP，∠PCE=90°，

∴∠ECF+∠PCF=90°，∠PCD+∠PCF=90°，

∴∠ECF=∠PCD，