《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》（陽(yáng)平華）645-4教案 第六章 第26課 反常積分

26第26第課反常積分反常積分反常積分第課26PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9反常積分反常積分第課26

課題反常積分課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解無(wú)窮限的反常積分，并掌握其應(yīng)用。（2）理解無(wú)界函數(shù)的反常積分，并掌握其應(yīng)用。思政育人目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)窮限的反常積分和無(wú)界函數(shù)的反常積分，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹(shù)立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮限的反常積分的定義、無(wú)界函數(shù)的反常積分的定義教學(xué)難點(diǎn)：無(wú)窮限的反常積分的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識(shí)講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（33min）【教師】講解反常積分的概念前面討論的定積分，其積分區(qū)間為有限區(qū)間，且在定積分存在的條件下被積函數(shù)在上是有界的．可是在很多實(shí)際問(wèn)題中會(huì)遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上是無(wú)界的定積分，這樣的積分稱為反常積分或廣義積分．本節(jié)將通過(guò)定積分對(duì)這兩種情形的反常積分進(jìn)行討論．【教師】講解無(wú)窮限的反常積分，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分，記作，即．這時(shí)也稱反常積分收斂．如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散．這時(shí)反常積分僅僅是個(gè)記號(hào)，不表示任何數(shù)值．由定義可知，我們討論反常積分的斂散性，實(shí)際上就是考察變上限積分，當(dāng)時(shí)的極限是否存在．若在上為非負(fù)的，且反常積分收斂，則的值從幾何上可以解釋為由曲線與直線及軸所圍成的向右無(wú)限延伸區(qū)域的面積，如圖6-9所示．圖6-9類似地，可定義在上的反常積分為．而在上的反常積分為．其中，為任意實(shí)數(shù)．當(dāng)反常積分和同時(shí)收斂時(shí)，則稱反常積分收斂；當(dāng)和中一個(gè)發(fā)散或兩個(gè)均發(fā)散時(shí)，則稱反常積分發(fā)散．設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù)，則記，于是有．類似地，若記，則，．例1計(jì)算反常積分．解盡管這樣做，結(jié)果是對(duì)的，但其方法是錯(cuò)誤的．原因是該解題過(guò)程沒(méi)有按照反常積分的定義中所規(guī)定的方法做．正確做法是：先用某有限數(shù)，一般取0把積分拆成兩部分，然后再討論各部分的斂散性，如果它們均收斂，反常積分才收斂．，因?yàn)樗裕此蠓e分收斂．上述反常積分值的幾何意義：位于曲線的下方、軸上方的圖形的面積，當(dāng)，時(shí)，陰影部分向左、右無(wú)限延伸，但其面積卻是有限值，如圖6-10所示．圖6-10例2計(jì)算積分．解法一

不論還是，都趨于正無(wú)窮．那么這里無(wú)窮大減無(wú)窮大的結(jié)果是什么？判斷不了．解法二利用被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間是以原點(diǎn)為心的對(duì)稱區(qū)間的特性，得．因此所給積分收斂．上述兩種方法都是錯(cuò)誤的．正確做法是，而第一部分已經(jīng)發(fā)散，故沒(méi)有必要再計(jì)算第二部分．同樣有．故該積分發(fā)散．例3討論反常積分的斂散性．解當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，此反常積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，此反常積分發(fā)散．【學(xué)生】理解無(wú)窮限的反常積分的定義，并掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)無(wú)窮限的反常積分，及其應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（20min）【教師】講解無(wú)界函數(shù)的反常積分，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用定義2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界．取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，仍然記作，即．這時(shí)也稱反常積分收斂．如果上述極限不存在，就稱反常積分發(fā)散．類似地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無(wú)界．取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，仍然記作，即．這時(shí)也稱反常積分收斂．如果上述極限不存在，就稱反常積分發(fā)散．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上除點(diǎn)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的任意鄰域內(nèi)無(wú)界．如果兩個(gè)反常積分與都收斂，則收斂，且定義．如果兩個(gè)反常積分與有一個(gè)發(fā)散，則稱反常積分發(fā)散．如果函數(shù)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界，那么點(diǎn)a稱為函數(shù)的瑕點(diǎn)．故無(wú)界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分．如果為的原函數(shù)，當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)，則有，可采用如下簡(jiǎn)記形式．類似地，當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)，有．當(dāng)為瑕點(diǎn)時(shí)，有例4計(jì)算反常積分．解因?yàn)?，所以為函?shù)的瑕點(diǎn)．這個(gè)反常積分值的幾何意義：位于曲線之下、軸之上，直線與之間的圖形面積，如圖6-11所示．圖6-11例5討論反常積分的斂散性．解函數(shù)在區(qū)間上除外連續(xù)，且．由于，反常積分發(fā)散，所以反常積分發(fā)散．例6討論反常積分的斂散性．解當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，此反常積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，此反常積分發(fā)散．【學(xué)生】理解無(wú)界函數(shù)的反常積分的定義，并掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)無(wú)界函數(shù)的反常積分，及其應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問(wèn)題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問(wèn)題1．反常積分的幾何意義是什么？2．兩類反常積分能否相互轉(zhuǎn)換？3．下面的計(jì)算是否正確？為什么？．【學(xué)生】討論、發(fā)言通過(guò)課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了無(wú)窮限的反常積分和無(wú)界函數(shù)的反常積分的相關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用。課后大家要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題6.4總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象教學(xué)反思本節(jié)課由于對(duì)所講知識(shí)中重點(diǎn)和