《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》（陽平華）645-4教案 第六章 第26課 反常積分

26第26第課反常積分反常積分反常積分第課26PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9反常積分反常積分第課26

課題反常積分課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解無窮限的反常積分，并掌握其應(yīng)用。（2）理解無界函數(shù)的反常積分，并掌握其應(yīng)用。思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)窮限的反常積分和無界函數(shù)的反常積分，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：無窮限的反常積分的定義、無界函數(shù)的反常積分的定義教學(xué)難點(diǎn)：無窮限的反常積分的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識(shí)講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（33min）【教師】講解反常積分的概念前面討論的定積分，其積分區(qū)間為有限區(qū)間，且在定積分存在的條件下被積函數(shù)在上是有界的．可是在很多實(shí)際問題中會(huì)遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上是無界的定積分，這樣的積分稱為反常積分或廣義積分．本節(jié)將通過定積分對(duì)這兩種情形的反常積分進(jìn)行討論．【教師】講解無窮限的反常積分，并通過例題介紹其應(yīng)用定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即．這時(shí)也稱反常積分收斂．如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散．這時(shí)反常積分僅僅是個(gè)記號(hào)，不表示任何數(shù)值．由定義可知，我們討論反常積分的斂散性，實(shí)際上就是考察變上限積分，當(dāng)時(shí)的極限是否存在．若在上為非負(fù)的，且反常積分收斂，則的值從幾何上可以解釋為由曲線與直線及軸所圍成的向右無限延伸區(qū)域的面積，如圖6-9所示．圖6-9類似地，可定義在上的反常積分為．而在上的反常積分為．其中，為任意實(shí)數(shù)．當(dāng)反常積分和同時(shí)收斂時(shí)，則稱反常積分收斂；當(dāng)和中一個(gè)發(fā)散或兩個(gè)均發(fā)散時(shí)，則稱反常積分發(fā)散．設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù)，則記，于是有．類似地，若記，則，．例1計(jì)算反常積分．解盡管這樣做，結(jié)果是對(duì)的，但其方法是錯(cuò)誤的．原因是該解題過程沒有按照反常積分的定義中所規(guī)定的方法做．正確做法是：先用某有限數(shù)，一般取0把積分拆成兩部分，然后再討論各部分的斂散性，如果它們均收斂，反常積分才收斂．，因?yàn)樗?，即所求積分收斂．上述反常積分值的幾何意義：位于曲線的下方、軸上方的圖形的面積，當(dāng)，時(shí)，陰影部分向左、右無限延伸，但其面積卻是有限值，如圖6-10所示．圖6-10例2計(jì)算積分．解法一

不論還是，都趨于正無窮．那么這里無窮大減無窮大的結(jié)果是什么？判斷不了．解法二利用被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間是以原點(diǎn)為心的對(duì)稱區(qū)間的特性，得．因此所給積分收斂．上述兩種方法都是錯(cuò)誤的．正確做法是，而第一部分已經(jīng)發(fā)散，故沒有必要再計(jì)算第二部分．同樣有．故該積分發(fā)散．例3討論反常積分的斂散性．解當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，此反常積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，此反常積分發(fā)散．【學(xué)生】理解無窮限的反常積分的定義，并掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)無窮限的反常積分，及其應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（20min）【教師】講解無界函數(shù)的反常積分，并通過例題介紹其應(yīng)用定義2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界．取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，仍然記作，即．這時(shí)也稱反常積分收斂．如果上述極限不存在，就稱反常積分發(fā)散．類似地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無界．取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，仍然記作，即．這時(shí)也稱反常積分收斂．如果上述極限不存在，就稱反常積分發(fā)散．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上除點(diǎn)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的任意鄰域內(nèi)無界．如果兩個(gè)反常積分與都收斂，則收斂，且定義．如果兩個(gè)反常積分與有一個(gè)發(fā)散，則稱反常積分發(fā)散．如果函數(shù)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么點(diǎn)a稱為函數(shù)的瑕點(diǎn)．故無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分．如果為的原函數(shù)，當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)，則有，可采用如下簡(jiǎn)記形式．類似地，當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)，有．當(dāng)為瑕點(diǎn)時(shí)，有例4計(jì)算反常積分．解因?yàn)?，所以為函?shù)的瑕點(diǎn)．這個(gè)反常積分值的幾何意義：位于曲線之下、軸之上，直線與之間的圖形面積，如圖6-11所示．圖6-11例5討論反常積分的斂散性．解函數(shù)在區(qū)間上除外連續(xù)，且．由于，反常積分發(fā)散，所以反常積分發(fā)散．例6討論反常積分的斂散性．解當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，此反常積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，此反常積分發(fā)散．【學(xué)生】理解無界函數(shù)的反常積分的定義，并掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)無界函數(shù)的反常積分，及其應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．反常積分的幾何意義是什么？2．兩類反常積分能否相互轉(zhuǎn)換？3．下面的計(jì)算是否正確？為什么？．【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了無窮限的反常積分和無界函數(shù)的反常積分的相關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用。課后大家要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題6.4總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象教學(xué)反思本節(jié)課由于對(duì)所講知識(shí)中重點(diǎn)和