層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)課件

AHP、ANP、熵值法其中，AHP、ANP既是一種評價方法，但更常用來計算指標權(quán)重。而熵值法則是一種根據(jù)指標反映信息可靠程度來確定權(quán)重的方法。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)一、AHP

層次分析法（AHP）是美國著名的運籌學(xué)家Satty等人在20世紀70年代提出的將一種定性和定量分析相結(jié)合的多準則決策方法。這一方法的特點是在對復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素以及內(nèi)在關(guān)系等進行深入分析之后，構(gòu)建一個層次結(jié)構(gòu)模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為求解多目標、多準則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題，提供一種簡便的決策方法。具體的說，它是指將決策問題的有關(guān)元素分解成目標、準則、方案等層次，用一種標度對人的主觀判斷進行客觀量化，在此基礎(chǔ)上進行定性和定量分析的一種決策方法。他把人的思維過程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)為分析、決策、預(yù)報或控制提供定量的依據(jù)。它尤其適合于人的定性判斷起主要作用的、對決策結(jié)果難于直接準確計量的場合。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)

應(yīng)用層次分析法時，首先要把問題層次化。根據(jù)問題的性質(zhì)和要達到的目標，將問題分解為不同組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響及其隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結(jié)構(gòu)模型。并最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為最底層，相對于最高層目標的相對重要性權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題。在排序計算中，每一層次的因素相對上一層次某一因素的單排序問題又可簡化為一系列成對因素的判斷比較。為了將比較判斷定量化，層次分析法引入了1-9標度法，并寫成判斷矩陣形式。形成判斷矩陣后，即可通過計算判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，計算出某一層對于上一層次某一個元素的相對重要性權(quán)值。在計算出某一層次相對于上一層次各個因素的單排序權(quán)值后，用上一層次因素本身的權(quán)值加權(quán)綜合，即可計算出層次總排序權(quán)值。總之，依次由上向下即可計算出最低層因素相對于最高層的相對重要性權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的排序值。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)AHP的模型與步驟假設(shè)某一企業(yè)經(jīng)過發(fā)展，有一筆利潤資金，要企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用。企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)經(jīng)過實際調(diào)查和員工建議，現(xiàn)有如下方案可供選擇：（1）作為獎金發(fā)給員工；（2）擴建員工宿舍、食堂等福利設(shè)施；（3）辦員工進修班；（4）修建圖書館、俱樂部等；（5）引進新技術(shù)設(shè)備進行企業(yè)技術(shù)改造。從調(diào)動員工工作積極性、提高員工文化技術(shù)水平和改善員工的物質(zhì)文化生活狀況來看，這些方案都有其合理因素。如何使得這筆資金更合理的使用，就是企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)所面臨需要分析的問題。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)（1）構(gòu)造層次分析結(jié)構(gòu)資金合理使用A調(diào)動職工積極性B1提高企業(yè)技術(shù)水平B2改善職工生活B3C1發(fā)獎金C2擴建福利設(shè)施C3辦職工進修班C4建圖書館等C5引進新設(shè)備目標層準則層方案層

每一層次中的元素一般不超過9個，因同一層次中包含數(shù)目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)（2）構(gòu)造判斷矩陣判斷矩陣的一般形式性質(zhì)：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1此時，矩陣為正反矩陣。若對于任意i、j、k，均有Cij*Cjk=Cik，則C為一致矩陣。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)1-9標度方法1/9i元素比j元素極端不重要91/7i元素比j元素強烈不重要81/5i元素比j元素明顯不重要71/3i元素比j元素稍不重要69i元素比j元素極端重要57i元素比j元素強烈重要45i元素比j元素明顯重要33i元素比j元素稍重要21i，j兩元素同等重要1Cij賦值重要性等級序號注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其間。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)對于上述例子，假定企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)對于資金使用這個問題的態(tài)度是：首先是提高企業(yè)技術(shù)水平，其次是改善員工物質(zhì)生活，最后是調(diào)動員工的工作積極性。則準則層對于目標層的判斷矩陣A-B為：AB1B2B3B111/51/3B2513B331/31層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)同樣，可得：層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)（3）判斷矩陣的一致性檢驗判斷矩陣的一致性，是指專家在判斷指標重要性時，各判斷之間協(xié)調(diào)一致，不致出現(xiàn)相互矛盾的結(jié)果。出現(xiàn)不一致在多階判斷的條件下，極容易發(fā)生，只不過是不同的條件下不一致的程度上有所差別而已。根據(jù)矩陣理論可知，如果λ滿足：則λ為A的特征值，并且對于所有aii=1，有層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)顯然，當矩陣具有完全一致性時，其余特征根均為0；而當矩陣A不具有完全一致性時，則有，其余特征根λ2，λ3，λn有如下關(guān)系：層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)上述結(jié)論告訴我們，當判斷矩陣不能保證具有完全一致性時，相應(yīng)判斷矩陣的特征根也將發(fā)生變化，這樣就可以用判斷矩陣特征根的變化來檢驗判斷的一致性程度。因此，在層次分析法中引入判斷矩陣最大特征根以外的其余特征根的負平均值，作為度量判斷矩陣偏離一致性的指標，即用：檢查決策者思維的一致性。CI值越大，表明判斷矩陣偏離完全一致性的程度越大；CI值越?。ń咏?），表明判斷矩陣的一致性越好。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)當判斷矩陣具有完全一致性時，CI=0；當判斷矩陣具有滿意一致性時，需引入判斷矩陣的平均隨機一致性指標RI值。對于1-9階判斷矩陣，RI值如下：當階數(shù)大于2時，判斷矩陣的一致性指標CI與同階平均隨機一致性指標RI之比稱為隨機一致性比率CR，當CR=CI/RI<0.10時，可以認為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則需要調(diào)整判斷矩陣。1234567890.000.000.580.901.121.241.321.411.45層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)（4）層次單排序

理論上講，層次單排序計算問題可歸結(jié)為計算判斷矩陣的最大特征根及其特征向量的問題。但一般來說，計算判斷矩陣的最大特征根及其對應(yīng)的特征向量，并不需要追求較高的精確度，因為判斷矩陣本身有相當?shù)恼`差范圍。而且，應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種因素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說是表達某種定性的概念。因此，一般用迭代法在計算機上求得近似的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量。在此給出計算矩陣最大特征根及其對應(yīng)特征向量的方根法的計算步驟：層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)①計算判斷矩陣每一行元素的乘積Mi②計算Mi的n次方根③對向量正規(guī)化（歸一化處理）層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)則即為所求的特征向量。④計算判斷矩陣的最大特征根其中，（AW）i表示向量AW的第i個元素。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)對于判斷矩陣A，其計算結(jié)果為：對于判斷矩陣B1，其計算結(jié)果為：層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)對于判斷矩陣B2，其計算結(jié)果為：對于判斷矩陣B3，其計算結(jié)果為：層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)（5）層次總排序?qū)哟蜝層次CB1B2B3總排序W0.1050.6370.258C10.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.0940.113C50.0460.26300.172層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)（6）決策企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)根據(jù)上述分析結(jié)果，決定各種考慮方案的實施先后次序，或者決定分配企業(yè)留成利潤的比例。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)算例有5個指標：X1對X2明顯重要；X1對X3強烈重要；X1對X4同等重要；X1對X5稍不重要。采用AHP方法計算指標權(quán)重。①列出判斷矩陣層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)②一致性檢驗求最大特征根：在此采用MATLAB軟件求取A=[1,5,7,1,1/3;1/5,1,2,1/5,1/8;1/7,1/2,1,1/7,1/9;1,5,7,1,1/3;3,8,9,3,1][B，D]=eig（A）則：B=

0.3697-0.0645+0.2358i-0.0645-0.2358i-0.2806-0.7071

0.0906-0.0633-0.0182i-0.0633+0.0182i0.2303-0.0000

0.0595-0.0063-0.0620i-0.0063+0.0620i-0.1231-0.0000

0.3697-0.0645+0.2358i-0.0645-0.2358i-0.28060.7071

0.84550.93390.93390.87990.0000D=5.114100000-0.0177+0.7618i00000-0.0177-0.7618i00000-0.078600000-0.0000層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)λmax=5.1141CI=(λmax-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)=0.1141/4=0.0285RI（5）=1.12CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.0255<0.10因此，通過一致性檢驗。③求得權(quán)重權(quán)重即為最大特征根對應(yīng)的特征向量W=[0.3697,0.0906,0.0595,0.3697,0.8455]進行歸一化后的結(jié)果，w=W./sum(W)=[0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873]層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)二、ANP（網(wǎng)絡(luò)分析法）AHP是基于以下幾個假設(shè)進行決策的，而這幾個假設(shè)與某些實際決策問題有背離：（1）將決策系統(tǒng)分為若干層次，上層元素對下層元素起支配作用，同一層元素之間是相互獨立的，但實際上，一般各層內(nèi)部的元素之間都存在依存關(guān)系，同時下層對上層也有反支配（反饋）的作用；（2）決策問題可分為多個層次，上層元素對下層元素起控制，同一層次的元素間相互獨立，不存在內(nèi)部的相互依賴性。而實際決策問題中某些指標往往存在相互影響；（3）各個層次間只是存在相鄰兩個層次間自上向下的影響作用，沒有考慮下層對上層的反作用。非相鄰層次間的相互影響也沒有考慮。而在實際決策中下層元素對上層元素有反作用（反饋）。ANP則取消了這些假定，在理論上允許決策者考慮復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)中各要素的相互作用，從而更符合決策問題的實際情況。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)ANP基本結(jié)構(gòu)目標準則P1準則Pn……元素組C1元素組C2元素組C3元素組C4元素組C5控制層網(wǎng)絡(luò)層層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)ANP的超矩陣算法設(shè)網(wǎng)絡(luò)ANP中控制層的元素為P1,P2,…,Ps,…,Pm，網(wǎng)絡(luò)層有元素組為C1,C2,…,Ci,Cj,…,CN。其中Ci有元素ei1,ei2,…,eini。構(gòu)造超矩陣如下，其中行表示匯，列表示源。針對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的相互作用和反饋信息，基于源對匯中的元素進行兩兩比較，求解源對于匯的相對偏好和重要性。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)超矩陣W的每一元素Wij都是基于一個兩兩判斷比較矩陣獲得的歸一化特征向量，列和為1，但是，W不是歸一化矩陣，為此，以控制元素ps為準則，對控制元素ps下的各元素組對各元素組Cj的重要性進行比較，得到一個歸一化的排序向量：層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)把矩陣A與W相乘得到加權(quán)超矩陣：在網(wǎng)絡(luò)分析法ANP中，為了反映元素之間的依存關(guān)系，加權(quán)超矩陣W需要做一個穩(wěn)定處理，即計算極限相對排序向量：如果極限收斂且唯一，則W∞的第j列就是控制元素下網(wǎng)絡(luò)層各元素對于元素j的極限相對排序。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)ANP的決策步驟1.基于網(wǎng)絡(luò)模型中各要素間的相互作用，進行兩兩比較；2.確定未加權(quán)超矩陣（基于兩兩判斷矩陣，使用特征向量法獲得歸一化特征向量值，填入超矩陣列向量）；3.確定超矩陣中各元素組的權(quán)重（保證各列歸一）；4.計算加權(quán)超矩陣；5.計算極限超矩陣；（使用冪法，即求超矩陣的n次方，直到矩陣各列向量保持不變）。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)案例選車維修成本耐用性美國車日本車歐洲車控制層網(wǎng)絡(luò)層層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)成本美國車歐洲車日本車特征向量美國車1530.637歐洲車1/511/30.105日本車1/3310.258CR=0.033維修美國車歐洲車日本車特征向量美國車1520.582歐洲車1/511/30.109日本車1/2310.309CR=0.003層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)耐用性美國車歐洲車日本車特征向量美國車11/51/30.105歐洲車5130.637日本車31/310.258CR=0.033美國車成本維修耐用性特征向量成本1340.634維修1/3110.192耐用性1/4110.174CR=0.008層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)歐洲車成本維修耐用性特征向量成本111/20.25維修111/20.25耐用性2210.50CR=0.008日本車成本維修耐用性特征向量成本1210.40維修1/211/20.20耐用性1210.40CR=0.000層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)再考慮成本、維修和耐用性之間的相互影響，得到三者的權(quán)重矩陣如下：成本維修耐用性成本0.30.20.6維修0.40.250.3耐用性0.30.550.1層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)得到初始超矩陣成本維修耐用性美國車歐洲車日本車成本0.30.20.60.6340.250.4維修0.40.250.30.1920.250.2耐用性0.30.550.10.1740.250.4美國車0.6370.5820.105000歐洲車0.1050.1090.637000日本車0.2580.3090.258000層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)假定A=[0.5,1;0.5,0],則加權(quán)超矩陣：成本維修耐用性美國車歐洲車日本車成本0.150.10.30.6340.250.4維修0.20.1250.150.1920.250.2耐用性0.150.2750.050.1740.250.4美國車0.3190.2910.053000歐洲車0.0530.0550.319000日本車0.1290.1550.129000層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)將加權(quán)超矩陣穩(wěn)定處理，即自乘4-6次，得到穩(wěn)定的極限超矩陣。（注意，每一步自乘之前需要將列向量歸一化，否則加權(quán)超矩陣會越變越小，不會收斂）成本維修耐用性美國車歐洲車日本車成本0.2820.2820.2820.2820.2820.282維修0.1840.1840.1840.1840.1840.184耐用性0.1930.1930.1930.1930.1930.193美國車0.1590.1590.1590.1590.1590.159歐洲車0.0890.0890.0890.0890.0890.089日本車0.0930.0930.0930.0930.0930.093ANP決策結(jié)果表明：美國車是最優(yōu)選擇，成本是決定性因素。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)軟件：Superdecision層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)圖元素組權(quán)重矩陣層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)權(quán)重矩陣層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)三、熵值法

熵的概念源于熱力學(xué)，是對系統(tǒng)狀態(tài)不確定性的一種度量。在信息論中，信息是系統(tǒng)有序程度的一種度量。而熵是系統(tǒng)無序程度的一種度量，兩者絕對值相等，但符號相反。根據(jù)此性質(zhì)，可以利用評價中各方案的固有信息，通過熵值法得到各個指標的信息熵，信息熵越小，信息的無序度越低，其信息的效用值越大，指標的權(quán)重越大。層次分析法AHP、ANP與熵值法(帶例子和軟件操作說明)熵是不確定性的度量，如果用Pj表示的j個信息不確定度（也即出現(xiàn)的概率）則整個信息（設(shè)有n個）的不確定度量也可用下式表示：這就是熵。其中K為正常數(shù)，當各個信息發(fā)生的概率相等