2023-2024年湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁2023-2024年湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）2023-2024年湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.命題“對于任意正數(shù)，都有”的否定是()

A.對于任意正數(shù)，都有B.對于任意正數(shù)，都有

C.存在正數(shù)，使得D.存在非正數(shù)，使得

3.高斯函數(shù)也叫取整函數(shù)，其符號表示不超過的最大整數(shù)，如，已知，，則“”是“”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知一扇形的圓心角為，半徑為，則該扇形的面積為()

A.B.C.D.

5.函數(shù)的圖象大致為()

A.B.

C.D.

6.已知是第四象限角，且，則()

A.B.C.D.

7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則()

A.B.C.D.

8.若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是()

A.B.

C.D.，

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知函數(shù)的定義域和值域均為，則()

A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)的定義域為

C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)的值域為

10.已知，角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，若，則下列點在角的終邊上的是()

A.B.C.D.

11.已知，，，，則下列判斷正確的是()

A.B.C.D.

12.關(guān)于的不等式在上恒成立，則()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍為．

14.已知定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，且對任意的，，都有，若，則的解集為．

15.如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，從點測得點的仰角，從點測得點的仰角為已知山高百米，，，則山高百米．

16.已知，，，則．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知在數(shù)列中，，，且為等差數(shù)列．

求的通項公式

記為數(shù)列的前項和，證明：．

18.本小題分

在中，內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別是，，，且A.

求

若的面積是，，求的周長．

19.本小題分

某批發(fā)市場供應(yīng)的排球中，來自甲廠的占，來自乙廠的占，來自丙廠的占，甲廠生產(chǎn)的排球的合格率為，乙廠生產(chǎn)的排球的合格率為，丙廠生產(chǎn)的排球的合格率為．

若小張到該市場購買個排球，求購得的排球為合格品的概率．

若小李到該市場批發(fā)個排球回去銷售，購買的個球來自甲廠，個球來自丙廠，已知來自甲廠的每個排球售出后可獲得純利潤元，沒有售出則每個球?qū)p失元，且每個球被售出的概率等于排球的合格率來自丙廠的每個排球售出后可獲得純利潤元，沒有售出則每個球?qū)p失元，且每個球被售出的概率等于排球的合格率求小李到該市場批發(fā)個排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤的數(shù)學(xué)期望．

20.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，為的中點．

證明：．

若二面角的平面角為，是線段上的一個動點，求直線與平面所成角的最大值．

21.本小題分

在直角坐標(biāo)系中，動點到直線的距離是它到點的距離的倍，設(shè)動點的軌跡為曲線．

求曲線的方程

直線與曲線交于，兩點，求面積的最大值．

22.本小題分

已知函數(shù)．

求的單調(diào)區(qū)間

證明：當(dāng)時，．

答案和解析

1.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了一元二次不等式的解法，交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意求出集合，從而由交集的定義即可得結(jié)果．

【解答】解：，，

．

故選D．

2.【答案】

【解析】【分析】

本題考查全稱量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

利用全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可得出結(jié)論．

【解答】

解：因為命題“對于任意正數(shù)，都有”是全稱量詞命題，

所以其否定為“存在正數(shù)，使得”．

3.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了充分、必要、充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)新定義和充要條件的判斷可得結(jié)論．

【解答】

解：若，則，

但當(dāng)時，，不定相等，例如，，

所以“”是“”的充分不必要條件．

4.【答案】

【解析】【分析】

此題主要考查了扇形的面積計算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)扇形公式，代入數(shù)據(jù)運算即可得出答案．

【解答】

解：由題意得，，，

，

故選：．

5.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)圖象的識別，屬基礎(chǔ)題．

利用偶函數(shù)可排除，，再根據(jù)，排除．

【解答】

解：由題可知，函數(shù)的定義域為，且，

故函數(shù)為偶函數(shù)，排除，．

又，排除．

故選D．

6.【答案】

【解析】【分析】

本題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

先解方程求出，然后再根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解。

【解答】

解：由，解得或因為是第四象限角，所以

，故．

7.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了求函數(shù)值和周期函數(shù)，是基礎(chǔ)題．

先得出的周期為，計算即可．

【解答】

解：由，可得，

所以的周期為，

則．

8.【答案】

【解析】【分析】

本題考查余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

由題意可得或解不等式組即可．

【解答】

解：由題可知，解得，．

因為函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，所以或

解得或，即

9.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域逐一判定即可．

【解答】

解：函數(shù)中的需滿足，解得，

故函數(shù)的定義域為，

函數(shù)中的需滿足解得，

故函數(shù)的定義域為．

函數(shù)和的值域都為．

故選ABC．

10.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了兩角和與差的正切公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，是基礎(chǔ)題．

先得出，由，展開計算，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義可得結(jié)論．

【解答】

因為，所以，

則，即，

所以，

由任意角的三角函數(shù)的定義得選項BD符合題意，

故選BD．

11.【答案】

【解析】【分析】

本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運算進(jìn)行求解即可。

【解答】

解：，，所以，即．

易得，，所以，則，

12.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是較難題．

易得記，，令，利用導(dǎo)數(shù)得當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以直線為與的圖象在處的公切線時，才能使原不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解可得、的值．

【解答】

解：由，

可得．

記，，

令，，

則，

令，則恒成立，

所以在上單調(diào)遞增且，

所以當(dāng)時，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

又，，且，

所以直線為與的圖象在處的公切線時，才能使原不等式恒成立，此時，，

故選BC．

13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．

分、和三種情況，綜合求解即可出結(jié)果．

【解答】

解：當(dāng)時，不等式化為恒成立，符合題意

當(dāng)時，若不等式對任意恒成立，

則，解得

當(dāng)時，不等式不能對任意恒成立．

綜上，的取值范圍是．

14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

易得是偶函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求解即可．

【解答】

解：因為對任意的，，都有，，令，

則，又因為的定義域為，

所以是偶函數(shù)，

由，得，

又函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以由得，解得，

故的解集為．

15.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了利用余弦定理解決高度問題，屬于中檔題．

過作垂直于，交于點設(shè)，則，，在中，由余弦定理求解得出，可得．

【解答】

解：過作垂直于，交于點．

因為，

設(shè)，則，由題可知，

則，，

在中，，

即，

化簡可得，

所以負(fù)值已舍去，

則．

16.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)性質(zhì)，是中檔題．

易得再由三角函數(shù)性質(zhì)和二次函數(shù)得出兩邊的取值范圍，取等號即可．

【解答】

解：由，

可得．

因為，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，時，等式成立．

又因為，，所以，

故．

17.【答案】解：由題意，可得，，

則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

，

，．

證明：由得，

因此

，

而，所以．

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項公式，利用遞推關(guān)系式求通項，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前項和，是中檔題．

由已知列式求得等差數(shù)列的首項與公差，則通項公式可求；

把數(shù)列的通項公式代入，再由裂項相消法求數(shù)列的前項和可得結(jié)果．

18.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

由，可得，

，

，

由及，

得，

又，

．

故周長為

【解析】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查三角函數(shù)的恒等變換公式，考查運算能力，屬于中檔題．

運用正弦定理和誘導(dǎo)公式、兩角和正弦公式，化簡整理，即可得到所求角的余弦值；

運用余弦定理和面積公式，計算即可得到所求值．

19.【答案】解：設(shè)，，分別表示購買的排球來自甲廠、乙廠、丙廠，表示購買的排球是合格品，

則，，，，，所

以

．

設(shè)小李到該市場批發(fā)個排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤為元，

依題意可得的可能取值為，，，，即，，，，

，

，

，

所以，

故小李到該市場批發(fā)個排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤的數(shù)學(xué)期望為元．

【解析】本題考查全概率公式和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)，，分別表示購買的排球來自甲廠、乙廠、丙廠，表示購買的排球是合格品，根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解；

依題意可得的可能取值為，，，，即，，，，求出對應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望。

20.【答案】證明：如圖，取的中點，連接，．

底面是正方形，，，．

，，平面，平面．

又平面，．

解：由可知，二面角的平面角為，且為，

過點作垂直于直線，垂足為．

以為原點，，所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易得，，，，

則，，，，，

，，，，

設(shè)平面的法向量為，則

得取，則．

設(shè)，，

則，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

，

令，則，

．

當(dāng)時，，

當(dāng)時，

，

當(dāng)，即，時，取得最大值，且最大值為，此時．

所以直線與平面所成角的最大值為．

【解析】本題考查了線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)和直線與平面所成角的向量求法，是中檔題．

先證明平面，由線面垂直的性質(zhì)即可得證；

建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面的法向量，設(shè)，利用空間向量和函數(shù)的性質(zhì)可得直線與平面所成角的最大值．

21.【答案】解：設(shè)，

因為點到直線的距離是它到點的距離的倍，

所以，

則，

整理得，

故曲線的方程為．

設(shè)，，聯(lián)立方程組

整理得，

則，，

因為過點，所以

令，，，

則在上恒成立，

則，則

故面積的最大值為．

【解析】本題主要考查了利用直接法求軌跡方程以及直線與圓錐曲線的面積問題，屬于中檔題．

根據(jù)點到直線的距離是它到點的距離的倍，列出相應(yīng)的等式方程，化簡可得軌跡的方程；

由題意聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出三角形的面積，運用換元法和基本不等式求最值可得所求．

22.【答案】解：的定義域為，，令，得．

由，