三角形相似的判定1

§27.1圖形的相似27.2.1相似三角形的判定(1)27.2.1相似三角形的判定(1)ABCDEF1.對應(yīng)角_______,對應(yīng)邊——————的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形相等成比例2.相似三角形的———————,各對應(yīng)邊——————。對應(yīng)角相等成比例如果△ABC∽△DEF,

那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F回顧１、兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？２、兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？兩個(gè)等腰直角三角形呢？３、兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？兩個(gè)等邊三角形呢？相似比是多少？300450回顧A′B′C′1061251°82°它們是相似三角形嗎？為什么？A6BC5382°47°6回顧如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的關(guān)系？∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED.邊呢？ADEBC==DE∥BC理解如圖,DE//BC,且D是邊AB的中點(diǎn),DE交AC于E,△ADE與△ABC有什么關(guān)系?說明理由.相似ABCDE證明:在△ADE與△ABC中∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C過E作EF//AB交BC于F可證DBFE是平行四邊形F△ADE≌△EFC∴DE=BF,DE=FC∴△ADE∽△ABC結(jié)論:三角形的中位線截得的三角形與原三角形相似探索12.如圖,DE//BC,△ADE與△ABC有什么關(guān)系?說明理由.相似ABCDE證明:在△ADE與△ABC中∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C過E作EF//AB交BC于F∵DBFE是平行四邊形F∴DE=BF定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似∴△ADE∽△ABC探索2平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或延長線)相交,所得的三角形與原三角形________.相似“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）理解請寫出它們的對應(yīng)邊的比例式理解已知：如圖，AB∥EF∥CD，3圖中共有____對相似三角形?！鱁OF∽△COD

AB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC理解

如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于點(diǎn)Ｏ，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個(gè)?請你寫出來.解：與△ABC相似的三角形有3個(gè):

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO運(yùn)用4如圖,已知DE∥BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=450,∠ACB=400.(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的長.（2）ADBEC解:(1)DE∥BC△ADE∽△ABC∠AED=∠C=400.△ADE∽△ABC運(yùn)用在△ADE中,∠ADE=1800-400-450=950.如圖，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）請找出圖中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1：4運(yùn)用

相似三角形的定義

相似比的性質(zhì)

相似三角形判定的預(yù)備定理小結(jié)27.2.1相似三角形(2)1.對應(yīng)角_______,對應(yīng)邊——————的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形.相等成比例2.相似三角形的———————,各對應(yīng)邊——————。對應(yīng)角相等成比例回顧3.如何識(shí)別兩三角形是否相似?∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。DEOBCABCDE思考:有沒有其他簡單的辦法判斷兩個(gè)三角形相似?思考是否有△ABC∽△A’B’C’？ABCC’B’A’三邊對應(yīng)成比例已知:如圖△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.求證:△ABC∽△A`B`C`證明:在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A`B`,A`B`C`ABCDE過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E. 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.因此DE=B`C`,EA=C`A`.∴△A`B`C`∽△ABC ∴△ADE≌△A`B`C`理解例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：(1)AB＝6cm，

BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．試判定△ABC與A′B′C′是否相似，并說明理由．

(2)AB=12cm，BC=15cm，AC＝24cmA’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm運(yùn)用2試說明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC即∠BAD=∠CAE運(yùn)用3答案是2:1理解4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2要作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊的長分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的一邊長為2,怎樣選料可使這兩個(gè)三角形相似?這個(gè)問題有其他答案嗎?4562

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;

三邊對應(yīng)成比例的,兩三角形相似.相似三角形的判定方法小結(jié)27.2.1相似三角形(3)判斷兩個(gè)三角形相似,你有哪些方法方法1：通過定義（不常用）方法2：通過平行線。方法3：三邊對應(yīng)成比例。如果有一點(diǎn)E在邊AC上，那么點(diǎn)E應(yīng)該在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？

此時(shí)，如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形一定相似嗎？

E=？已知:如圖△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A`,∠A`,A`B`:AB=A`C`:AC.求證:△ABC∽△A`B`C`A`B`C`ABCED證明:在△ABC的邊AB、AC(或它們的延長線)上分別截取AD=A`B`,AE=A`C`,連結(jié)DE.∠A=∠A`,這樣,△ADE≌△A`B`C`.∵A`B`:AB=A`C`:AC∴AD:AB=AE:AC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴△A`B`C`∽△ABC相似三角形的識(shí)別∴△ABC∽△如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似

。(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似)ABCA′B′C′想一想：如果對應(yīng)相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形是否相似呢？ABCDEF1、已知△ABC和△A’B’C’,根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.(2)∠A＝45°，AB=12cm，AC=15cm

∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;∵==1.52、判斷圖中△AEB和△FEC是否相似？解：∴△AEB∽△FEC

∵∠1＝∠2＝＝1.5∴＝54303645EAFCB123.在正方形ABCD中，E為AD上的中點(diǎn),F是AB的四分一等分點(diǎn)，連結(jié)EF、EC；△AEF與△DCE是否相似?說明理由.4、已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，試說明△ADE∽△ABC。ABCDE

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;

三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似.相似三角形的判定方法

兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似.27.2.1相似三角形的判定(4)這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小有什么關(guān)系？三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定相似嗎？三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等。觀察你與老師的直角三角尺

,會(huì)相似嗎？(30O

與60O)

思考相似畫△

，使三個(gè)角分別為60°，45°,75°。①同桌分別量出兩個(gè)三角形三邊的長度；②同桌這兩個(gè)三角形相似嗎?即：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形_______．相似一定需三個(gè)角嗎？如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．相似三角形的識(shí)別方法：思考如果兩個(gè)三角形僅有一對角是對應(yīng)相等的，那么它們是否一定相似？

觀察CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：相似三角形的識(shí)別(兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似)例1如圖所示，在兩個(gè)直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個(gè)三角形是否相似．

C'B'A'CBA

例題欣賞解：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．）

例2.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，試說明△ADE∽△EFC.

AEFBCD用一用例題分析解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（兩直線平行，同位角相等）∠AED＝∠C.（兩直線平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．）例3.弦AB和CD相交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)P,求證:PA·PB=PC·PDABCDPO證明:連接AC、BD∵∠A、∠D都是CB所對的圓周角⌒∴∠A=∠D同理:∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PDABCDE例4.已知D、E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°則AD·AB=AE·AC找一找FABCDGE圖1（1）圖1中DE∥FG∥BC，找出圖中所有的相似三角形。（2）圖2中AB∥CD∥EF，找出圖中所有的相似三角形。答：相似三角形有△ADE∽△AFG∽△ABC。答：相似三角形有△AOB∽△FOE∽△DOC。AB圖2CFDEO（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么這兩個(gè)三角形是否相似？為什么？∠B=180°－（∠A+∠C)=180°－（80°+60°)=40°CADB3.找出圖中所有的相似三角形鞏固練習(xí)△ACD∽△CBD∽△ABC你能寫出對應(yīng)邊的比例式嗎?ABDC圖3填一填（1）如圖3，點(diǎn)D在AB上，當(dāng)∠

＝∠

時(shí)，△ACD∽△ABC。（2）如圖4，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似?！馎BCE圖4∠

ACD∠

B(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D探索與思考如圖，在Rt△ABC的一邊AB上有一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），過點(diǎn)P作直線截得的三角形與△ABC相似，想一想滿足條件的直線共有多少條？試畫出圖形并簡要說明理由.思考：若三角形為任意三角形，點(diǎn)P為三角形任意一邊上的點(diǎn)，則這樣的直線有幾條？我們來試一試…EABDC解：∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=43.已知如圖，∠ABD=∠CAD=2AC=8，求ABABCDDBCA184√2

12√2

5、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2則AC=BD=BC=5、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于DABDCEF問：若E是BC中點(diǎn)，ED的延長線交BA的延長線于F，求證：AB:AC=DF:BF泰勒斯測量金字塔高度的示意圖:

AA′BCB′C′CBAC′B′A′如果人體高度AC＝1.7米，人影長BC＝2.2米，而B′C′＝176米，你能求出金字塔的高度并說明其中的道理嗎？可證△ABC∽△A’B’C’即所以A’C’=1.7x176÷2.2=136m相似三角形的識(shí)別方法有那些？方法1：通過定義方法5：通過兩角對應(yīng)相等。課堂小結(jié)（這可是今天新學(xué)的，要牢記噢！)方法2：平行于三角形一邊的直線。方法3：三邊對應(yīng)成比例。方法4：兩邊對應(yīng)成比例且夾角。ABCDEABCDE21OCBAD常見圖形OCDABABCDE不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎么見彩虹沒有人能隨隨便便成功!再見請觀察下面幾組圖片試試你的眼力！你從上述幾組圖片發(fā)現(xiàn)了什么？它們的大小不一定相等，形狀相同.1、相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形。

27.1相似的圖形注意：相似圖形的大小不一定相同。形狀、大小都相同的圖形稱為全等圖形。2、全等圖形：注：全等圖形是相似圖形的特殊情況。3、圖形的相似具有傳遞性；圖形A圖形B圖形C如果圖形Ａ與圖形Ｂ相似，圖形Ｂ與圖形Ｃ相似，那么圖形Ａ與圖形Ｃ相似。生活中的相似圖形

放大鏡下的圖形和原來的圖形相似嗎？放大鏡下的角與原圖形中角是什么關(guān)系?你看到過哈哈鏡嗎？哈哈鏡中的形象與你本人相似嗎？(A)(B)(C)觀察下列圖形，哪些是相似形？（12）（13）⑴⑵⑶（7）（9）（8）？（14）⑷⑹⑸？（10）（11）

觀察下面的圖形(a)~(g),其中哪些是與圖形(1)、(2)或（3）相似的？ABDF兩個(gè)相似的平面圖形之間有什么關(guān)系呢？為什么有些圖形是相似的，而有些不是呢？相似圖形有什么主要特征呢？合情猜測

如果兩個(gè)圖形相似，它們的對應(yīng)邊、對應(yīng)角可能存在某種關(guān)系.

探索一

圖中兩個(gè)四邊形是相似形，仔細(xì)觀察這兩個(gè)圖形，它們對應(yīng)邊之間存在怎樣的關(guān)系？對應(yīng)角之間又有什么關(guān)系？探索二

再看看圖中兩個(gè)相似的五邊形，是否與你觀察所得到的結(jié)果一樣？形成認(rèn)識(shí)：1.相似多邊形的特征：

對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.符號(hào)語言（以四邊形為例）：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′（相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等）

形成認(rèn)識(shí)2、兩