多視角切入巧方法破解-一道安徽江南十校?？碱}的探究 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選多視角切入，巧方法破解——一道安徽江南十校?？碱}的探究摘要：解三角形是歷年高考必考的知識點，常常以三角形的“四心”作為背景，與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，一直深受命題者的喜歡，是考試中的熱點問題之一.此類問題方式全、方法多樣，思維各異的主戰(zhàn)場，具有較好的選拔性和區(qū)分度，備受各方關(guān)注.關(guān)鍵詞：基底思維，坐標(biāo)思維，幾何思維，代數(shù)化，大單元教學(xué)引 言：解三角形問題一直是高考的必考點和重點，三角形的四心問題一直是此類問題的難點，解決此類問題通常是從幾何的角度分析問題、解決問題，這也是學(xué)生經(jīng)常一貫的思維模式。新課標(biāo)強調(diào)：“教學(xué)需要關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯聯(lián)系，關(guān)注不同主者在對三角函數(shù)復(fù)習(xí)大單元教學(xué)的基礎(chǔ)之上，將知識進行整合，從高三復(fù)習(xí)?？贾杏龅降囊坏澜鲜＝馊切文？碱}出發(fā)，從向量、坐標(biāo)以及幾何等不同的角度與學(xué)生一起彰顯數(shù)學(xué)思想方法，從而將知識點形成知識鏈，進行系統(tǒng)化，進一步提升學(xué)生的分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，取得了一定的成效，現(xiàn)整理成文，與各位同仁分享.一、問題呈現(xiàn)屆安徽省高三下學(xué)期江南十校聯(lián)考試題·17）已知三角形ABC的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c，tanC=

sinA .（1）求b的值；c

2-cosA（2）設(shè)M和N分別是三角形ABC的重心和內(nèi)心，若MN||BC且c=2，求a的值.此題第（1）問比較常規(guī)，主要考查正、余弦定理的簡單應(yīng)用，即三角形邊與角的，結(jié)合線的平行關(guān)系來確定邊的與滲透，處理此類問題可以從基底思維、坐標(biāo)思維、幾何思維進行分析.從而確定解決12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選質(zhì)進行形的轉(zhuǎn)化，都可以達到很好的效果.二、問題破解思維視角一：基底思維方法1：（基底法）

r解析：設(shè)三角形ABC的內(nèi)切圓半徑為r，在邊AB和AC上分別取向量AG=ACr|AC|HH=

，再取向量AP=AB+AH，于是可知|AP|=AB=2cosA，|AN|=r ，|AB|又三角形ABC的面積為S

=1(a，2

2 sinA2

2S

2bccosA2

ABAC 所以|AN|==

，由向量AN=mAP=m(

+)，A a2

|AB| |AC|可得m= ，可得m= ，=

|AP|

a+b+c

故AN= bc

B C b(+)=(

AB+ c

AC，a

|AB| |AC|

aa由AM

1AB

1AC，= +3 3b 1c 1所以MN=AN-AM- )AB- )AC，- = ，a- = ，

a3又根據(jù)MN=AC-

AB且MN||BC，可得 c 1 1- b 由c=2,b=2，可得a.c

a+b+c

3 3 a相關(guān)的平面向量，再根據(jù)向量的模的求解以及共線向量的知識得到參數(shù)滿足的等量方程，進而求出邊長a.在此方法過程中，對于基底的選擇沒有一定的標(biāo)準(zhǔn)，不同的基底選擇決定了不同的線性運算，而本題為了方便選擇以AB和AC作為基底，再將幾何圖形直線的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化成向量的共線問題，使問題迎刃而解.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選思維視角二：坐標(biāo)思維方法2：（坐標(biāo)法）AE是三角形ABCCE=b=2BE=2DEDE=m，c于是以E為原點，EB為x所在直線垂直的直線為yE(0,0)，D(-m,0)，B(2m,0)，C(-4m,0)-2cosB,2sinB).由點M是三角形

ABC的重心，且

MN||BC，可知12m-2B2sinBEN= EA，從而可得N( , )，

圖（1）3直線AB的方程為y=-

3 3sinB(x-2m)得sinB*x+cosB*y-2msinB，cosB由點N是三角形ABC的內(nèi)心，可知點N到直線AB距離與到x軸的距離相等，進一步有|2msinB-2sinBcosB+2sinBcosB-2msinB|=|2sinB|，3 3 3于是有|4msinB|=|2sinB|，又asinB，于是可得m=1，3 3 2從而得到a=BC=6a=3.點評：根據(jù)題目的已知條件，選擇合適的原點，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從坐標(biāo)視角切入，利用三角形角平分線定理及中線知識，從而確定邊長之間的關(guān)系，將各個點用坐標(biāo)來進行表示，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等這一性質(zhì)，再結(jié)合距離公式，從而將平面幾何問題進行代數(shù)化，從代數(shù)的角度計算和分析問題，從而求出邊長有時會達到事半功倍的效果.思維視角三：幾何思維方法3：（三角形相似法）MN交AC于GAB于HCN，BN，由于點M,N分別是三角形ABC的重心和內(nèi)心，且MN||BC，可知角GCN=角BCN=角GNC，得GN=CG，圖（2）32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選又由三角形AGN和三角形ACE相似，可得GN=CG=4；3同理，可得HN=HB=2，于是GH=GN+NH=2，3又由三角形AGH和三角形ABC相似，可得a=BC=3GH=3.2的三角形相似的有關(guān)知識，確定圖形中線段的大小，從而得到了所求邊的長度大小.這時也有所涉及.方法4：（角平分線定理法）解析：連接BN，CM，由點M是三角形ABC的重心，且MN||BC，可知AN=AM=2，又點N是角B的平分線，可得BA=AN=2，于是有BE=1，NE DMNE 2同理，可得CE=1AC=2,從而有a=BC=CE+BR=3.2點評：根據(jù)題目條件中的三角形的重心性質(zhì)及平行關(guān)系，可以得到邊的比例關(guān)系，達到意想不到的效果，在平時復(fù)習(xí)中需要學(xué)生好好地體會與理解.方法5：（等面積轉(zhuǎn)化法）解析：根據(jù)第（1）問，可知b=2且c=2，進一步有b=4，c設(shè)三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則內(nèi)心N到BC邊的距離為r，又因為MN||BC，所以重心M到BC邊的距離也為r，根據(jù)重心的性質(zhì)，頂點A到BC邊的距離為3r，根據(jù)三角形等面積轉(zhuǎn)化，可得1(a=3ar，從而解得a=3.2 2大小.42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選選擇.三、推廣延伸ABC的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,cM和N分別是ABC的重心和內(nèi)心，若MN||BC，則b,a,c三邊成等差數(shù)列.解析：由上述方法四，即角平分線定理法，可知BE=c，CE=b,2 2從而可知a=BC=CE+BR=b+c，故b,a,c三邊成等差數(shù)列.2四、解后反思數(shù)學(xué)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸，通過幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化降低問題的難度，彰顯思想方法的優(yōu)越性.在遇到解三角形問題時，我們要深入的理解與熟練掌握以上三種破解此類問題的思想與常規(guī)技巧.基底法需要我們選擇合適的向量作為基底，通過平面向量的線性關(guān)系來進行分析；坐標(biāo)法需要我們選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點，建立簡便的平面直角坐標(biāo)系，此過程最關(guān)鍵的是要使我們點的坐標(biāo)便于求解，利用坐標(biāo)來進行代數(shù)運算，將幾何問題代數(shù)化；在涉及到一些基本圖形的幾何問題時，往往可以通過幾何圖形進行直觀分析，可以基于大單元教學(xué)的思想，靈活的梳理前后知識板塊之間的有效銜接，尋找知識板塊之間的深層次關(guān)系，這樣可以很好