江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

蘇州市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題(第1題~第8題)、多項(xiàng)選擇題(第9題~第12題)、填空題(第13題~第16題)、解答題(第17題~第22題).本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘.答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等比數(shù)列，且，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，，，，由題意可得，即，即，，解得，則，數(shù)列的公比為，所以，，因此，.故選：C.2.直線的傾斜角是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程確定直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得.【詳解】解：直線的方程可化為，可知傾斜角，滿足，因此.故選：B.3.設(shè)數(shù)列各項(xiàng)非零，且平面的法向量為，直線的方向向量為，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別從充分性和必要性進(jìn)行說明即可判斷.【詳解】若已知數(shù)列為等比數(shù)列，則，因此有成立，所以可知，但無法得知是否在平面內(nèi)，因此充分性不成立；若已知平面平行于直線，則可知，根據(jù)定義，及即可得到，即，但不能認(rèn)為為等比數(shù)列，即必要性不一定成立.所以“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的既不充分也不必要條件，故選：.4.記橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線上有一點(diǎn)，且在軸上的投影為.連接，的方向向量，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量，分析出的值，證明出，最后借助的兩種表達(dá)方式列方程求解.【詳解】由于，根據(jù)直線方向向量性質(zhì)可得，直線的斜率為，即傾斜角為，于是，即，故，由此得到，，，所以離心率.故選：C5.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為14cm，，，，依次將，，，分為的兩部分，得到正方形，依照相同的規(guī)律，得到正方形、、…、.一只螞蟻從出發(fā)，沿著路徑爬行，設(shè)其爬行的長(zhǎng)度為，為正整數(shù)，且與恒滿足不等式，則的最小值是()A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題結(jié)合圖形，通過數(shù)學(xué)歸納得出數(shù)列以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求和分析即可.【詳解】由題意可知，，.所以，因此由數(shù)學(xué)歸納的思想可知，.設(shè)數(shù)列，則該數(shù)列以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，因此，故選：C.6.已知數(shù)列，且，記其前項(xiàng)和為.若是公差為的等差數(shù)列，則()A.200 B.20200 C.10500 D.10100【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是公差為的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求，利用與的關(guān)系即可求出的通項(xiàng)公式，再用等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】容易得到的首項(xiàng)，因此，所以，將替換為，則有，兩式相減得.由于，，所以，可得，因此，所以.故選:D.7.如圖1所示是素描中的由圓錐和圓柱簡(jiǎn)單組合體，抽象成如圖2的圖像.已知圓柱的軸線在平面內(nèi)且平行于軸，圓錐與圓柱的高相同.為圓錐底面圓的直徑，，且.若到圓所在平面距離為2.若，則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所建空間直角坐標(biāo)系，由求出的坐標(biāo)，得到，，的長(zhǎng)度，利用余弦定理求與夾角的余弦值.【詳解】如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，.，，所以，，由，所以所以，，由對(duì)稱性這里取，則，，又，所以，，，因此由余弦定理，.故選：C8.在寫生課上，離身高1.5m的絮語同學(xué)不遠(yuǎn)的地面上水平放置著一個(gè)半徑為0.5m的正圓，其圓心與絮語同學(xué)所站位置距離2m.若絮語同學(xué)的視平面平面，平面，，且平面于點(diǎn)，，則絮語同學(xué)視平面上的圖形的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，結(jié)合題中數(shù)據(jù)和三角形相似即可求解.【詳解】畫出題中所述圖：可知圓在視平面上得到的是橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為圓的直徑，即通過相似關(guān)系，由及，代入數(shù)據(jù)：，，所以，則，，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知直線，，設(shè)兩直線分別過定點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是()A.直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn) B.C.面積的最大值為5 D.若，，則恒滿足【答案】AB【解析】【分析】直線恒過定點(diǎn)參數(shù)前面的系數(shù)為判斷選項(xiàng)A，由兩直線垂直判斷交點(diǎn)在以為直徑的圓上，判斷選項(xiàng)B，由面積最大值求選項(xiàng)C，點(diǎn)滿足方程，再由題設(shè)得，判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，可化作，可發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)，同理，過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，，可得恒成立，因此是以為直徑的圓上的點(diǎn)，根據(jù)定義，，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題可知在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，若,則，化簡(jiǎn)可得，與的方程不符合，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且與拋物線有公共的焦點(diǎn).若是上的一點(diǎn)，下列說法正確的是()A.和不存在交點(diǎn)B.若，則直線與相切C.若是等腰三角形，的坐標(biāo)是D.若，則的橫坐標(biāo)為【答案】BD【解析】【分析】利用雙曲線和拋物線的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，聯(lián)立：，消去得，由，解得，雙曲線與拋物線有交點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，判別式，則直線與拋物線相切，B正確；對(duì)于C，不在拋物線上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)，則有，，，若，有，因此，即，解得，D正確.故選：BD11.數(shù)列是百余年前的發(fā)現(xiàn)，在近代數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用.數(shù)列是把中的分母不大于的分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)從小到大排成一列,并且在第一個(gè)分?jǐn)?shù)之前加上，在最后一個(gè)分?jǐn)?shù)之后加上，該數(shù)列稱為階數(shù)列，記為，并記其所有項(xiàng)之和為.數(shù)列還有一個(gè)神奇的性質(zhì).若設(shè)的相鄰兩項(xiàng)分別為，，則.下列關(guān)于數(shù)列說法正確的是()A. B.數(shù)列中共有18項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，的最中間一項(xiàng)一定是 D.若中的相鄰三項(xiàng)分別為，，，則【答案】CD【解析】【分析】舉特例即可說明A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)定義，列舉即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列的定義，可得數(shù)列中元素的特征，進(jìn)而即可判斷C項(xiàng)；由題意可得，，整理即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，列舉數(shù)列：，，可知，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，列舉可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19項(xiàng)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于數(shù)列按照大小排列，且若在中，則一定也在中，又當(dāng)時(shí)，在中，所以個(gè)數(shù)一定為奇數(shù)個(gè).因此根據(jù)的定義可得，中間一項(xiàng)一定為，C正確；對(duì)于D，由于，，整理即可得到，D正確.故選：CD.12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知作品.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長(zhǎng)為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系(原點(diǎn)O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個(gè)正方體，，2，3(圖4，5，6)結(jié)合在一起便可得到一個(gè)高度對(duì)稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是()

A.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，3，則B.設(shè)，則C.點(diǎn)到平面的距離為D.若G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角最小為【答案】ACD【解析】【分析】正方體的頂點(diǎn)到中心的距離不變，判斷A，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量法求解判斷BCD．【詳解】正方體棱長(zhǎng)為2，面對(duì)角線長(zhǎng)為，由題意，，，，旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點(diǎn)到中心的距離不變，始終為，因此選項(xiàng)A中，，2，3，正確；，設(shè)，則，，，則存在實(shí)數(shù)，使得，，，，∴，B錯(cuò)；，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設(shè)，，，，令，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，∴，又，，所以，即，，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題正方體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，因此我們可以借助平面直角坐標(biāo)系得出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，例如繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)()不變，只要考慮各點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的射影繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)即可得各點(diǎn)空間坐標(biāo)．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，若兩個(gè)空，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示列出等式解出即可.【詳解】由，，且則，所以，解得，故答案為：.14.若數(shù)列和數(shù)列同時(shí)滿足，，，，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】將，相加，相減分別可得為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，令前式后式，化?jiǎn)可得①，令前式+后式，化簡(jiǎn)可得②由①，且，故是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.可得，由②，且，故是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.可得所以，故答案為:；.15.若，且在上，在圓上，則的最小值為______.【答案】1【解析】【分析】結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，證明等于點(diǎn)到直線的距離的一半，利用平面幾何結(jié)論求的最小值.【詳解】如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，所以等于點(diǎn)到直線的距離的一半，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的最小值為1，故答案為：1.16.已知圓的直徑上有兩點(diǎn)、，且有，為圓的一條弦，則的范圍是______.【答案】【解析】【分析】分析可知的中點(diǎn)為圓心，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，計(jì)算可得，利用三角不等式可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)閳A的直徑上有兩點(diǎn)、，且有，則的中點(diǎn)為圓心，故圓的半徑為，，由于，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)、方向相同且為圓的直徑時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，故，則，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎(chǔ)部分，關(guān)于基礎(chǔ)的音樂理論的著作浩如煙海，是學(xué)習(xí)音樂的必修課程.我們平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎(chǔ)部分，解決有關(guān)聲音的性質(zhì)、律制、記譜法、音樂的基本要素、音與音之間結(jié)合的基本規(guī)律等等，而記譜(和讀譜)的方法是其中很重要的一個(gè)部分。音樂是人類共同的語言.音樂中，我們常用音階描述音符音調(diào)高低的關(guān)系，即1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，6(la)，7(ti)，i(do).如圖，在鋼琴上，一個(gè)八度內(nèi)白鍵、黑鍵共有13個(gè)(不計(jì)入圖中最右側(cè)的半個(gè)黑鍵)，相鄰琴鍵對(duì)應(yīng)的音符頻率比相等且1的頻率與的頻率比為2.(1)若兩音與的音程關(guān)系為一度，求兩音的頻率比；(2)利用“五度相生”可以構(gòu)造出被稱為“宮商角徵羽”的五聲音階.設(shè)1的頻率為，在1的基礎(chǔ)上不斷升高五度，生成新的音符，并為方便辨認(rèn)新的音符，將生成的頻率大于的音降一個(gè)八度，請(qǐng)你利用五度相生的理論推斷出“宮商角徵羽”可能對(duì)應(yīng)的音符(無需一一對(duì)應(yīng)).參考數(shù)據(jù)：1234567891011121.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.892【答案】(1)(2)對(duì)應(yīng)音符為1，2，3，5，6【解析】【分析】(1)根據(jù)題意即可求解；(2)結(jié)合題意，先求出一組“五聲調(diào)式”：，，，，，，將生成的頻率大于的音降一個(gè)八度，然后根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.【小問1詳解】由題可知，若兩個(gè)音距離一個(gè)八度，則頻率比為2，所以若兩個(gè)音的音程為一度，半個(gè)音(即相鄰琴鍵)之間的頻率比為，所以兩個(gè)成一度之間的音符頻率比為.【小問2詳解】通過五聲調(diào)式，可以先構(gòu)成一組“五聲調(diào)式”：，，，，，，將其中大于的降一個(gè)八度，即除以：，，，，，，根據(jù)參考數(shù)據(jù)可以估計(jì)得到，五個(gè)音分別為1，5，2，6，3.因此“宮商角徵羽”對(duì)應(yīng)的音符為1，2，3，5，6.18.已知拋物線，記其焦點(diǎn)為.設(shè)直線：，在該直線左側(cè)的拋物線上的一點(diǎn)P到直線的距離為，且.(1)求的方程；(2)如圖，過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若分別交于兩點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用拋物線的定義以及準(zhǔn)線方程即可求解；(2)利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和即可求解.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，則可知，解得，所以的方程為.【小問2詳解】作于，于.由拋物線定義，，，又因?yàn)?，，所以，，由此，，，所以，，所以，定?19.如圖，三棱錐中，，且平面平面，，設(shè)為平面的重心，為平面的重心.(1)棱可能垂直于平面嗎？若可能，求二面角的正弦值，若不可能，說明理由；(2)求與夾角正弦值的最大值.【答案】(1)不可能，理由見解析(2)1【解析】【分析】(1)先作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，，假設(shè)垂直于平面，則有，得到方程組，無解，所以假設(shè)不成立，不可能垂直于平面；(2)由重心性質(zhì)表達(dá)出，且，表達(dá)出，分與兩種情況，求出與夾角余弦值的最小值，得到與夾角正弦值最大值.【小問1詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，由于，因此，又因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為AB，平面PAB，所以⊥平面.因?yàn)椋?，由勾股定理得：，以為原點(diǎn)作空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，有對(duì)稱性可知和情況相同，不妨設(shè)，則.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則有，所以取，則，則.假設(shè)垂直于平面，則有，則，無解，所以假設(shè)不成立，不可能垂直于平面；【小問2詳解】由重心的性質(zhì)，，同理，，所以，，則，所以，要想求與夾角正弦值最大值，只需求出與夾角余弦值的最小值，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)即為與夾角余弦值，設(shè)，令，則，.令，，，則，因?yàn)?，，所以，即，又因?yàn)?，所以在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與夾角正弦值的最大值為1，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)即為與夾角余弦值，設(shè)，令，則，.令，，，則，因?yàn)?，，所以，即，又因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，故，此時(shí)不存在最值，綜上，與夾角正弦值的最大值為1.20.在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩定點(diǎn)，與一動(dòng)點(diǎn)A.已知直線與直線的斜率之積為3.(1)求A的軌跡；(2)記的左、右焦點(diǎn)分別為、.過定點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).若、兩點(diǎn)滿足，求的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)設(shè)，表示出直線與直線的斜率，由題可得A的軌跡；(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為，將其與聯(lián)立，后由及韋達(dá)定理可得答案.【小問1詳解】設(shè)，由題意，化簡(jiǎn)可得所以A的軌跡為.【小問2詳解】由題設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為，將其與聯(lián)立有：，消去y得：因交于、兩點(diǎn)，則.設(shè)，則由韋達(dá)定理有：.又，則，，則.又，，解得，則的方程為：或.21.完成下面兩題(1)如圖，一個(gè)半徑為的圓在一條直線上無滑動(dòng)地滾動(dòng)，與軸的切點(diǎn)為，設(shè)圓上一點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到所轉(zhuǎn)過的角為，①設(shè)平行于軸的單位向量為，平行于軸的單位向量為，用表示；②在①的條件下，用題中所給字母表示，并以的形式寫出運(yùn)動(dòng)軌跡的方程；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)從開始，以的角速度繞著軸做圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)沿著平行于軸向上做線速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，用題中所給字母表示的運(yùn)動(dòng)軌跡的方程