2021-2022學(xué)年安徽省滁州九校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年安徽省滁州九校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的幾何特征，即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，可得點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影的坐標(biāo)為．故選：C.2．已知直線l經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】D【分析】利用斜率公式計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】．故選：D.3．已知，，若，則m的值為（

）A．－1 B．－2 C．2 D．1【答案】C【分析】?jī)上蛄看怪保瑒t它們數(shù)量積為零，據(jù)此即可求解.【詳解】∵，∴，∴，解得．故選：C.4．過(guò)圓上一點(diǎn)作圓O的切線l，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可求出直線的斜率，最后用點(diǎn)斜式可求出直線方程.【詳解】由題意點(diǎn)為切點(diǎn)，所以，又，所以，因此直線l的方程為．故選：D5．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，即可求解.【詳解】將方程化為，因?yàn)槭墙裹c(diǎn)在y軸上的橢圓，可得，解得.故選：B.6．已知圓：，圓：，若圓與圓內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B．2 C．或2 D．1或【答案】C【分析】由圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值可得結(jié)論．【詳解】由題可知圓心，半徑，圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以，解得或．故選：C．7．已知圓與直線相切，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓心到直線的距離等于半徑求解．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為2，所以，解得．故選：A．8．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率，，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．8 B．12 C． D．12或【答案】B【分析】由題意先求出，由離心率求出，再根據(jù)定義可得答案.【詳解】橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，又橢圓C的離心率，所以，，由橢圓的定義可知,的周長(zhǎng)是．故選：B9．已知圓C的半徑為，圓心在軸的負(fù)半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)，利用直線與圓相切，圓心到切線的距離等于半徑求出圓心的坐標(biāo)，代圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化一般方程【詳解】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳AC與直線相切，所以，又，解得．所以圓心為，圓C的方程為，即．故選：C10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線與平面BDE所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面BDE的一個(gè)法向量，進(jìn)而可求直線與平面BDE所成角.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，所以，，，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，所以平面BDE的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面BDE所成角為，所以．故選：D.11．已知橢圓，點(diǎn)C在橢圓上，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，若圓C與x軸相交于M，N兩點(diǎn)，且為直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨設(shè)在第一象限，由相切求得，從而求得，得圓半徑，為直角三角形，岀，由此等腰直角三角形可得的關(guān)系式，變形后求得離心率．【詳解】不妨設(shè)在第一象限，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，則，又在橢圓上，則，所以圓M的半徑，因?yàn)闉橹苯侨切?，，即，化?jiǎn)可得，即，解得．故選：C．12．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，與AB、AC都成角，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，，即可求出，，，再用、、表示出、，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出、、，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，，，則，，，所以，，所以，，，所以．故選：A二、填空題13．已知兩點(diǎn)，，以線段AB為直徑的圓的方程為______．【答案】【分析】根據(jù)題意求得圓心坐標(biāo)和半徑，可得答案.【詳解】由題意，兩點(diǎn)，，則，的中點(diǎn)為，,故圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為，故答案為：14．已知直線，，則“”是“”的______條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】充要【分析】由可得出，解出參數(shù)再檢驗(yàn)，然后可判斷出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，即，兩直線重合，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，滿足所以，所以“”是“”的充要條件．故答案為：充要15．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為______．【答案】20【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合，求得，再求三角形面積即可.【詳解】由，得，，所以，，所以，設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的面積為．故答案為：.16．已知，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C：上，則的最小值是______．【答案】8【分析】確定圓的圓心和半徑，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合圖形的結(jié)合性質(zhì)求得答案.【詳解】因?yàn)閳AC：，故圓C是以為圓心，半徑的圓，則圓心到直線的距離，故直線和圓相離，點(diǎn)A坐標(biāo)滿足，A在圓外，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故，解得，故，則,連接交圓C于Q，交直線于P,由對(duì)稱性可知:,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取等號(hào)，故答案為：8三、解答題17．已知點(diǎn)，直線．(1)若直線過(guò)點(diǎn)P且與直線l平行，求直線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)平行直線可設(shè)的方程為，將點(diǎn)代入計(jì)算即可；(2)根據(jù)垂直直線可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入計(jì)算即可.【詳解】(1)已知，則可設(shè)直線的方程為，又過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為．(2)若，則可設(shè)直線的方程為，又過(guò)點(diǎn)，所以，解得，即直線的方程為．18．已知，．(1)若，求m與n的值；(2)若且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，列出方程組，即可求解；（2）由向量，，因?yàn)?，根?jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程求得，再結(jié)合向量的模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，向量，，因?yàn)?，可得得，所以，解得?2)解：由向量，，因?yàn)椋?，解得，因此，所以?9．已知圓C：關(guān)于直線對(duì)稱，且過(guò)點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距互為相反數(shù)？若存在，求出該直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）由圓關(guān)于直線對(duì)稱可知，直線過(guò)圓心，且過(guò)點(diǎn)，即可求出的值，得到圓的方程；（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由直線與圓相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，進(jìn)而求出直線l的方程.【詳解】(1)將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心C為，由已知，得，解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)圓C的圓心為，半徑為2．因?yàn)樵c(diǎn)在圓C內(nèi)，所以當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線l與圓不可能相切；當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l：，即，又直線l與圓C相切，則，解得，此時(shí)直線方程為或．綜上，所求直線l的方程為或．20．已知橢圓的焦距為4，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的中點(diǎn)P在圓上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)由題列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求橢圓方程；(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，代入圓的方程即可求得m.【詳解】(1)由題意，得，解得，所以橢圓C的方程為．(2)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，線段MN的中點(diǎn)為，由消y，得，，解得．所以，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，滿足．∴．21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面AEC與平面PEC所成角的余弦值為，求PA的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和線面平行的判斷即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用，利用面面角的向量公式求解即可.【詳解】(1)連接BD交AC于點(diǎn)F，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以F為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．(2)因?yàn)槠矫?，又AB，平面，所以，．又底面ABCD是矩形，所以．以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，．∴，，．設(shè)平面AEC的法向量，由即∴令，則．設(shè)平面PEC的法向量，由即∴令，則．，解得，即．所以當(dāng)平面AEC與平面PEC所成角的余弦值為時(shí)，．22．已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓B：上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線BP交于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上且使得對(duì)任意直線l，OE都平分．求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）經(jīng)判斷點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，用定義法求軌跡方程；（2）設(shè).判斷出l與x軸垂直時(shí)，恒成立；當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，把OE都平分，轉(zhuǎn)化為.設(shè)，，利用“設(shè)而不求法”得到，即可得到定點(diǎn)．【詳解】(1)由題意知，，所以，由橢圓定義知點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓C：