第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(教師版)

PAGEPAGE1第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【高考會這樣考】1．本講以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力．2．有時考查應(yīng)用公理、定理證明點共線、線共點、線共面的問題．3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1．掌握平面的基本性質(zhì)，在充分理解本講公理、推論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖形理解點、線、面的位置關(guān)系及等角定理．2．異面直線的判定與證明是本部分的難點，定義的理解與運用是關(guān)鍵．基礎(chǔ)梳理1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個平面(不重合的兩個平面)有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a、b所成的角(或夾角)．②范圍：.3．直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．5．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．6．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．兩種方法異面直線的判定方法：(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．三個作用(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)．(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線．雙基自測1．下列命題是真命題的是()．A．空間中不同三點確定一個平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．梯形一定是平面圖形2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()．A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線3．下列命題中錯誤的是()．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β4．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線()．A．12對B．24對C．36對D．48對5．兩個不重合的平面可以把空間分成________部分．考向一平面的基本性質(zhì)【例1】?正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是()．A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形[審題視點]過正方體棱上的點P、Q、R的截面要和正方體的每個面有交線．解析如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長與CB交于M，連接MR交BB1于E，連接PE、RE為截面的部分外形．同理連PQ并延長交CD于N，連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G.∴截面為六邊形PQFGRE.答案D畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定．作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快的確定交線的位置．【訓(xùn)練1】下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________．解析在④圖中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面．可證①中四邊形PQRS為梯形；③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；②中如圖所示取A1A與BC的中點為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．答案①②③考向二異面直線【例2】?如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點．問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．[審題視點]第(1)問，連結(jié)MN，AC，證MN∥AC，即AM與CN共面；第(2)問可采用反證法．解(1)不是異面直線．理由如下：連接MN、A1C1、AC.∵M、N分別是A1B1、B1C1的中點，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1為平行四邊形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)是異面直線．證明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方體，∴B、C、C1、D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1，B、C、C1∈α，與ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾．∴假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．證明兩直線為異面直線的方法(1)定義法(不易操作)．(2)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．【訓(xùn)練2】在下圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．解析如題干圖(1)中，直線GH∥MN；圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖(4)中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH與MN異面．所以圖(2)、(4)中GH與MN異面．答案(2)(4)考向三異面直線所成的角【例3】?正方體ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。甗審題視點](1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計算．(2)可證A1C1與EF垂直．解(1)如圖所示，連接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分別為AB、AD的中點，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．【訓(xùn)練3】A是△BCD平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)解如圖，取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.考向四點共線、點共面、線共點的證明【例4】?正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．[審題視點](1)由EF∥CD1可得；(2)先證CE與D1F相交于P，再證P∈AD.證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、D1F、DA三線共點．要證明點共線或線共點的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用平面的基本性質(zhì)3，即證點在兩個平面的交線上．或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在此直線上．【訓(xùn)練4】如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，求證：三條直線EF、GH、AC交于一點．證明∵E、H分別為邊AB、AD的中點，∴EH綉eq\f(1,2)BD，而eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3)，且FG∥BD.∴四邊形EFGH為梯形，從而兩腰EF、GH必相交于一點P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交線AC上，故EF、GH、AC三直線交于一點．閱卷報告——點、直線、平面位置關(guān)系考慮不全致誤【問題診斷】由于空間點、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個數(shù)較多時，各種位置關(guān)系錯綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會導(dǎo)致一些錯誤的判斷．【防范措施】借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析．【示例】?l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面錯因受平面幾何知識限制，未能全面考慮空間中的情況．實錄甲同學(xué)：A乙同學(xué)：C丙同學(xué)：D.正解在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯．答案B【試一試】過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()．A．1條B．2條